К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[Munin]

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Но я даже этого делать не буду , а сошлюсь на теорему Петрова А.З. : если геодезические двух пространств с одиноковой сигнатурой совпадают, то метрические коэффициенты должны отличаться на постоянный множитель. Поскольку этого нет

А где вы это проверили? Вы же так и не написали геодезических, не то чтобы сравнить их.

[epros]

schekn в сообщении #551079 писал(а):

Почему же будут равны , если они из теории получаются разные?

Метрика:

$ds^2=(1+|z|)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$

в области $z>0$ совпадает с метрикой:

$ds^2=(1+z)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

а эта последняя метрика есть ни что иное, как вот эта Ваша:

$ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

сдвинутая по оси $z$ на единицу.

[schekn]

epros в сообщении #551114 писал(а):

schekn в сообщении #551079 писал(а):

Почему же будут равны , если они из теории получаются разные?

Метрика:

$ds^2=(1+|z|)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$

в области $z>0$ совпадает с метрикой:

$ds^2=(1+z)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

а эта последняя метрика есть ни что иное, как вот эта Ваша:

$ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

сдвинутая по оси $z$ на единицу.

Это распространенная ошибка. Эти две метрики в одних координатах описывают два разных римановских пространства, а значит два разных мира, а значит две геодезические в одних координатах в этих пространствах будут разные.
Другой вопрос, я строго не доказал, что все эти решения отличаются от реальной гравитации, созданной материальными телами.

-- 23.03.2012, 11:10 --

Munin в сообщении #551110 писал(а):

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Но я даже этого делать не буду , а сошлюсь на теорему Петрова А.З. : если геодезические двух пространств с одиноковой сигнатурой совпадают, то метрические коэффициенты должны отличаться на постоянный множитель. Поскольку этого нет

А где вы это проверили? Вы же так и не написали геодезических, не то чтобы сравнить их.

Ну, например, Someone, когда рассматривал задачу с вырезанием и склейкой пространства выписывал геодезические в случае $g_0_0=(1+g|z|)^2$ (с=1). Но на самом достаточно посмотреть , как Петров А.З (не путать с А.Н.) доказывает теорему Вейля-Лоренца-Петрова.

[Someone]

schekn в сообщении #551338 писал(а):

epros в сообщении #551114 писал(а):

schekn в сообщении #551079 писал(а):

Почему же будут равны , если они из теории получаются разные?

Метрика:

$ds^2=(1+|z|)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$

в области $z>0$ совпадает с метрикой:

$ds^2=(1+z)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

а эта последняя метрика есть ни что иное, как вот эта Ваша:

$ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$,

сдвинутая по оси $z$ на единицу.

Это распространенная ошибка. Эти две метрики в одних координатах описывают два разных римановских пространства, а значит два разных мира, а значит две геодезические в одних координатах в этих пространствах будут разные.

Какие "эти две метрики"? В этой цитате их три. Одна описывает мир с гравитирующей плоскостью, а две другие - часть пространства-времени Минковского. Можно считать, что одну и ту же. С точностью до тривиальной замены координат. И какие "две геодезические"? Может быть, Вы просто неудачную пару геодезических взяли?

Вы идиотствуете или действительно настолько не понимаете, о чём идёт речь?

schekn в сообщении #551338 писал(а):

Другой вопрос, я строго не доказал, что все эти решения отличаются от реальной гравитации, созданной материальными телами.

И не докажете.

P.S. Я бы сказал, что Вы ушли в глубокий троллинг. Совершенно "не помните", что Вам писали раньше, и постоянно придумываете всякие глупости. Да ещё ссылаетесь на Петрова. Откуда вообще эта теорема вылезла? Не было ни малейшего повода её вспоминать, она вообще не имеет отношения к обсуждаемому вопросу.

[epros]

schekn в сообщении #551338 писал(а):

Эти две метрики в одних координатах описывают два разных римановских пространства, а значит два разных мира, а значит две геодезические в одних координатах в этих пространствах будут разные.

