доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая

[Naatikin]

$e,a,b,c ; *=a+b(mod 4)$

[ИСН]

Нет, я не то хотел. Это ведь мы не ушли от чисел. Видно же, что это у нас 0, 1, 2 и 3. А давайте от них уйдём. Совсем. Ведь иначе некоторых групп мы не обнаружим.
Просто запишем 4 (или 3, или 2) буквы и результаты всех операций. Ну, то есть понятно, что $ea=a$, это писать не надо.
Вот примерно так. Группа порядка 2:
$\{e,a\}:\;a^2=e$
Группа порядка 3:
$\{e,a,b\}:...$
...дальше не скажу.

[Naatikin]

а бинарная операция: сложение по модулю 3?

[ИСН]

Я не хочу знать, какая операция. Не хочу также знать, какие числа "на самом деле" прячутся за буквами. Вы знаете какую-нибудь группу порядка 3? Знаете. Ну вот и перепишите её в таких терминах.

[Naatikin]

$\{e,a,b,c\}a^{2}=b, ab=c,ac=e,b^{2}=a,cb=a,c^{2}=b$

[alcoholist]

Naatikin в сообщении #555661 писал(а):

$\{e,a,b,c\}a^{2}=b, ab=c,ac=e,b^{2}=a,cb=a,c^{2}=b$

Вам же порекомендовали сначала с тремя элементами разобраться))

ИСН в сообщении #555635 писал(а):

$\{e,a,b\}:...$

[ИСН]

Вы настаиваете на том, чтобы сначала обратиться к группе порядка 4? Ладно, начнём.
НИКАКИХ ЧИСЕЛ, напоминаю ещё раз.
(так, на всякий случай)
Чему равно $a\cdot a\cdot b$?
C одной стороны, это $(a\cdot a)\cdot b=a^2\cdot b=b\cdot b=b^2=a$.
C другой стороны, это $a\cdot (a\cdot b)=a\cdot c=e$.
Где правда? Как быть?

[arseniiv]

Таблицу Кэли набрать (топикстартеру), конечено, не проще, чем соотношения, зато нагляднее она будет, не?

[ИСН]

не. да потом это пробовали уже.

(Оффтоп)

Это было бы преждевременной абстракцией, примерно как зайти на митинг к революционным матросам и начать объяснять им тонкости антикоррупционного законодательства. Они не поймут: "Зачем? Просто взять всё, да и поделить!"
Чтобы абстракция хорошо усвоилась, должна сначала вырасти потребность в ней. Тогда она ляжет на подготовленную почву. "Ух чёрт, как удобно-то, не надо больше эти простыни писать".

[Naatikin]

ИСН в сообщении #555676 писал(а):

Вы настаиваете на том, чтобы сначала обратиться к группе порядка 4? Ладно, начнём.
НИКАКИХ ЧИСЕЛ, напоминаю ещё раз.
(так, на всякий случай)
Чему равно $a\cdot a\cdot b$?
C одной стороны, это $(a\cdot a)\cdot b=a^2\cdot b=b\cdot b=b^2=a$.
C другой стороны, это $a\cdot (a\cdot b)=a\cdot c=e$.
Где правда? Как быть?

ошибка ) $b^{2}=e$

[ИСН]

ага. Теперь ещё группу порядка 3, и потом для удобства записать все в одном посте.

[Naatikin]

$\{e,a\}, a^{2}=e$
$\{e,a,b\}, a^{2}=b,ab=e,b^{2}=a$
$\{e,a,b,c\}, a^{2}=b,ab=c, ac=e, b^{2}=e, bc=a, c^{2}=b$

[arseniiv]

Но вы ведь не думаете, что группа 4-го порядка только одна?

[Naatikin]

для сложения по модулю 4 одна

[arseniiv]

А разве не для поворота квадрата?