2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая
Сообщение02.04.2012, 20:31 
наведите на мысль:
доказать что любая группа из $\leqslant$ 4 элементов является циклической

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 20:34 
Аватара пользователя
перебрать же, их всего ничего.

-- Пн, 2012-04-02, 21:35 --

Стоп! До 4 включительно? Хе-хе.

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 20:38 
ИСН
что значит перебрать?

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 20:46 
Аватара пользователя
значит - каждую такую группу взять в руки, посмотреть и отложить.

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 21:02 
разве их не бесконечное количество?

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 21:07 
Аватара пользователя
бесконечное? назовите хоть две!

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 21:21 
например: для 3 элементов: 1, 1/8, 8; 1,1/7,7;0, 1,-1.
для 2: 1, -1;
и ещё не утверждена бинарная операция

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение02.04.2012, 21:42 
Аватара пользователя
Пока не утверждена операция, группы нет. Утвердите операцию.

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение03.04.2012, 06:15 
в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение03.04.2012, 06:40 
Аватара пользователя
Naatikin в сообщении #554978 писал(а):
наведите на мысль:
доказать что любая группа из $\leqslant$ 4 элементов является циклической

Это просто неверно. Рассмотрите аддитивную группу $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Она состоит из четырёх элементов и не является циклической.

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение03.04.2012, 08:20 
Аватара пользователя
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.


Если количество элементов в группе конечно, то операцию там можно задать тоже конечным числом способов

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение03.04.2012, 08:25 
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая
Вы можете изощряться и придумывать бинарные операции как угодно. Но групп конкретного порядка все равно будет конечное число. Их ведь считают с точностью до изоморфизма. Если непонятно, что это такое, читайте предыдущую фразу так: "Группы получающиеся одна из другой переобозначением элементов (и операции) не принято различать."

Более того, для многих порядков (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15...) будет всего-то по одной группе.

Кстати, среди приведенных Вами примеров трех примеров трехэлементных "групп" ни одной группы нет.

 
 
 
 Re: доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая
Сообщение03.04.2012, 11:19 
Аватара пользователя
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.

сумма? 1+1=чему? числа 2 ведь у Вас нет?
произведение? 8·8=? числа 64 ведь у Вас нет?
придумывать свои операции? бесконечно много? придумайте хоть одну.

 
 
 
 Re: доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая
Сообщение03.04.2012, 11:57 
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение,

Поскольку в группе только одна операция и более ничего нет -- называть эту операцию можно как угодно, ничего от этого не изменится. Обычно её называют умножением, но это лишь ради удобства обозначений. Задать же операцию в конечной группе -- это в точности задать таблицу умножения так, чтобы она не противоречила аксиомам группы, не более и не менее. Количество же возможных вообще таблиц конечно, и тем более конечно количество непротиворечивых.

Вот допустим у вас группа $\{1,a,b\}$ из трёх элементов. Верхняя строка и левый столбец таблички умножения заполняются автоматически в любом случае:

$\begin{tabular}{c|ccc}&1&a&b\\\hline1&1&a&b\\a&a&\cdot&\cdot\\b&b&\cdot&\cdot\end{tabular}$

Сколькими способами удастся Вам заполнить оставшиеся четыре клеточки?...

 
 
 
 Re: Теория групп
Сообщение03.04.2012, 17:20 
VAL в сообщении #555146 писал(а):
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая
Вы можете изощряться и придумывать бинарные операции как угодно. Но групп конкретного порядка все равно будет конечное число. Их ведь считают с точностью до изоморфизма. Если непонятно, что это такое, читайте предыдущую фразу так: "Группы получающиеся одна из другой переобозначением элементов (и операции) не принято различать."

Более того, для многих порядков (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15...) будет всего-то по одной группе.

Кстати, среди приведенных Вами примеров трех примеров трехэлементных "групп" ни одной группы нет.

Я думал, что мы должны складывать различные элементы множества, по крайней мере в определении это а и b

-- 03.04.2012, 18:25 --

ewert в сообщении #555273 писал(а):
Naatikin в сообщении #555112 писал(а):
в примерах сумма и умножение,

Поскольку в группе только одна операция и более ничего нет -- называть эту операцию можно как угодно, ничего от этого не изменится. Обычно её называют умножением, но это лишь ради удобства обозначений. Задать же операцию в конечной группе -- это в точности задать таблицу умножения так, чтобы она не противоречила аксиомам группы, не более и не менее. Количество же возможных вообще таблиц конечно, и тем более конечно количество непротиворечивых.

Вот допустим у вас группа $\{1,a,b\}$ из трёх элементов. Верхняя строка и левый столбец таблички умножения заполняются автоматически в любом случае:

$\begin{tabular}{c|ccc}&1&a&b\\\hline1&1&a&b\\a&a&\cdot&\cdot\\b&b&\cdot&\cdot\end{tabular}$

Сколькими способами удастся Вам заполнить оставшиеся четыре клеточки?...

по всей видимости всего одним

 
 
 [ Сообщений: 120 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group