Но при $z > 0$ (т.е. там, где находится лаборатория экспериментатора Петрова, ой, сорри, Иванова) ведь одинаковые?

[Munin]

(Оффтоп)

schekn в сообщении #551338 писал(а):

Это распространенная ошибка. Эти две метрики в одних координатах описывают два разных римановских пространства, а значит два разных мира, а значит две геодезические в одних координатах в этих пространствах будут разные.

Ну всё, туши свет. Два треугольника не равны друг другу, потому что они в разных местах нарисованы.

Меня удивляет, как с таким уровнем можно всерьёз пытаться обсуждать что-то о вещах сложных.

[schekn]

epros в сообщении #551348 писал(а):

schekn в сообщении #551338 писал(а):

Эти две метрики в одних координатах описывают два разных римановских пространства, а значит два разных мира, а значит две геодезические в одних координатах в этих пространствах будут разные.

Но при $z > 0$ (т.е. там, где находится лаборатория экспериментатора Петрова, ой, сорри, Иванова) ведь одинаковые?

А экспериментатор Иванов должен будет соотнести свои измерения с теорией, а уравнения Гильберта-Эйнштейна дают целый спектр метрик. Он будет в затруднении - что это за теория, которая ему не дает четких предсказаний.
Петров А.З. "Новые методы в ОТО" параграф 44 (стр. 319). Не буду всё доказательство приводить, но если нужно сформулирую постановку задачи, если сложно со скачиванием.
Это рассуждение действительно вылезло по ходу дела. Может оно не имеет отношение к проблеме, но интуитивно мне кажется , что задача не отвечает реальной гравитации.
( PS . Тем не менее не верьте ни мне, ни Munin, ни Логунову, ни черту лысому, а сами проверяйте ссылки. Может я действительно заблуждаюсь)

-- 23.03.2012, 21:07 --

[quote="Someone в [url=http://dxdy.ru/post551346.html#p551346]сообщении #551346[/urlсдвинутая по оси $z$ на единицу.

Цитата:

P.S. Я бы сказал, что Вы ушли в глубокий троллинг. Совершенно "не помните", что Вам писали раньше, и постоянно придумываете всякие глупости. Да ещё ссылаетесь на Петрова. Откуда вообще эта теорема вылезла? Не было ни малейшего повода её вспоминать, она вообще не имеет отношения к обсуждаемому вопросу.

Я бы сказал, что вы за три года не разобрались с задачей, только снобизма прибавилось.

[Someone]

schekn в сообщении #551500 писал(а):

А экспериментатор Иванов должен будет соотнести свои измерения с теорией, а уравнения Гильберта-Эйнштейна дают целый спектр метрик. Он будет в затруднении - что это за теория, которая ему не дает четких предсказаний.

Вас не смущает, что Ваше "затруднение" относится по существу к любой физической теории, и что для выбора "правильного" решения необходимо сравнение решений с измерениями? Что касается конкретно задачи о гравитирующей плоскости, то я уже писал:

Someone в сообщении #551091 писал(а):

"Экспериментатор Иванов" измеряет у себя ускорение свободного падения на гравитирующей плоскости и подставляет в мою метрику (6) то, что он намерил. Вполне однозначно.

Вообще, ситуация занятная. Те, кому нужно что-нибудь вычислить с помощью ОТО, например, угол между двумя квазарами на небесной сфере, вычисляют и получают вполне однозначный результат, который можно сравнить с результатами измерений. Те, у кого есть желание скомпрометировать ОТО, вопят о неоднозначности.

(schekn)

schekn в сообщении #551500 писал(а):

Я бы сказал, что вы за три года не разобрались с задачей, только снобизма прибавилось.

Хи-хи... Вы столько "умного" наговорили об этой задаче, что, разумеется, "разобрались".

