доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая

[ИСН]

Не "заменяю", а "можно заметить, что вот это равно второй степени вот этого, а то - третьей, а..."

[Naatikin]

доказательство состоит в том, что при рассмотрении элементов группы как степеней образующей
$a$ таблица не меняется?

[ИСН]

нет и нет.
и элементы нельзя "рассматривать как", и таблица вообще никогда не меняется.
Группа циклична, если каждый элемент равен какой-то степени образующего. Так и проверяйте.

[Naatikin]

я не понимаю, почему нельзя с самого начала использовать различные степени образующей, ведь по сути это будут 4 различных элемента

[ИСН]

потому что это не обязательно будут четыре различных элемента. Откуда Вы знаете? Вдруг там три различных, а один одинаковый? Да и если даже 4 различных: и что? Подставлять их в таблицу и проверять, подходят ли? А в каком порядке подставлять? Кто из них кто? Порядков ведь много разных.

[Naatikin]

как тогда связать ab=c, ведь я не знаю ни чему равно b, ни c

-- 04.04.2012, 09:23 --

хотя если с представить как $a^{-1}$

[ИСН]

Вы о какой конкретно группе говорите сейчас?

[Naatikin]

вот такое рассуждение:$\{e,a,b,c\},$ $a^{2}=b,$ $ab=c,$ $ac=e,$ $b^{2}=e,$ $cb=a,$ $c^{2}=b .$

Заметим, что $ac=e,$ следовательно $c=a^{-1}$, $b=a^{-2}$.
Тогда $\{a^{0},a,a^{-2},a^{-1}\},$ $a^{2}=a^{-4},$ $aa^{-2}=a^{-1},$ $aa^{-1}==a^{0},$ $a^{-4}=a^{0},$ $a^{-1}a^{-2}=a^{-1}$

[PAV]

Очень много лишнего. Вы знаете, что $a^2=b$. Чему равно $a^3$? Это должна быть одна буква, учитывая другие известные Вам соотношения для данной группы.

-- Ср апр 04, 2012 10:29:30 --

И, кстати, должно быть очевидно (доказывается устно), что для конечной группы достаточно рассматривать только положительные степени каждого элемента, отрицательные ничего дополнительно к ним не дадут.

[Naatikin]

PAV в сообщении #555892 писал(а):

Очень много лишнего. Вы знаете, что $a^2=b$. Чему равно $a^3$? Это должна быть одна буква, учитывая другие известные Вам соотношения для данной группы.

-- Ср апр 04, 2012 10:29:30 --

И, кстати, должно быть очевидно (доказывается устно), что для конечной группы достаточно рассматривать только положительные степени каждого элемента, отрицательные ничего дополнительно к ним не дадут.

$a^3$ равно $a^{-3}$

[ИСН]

Naatikin в сообщении #555898 писал(а):

$a^3$ равно $a^{-3}$

Ничего себе упростили.

[Nemiroff]

Naatikin в сообщении #555898 писал(а):

равно $a^{-3}$

Это не одна буква.

[PAV]

Naatikin
Вы намеренно дурака валяете? Так я просто закрою тему и все.

[INGELRII]

PAV в сообщении #555892 писал(а):

Чему равно $a^3$? Это должна быть одна буква

Naatikin в сообщении #555898 писал(а):

$a^3$ равно $a^{-3}$

Вспоминается бессмертное:
Чему равно $2+3$? $2+3=3+2$, так как сложение коммутативно.

[Профессор Снэйп]

PAV в сообщении #555903 писал(а):

Naatikin
Вы намеренно дурака валяете? Так я просто закрою тему и все.

По-моему, да, откровенно валяет дурака. Делает вид, что не понимает очевидных вещей, при этом если проанализировать все сообщения, то станет ясно, что он свободно владеет более сложными вещами. Например, свободно набирать формулы в латехе и не понимать определение группы - на мой взгляд, вещи несовместимые.

Что касается основного вопроса темы, то на него уже давно дан исчерпывающий ответ. Конкретно, приведён контрпример к утверждению, которое ТС просит доказать. Что ещё надо?

А если контрпример ему непонятен, то это значит, что ТС хочет изучать теорию групп и в упор не понимает, что такое группа $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Если в упор не понимает - значит теория групп ему абсолютно не нужна!

-- Ср апр 04, 2012 13:52:39 --

Хотя, конечно, если некоторое количество заслуженных и вполне уважаемых участников испытывает удовольствие от возни с этим троллем, изображающим из себя невинную малолетку, то это их право... Извиняюсь за то, что пытаюсь обломать им кайф