[VladTK]

epros в сообщении #551033 писал(а):

Вы просто старательно пропускаете то, что я Вам говорю, мимо ушей Разве я Вам сейчас сказал, что Ваше $\hat{Q}^0$ - константа? Я Вам сказал, что интегральная энергия определена не в конкретной точке, а значит вопрос заключается в том, в какой точке Вы должны взять значения компонентов матрицы $\frac{\partial \hat{x}^i}{\partial x^j}$ для преобразования этого "свободного вектора"? Вы утверждаете, что если взять две частицы, то "ничего страшного не случится"? Тогда ответьте пожалуйста в какой точке в этом случае Вы возьмёте значения $\frac{\partial \hat{x}^i}{\partial x^j}$, чтобы преобразовать $\hat{Q^{\mu}}(\hat{x}^0)$ в $Q^{\nu}(x^0)$?

Я ничего не пропускаю. Просто не понял Вашего вопроса. Не все же такие сообразительные...

Фок ничего не пишет о точке, в которой следует брать значение поля 4-импульса. Я считаю, что следует брать точку наблюдения, т.е. там где проводятся измерения.

epros в сообщении #551033 писал(а):

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Не совсем так. Давайте повторим рассуждения Фока и посмотрим в чем может быть "зарыта собака".

Не читайтесоветских газет Фока по утрам. Итак, кучу не относящихся к делу рассуждений пропускаем и переходим к:

Т.е. по изложенному мною у Вас возражений нет? Прекрасно. Надеюсь у Вас сейчас вопросов типа "не смущает ли Вас присутствие нулевого индекса в определении" или "какой вектор Киллинга выбрать" и т.п. не возникнет.

epros в сообщении #551033 писал(а):

Это не "некорректность моих примеров", а некорректность Ваших (Фока?) определений. Очевидно, что несохраняемость (в ИСО) энергии-импульса частицы НЕ ОЗНАЧАЕТ, что понятия энергии и импульса для неё вообще не имеют смысла. Эти величины должны сохраняться для замкнутой системы, но это не означает, что у незамкнутой системы их вообще нет.

Совершено верно. А кто-то говорил обратное? Напомню, я утверждал что, во-первых, стандартное определение интегрального 4-импульса некорректно в криволинейных координатах/искривленном пространстве-времени и, во-вторых, определение 4-импульса Фока абсолютно корректно только при сохранении энергии-импульса. В наличии смысла в понятии 4-импульса в общем случае я никогда не сомневался. Просто оно требует, по-видимому, другого определения.

epros в сообщении #551033 писал(а):

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Я просто не довел вычисления до конца. Там получается плотность массы со сложным аргументом и интеграл от нее не равен $mc^2$.

Ёлы-палы, так доведите до конца! Я же довёл:

1) Я привёл Вам формулы для временнОй компоненты ТЭИ в обеих СО:

$T^{00} = mc^2 \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$

и

$\hat{T}^{0 0} = mc^2 \, \sqrt{1 + (\frac{\hat{x}^0}{r})^2} \, \delta(\hat{x}^1 - \sqrt{r^2 + (\hat{x}^0)^2}) \delta(\hat{x}^2) \delta(\hat{x}^3)$

2) Я привёл Вам доказательство того, что они правильно преобразуются одна в другую при преобразовании координат.

3) Я продемонстрировал, что формула $E = \int\int\int T^{0 0} dx^1 dx^2 dx^3$ даёт правильное значение интегральной энергии частицы в обеих СО.

4) Я рассчитал, что по Вашей формуле $E = \int\int\int T^{0 \mu} \xi_{\mu}^{(0)} dx^1 dx^2 dx^3$ мы получим в равноускоренной СО абсурдное значение для энергии частицы:

$E = mc^2 \ch \left( \frac{x^0}{r} \right)$.

Что Вы ещё хотите? Чтобы я за Вас "довёл до конца" преобразование вектора $P^{\mu} = T^{\mu \nu} \xi_{\nu}^{(0)}$ из лабораторной ИСО в равноускоренную СО и продемонстрировал, что его компонента $P^0$ равна не:

$mc^2 \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$, как Вы, вероятно, ожидаете, а:

$mc^2 \ch \left( \frac{x^0}{r} \right) \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$?

Пожалуйста, я могу ...

Да не возбуждайтесь Вы - я свои вычисления сразу довел до конца. И все увидел. Но увиденное мне не нравится. Буду искать "с перламутровыми пуговицами".

Пока у меня возник такой вопрос по Вашему примеру. При переходе из ИСО в УСО координаты преобразуются как

$$ \hat{x}^0=x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} $$

$$ \hat{x}^1=x^1 \ch{\frac{x^0}{r}} $$

Координаты частицы в ИСО связаны между собой уравнением движения

$$ \hat{x}^1=\sqrt{r^2+(\hat{x^0})^2} $$

а следовательно и в УСО координаты $x^0, x^1$ на мировой линии частицы будут взаимосвязаны. Конкретно $x^1=r$. Рассмотрим теперь одну из дельта-функций в плотности массы частицы в ИСО, а именно

$$\delta \left(\hat{x}^1-\sqrt{r^2+(\hat{x^0})^2} \right)$$

В координатах УСО она примет вид

$$\delta \left(x^1 \ch{\frac{x^0}{r}}-\sqrt{r^2+\left(x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right)^2} \right)$$

Тут возникает два варианта. Первый - это считать первый и второй $x^1$ одной и той же переменной. Тогда дельта-функция равна

$$ \delta \left(x^1 \ch{\frac{x^0}{r}}-\sqrt{r^2+\left(x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right)^2} \right)=\ch{\frac{x^0}{r}} \; \delta(x^1-r) $$

Во втором - заменить второй $x^1$ сразу на $r$. Тогда получим

$$ \delta \left(x^1 \ch{\frac{x^0}{r}}-\sqrt{r^2+\left(x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right)^2} \right)=\delta \left(\ch{\frac{x^0}{r}} (x^1-r) \right)=\frac{\delta(x^1-r)}{\ch{\frac{x^0}{r}}} $$

Видно, что результаты разные. Как Вы считаете, какой из вариантов правильный и почему?

[epros]

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

Фок ничего не пишет о точке, в которой следует брать значение поля 4-импульса. Я считаю, что следует брать точку наблюдения, т.е. там где проводятся измерения.

Стало быть, в "Священном Писании" ответа не нашли? И не найдёте, потому что его быть не может. Если частицы две, то энергию каждой из них Вы можете определить в точке её нахождения. Вопрос только в том, как их правильно сложить. И их невозможно сложить так, чтобы интегральная энергия преобразовывалась по простой формуле: например, как компонента вектора.

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

Напомню, я утверждал что, во-первых, стандартное определение интегрального 4-импульса некорректно в криволинейных координатах/искривленном пространстве-времени

Напомню, что пока мы рассматриваем неискривлённое пространство. В нём есть любые поля Киллинга, с помощью которых Вы намеревались решить все проблемы.

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

и, во-вторых, определение 4-импульса Фока абсолютно корректно только при сохранении энергии-импульса

Это бред. Не может быть такого определения, которое корректно при сохранении и некорректно при несохранении. Потому что сохраняется суммарная энергия замкнутой системы, коя есть сумма энергий её частей, которые не сохраняются.

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

Просто оно требует, по-видимому, другого определения.

И оно есть:

$E = \int\int\int T^{0 0} dx^1 dx^2 dx^3$

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

Видно, что результаты разные. Как Вы считаете, какой из вариантов правильный и почему?

Ну и вопросики Вы задаёте... Это просто математика, простора для фантазии, вроде, нет. А если я спрошу, в выражении $\delta(2x - x)$ можно ли второй икс считать за константу? Разумеется нет! Правильный первый вариант.

-- Вс мар 25, 2012 12:23:55 --

Кстати, Вы осознали, что преобразование первой дельта-функции соответствует тому, что мы учитываем лоренцево сокращение продольных размеров частицы?

[VladTK]

epros в сообщении #551906 писал(а):

VladTK в сообщении #551769 писал(а):

Видно, что результаты разные. Как Вы считаете, какой из вариантов правильный и почему?

Ну и вопросики Вы задаёте... Это просто математика, простора для фантазии, вроде, нет. А если я спрошу, в выражении $\delta(2x - x)$ можно ли второй икс считать за константу? Разумеется нет! Правильный первый вариант.

Допустим. Рассмотрим равномерное движение частицы в ИСО, т.е. когда ее закон движения имеет вид

$$ \hat{x}^1=a^1+v^1 \hat{x}^0 $$

$$ \hat{x}^2=a^2+v^2 \hat{x}^0 $$

$$ \hat{x}^3=a^3+v^3 \hat{x}^0 $$

При переходе в УСО плотность массы частицы

$$ m \delta(\hat{x}^1-a^1-v^1 \hat{x}^0) \; \delta(\hat{x}^2-a^2-v^2 \hat{x}^0) \; \delta(\hat{x}^3-a^3-v^3 \hat{x}^0) $$

перейдет в

$$ m \delta \left(x^1 \ch{\frac{x^0}{r}}-a^1-v^1 x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right) \; \delta \left(x^2-a^2-v^2 x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right) \; \delta \left(x^3-a^3-v^3 x^1 \sh{\frac{x^0}{r}} \right) $$

т.е. в произведение трех дельта-функций от $x^1$. Такой момент Вас не смущает? Конечно, после интегрирования по $x^2$ и $x^3$ две из них исчезнут, но математически, как мне кажется, это не совсем корректно. Произведение обобщенных функций в одной точке - это нечто неприятное...

epros в сообщении #551906 писал(а):

Кстати, Вы осознали, что преобразование первой дельта-функции соответствует тому, что мы учитываем лоренцево сокращение продольных размеров частицы?

Еще нет.

[dinaconst]

epros в сообщении #551906 писал(а):

Если частицы две, то энергию каждой из них Вы можете определить в точке её нахождения. Вопрос только в том, как их правильно сложить. И их невозможно сложить так, чтобы интегральная энергия преобразовывалась по простой формуле: например, как компонента вектора.

Не очень тут понятно. Если частицы пробные (вроде бы, о таких частицах идет разговор), то сложить их энергии, это, вроде бы, простая арифметика. С другой стороны, какой смысл в этом сложении? Какую информацию дает это сложение?
А, если частицы не пробные, то нужно, ведь, учитывать их влияние на метрику?
В общем, не очень понятно, о чем дискуссия.

[Munin]

(Оффтоп)

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

В общем, не очень понятно, о чем дискуссия.

Сначала два слепца спорили, потом один повёл другого...

[epros]

VladTK в сообщении #551949 писал(а):

т.е. в произведение трех дельта-функций от $x^1$. Такой момент Вас не смущает? Конечно, после интегрирования по $x^2$ и $x^3$ две из них исчезнут, но математически, как мне кажется, это не совсем корректно. Произведение обобщенных функций в одной точке - это нечто неприятное...

Я вообще не понял, в чём Вы тут усмотрели проблему. Разумеется, если частица бесконечно мала по трём пространственным измерениям, то её плотность энергии-импульса будет описываться произведением трёх дельта-функций.

VladTK в сообщении #551949 писал(а):

epros в сообщении #551906 писал(а):

Кстати, Вы осознали, что преобразование первой дельта-функции соответствует тому, что мы учитываем лоренцево сокращение продольных размеров частицы?

Еще нет.

Тут нужно вспомнить, что $\delta(x)$ всегда можно интерпретировать как:

$$\begin{cases} 0, & \text{если $x< - \frac{\Delta x}{2}$;} \\ \frac{1}{\Delta x}, & \text{если $- \frac{\Delta x}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\Delta x}{2}$;} \\ 0, & \text{если $x > \frac{\Delta x}{2}$.} \end{cases}$$

где $\Delta x$ - достаточно малая величина. Эта величина имеет смысл размера частицы вдоль оси $x$. Разумеется, при переходе в другую локальную ИСО эта $\Delta x$ преобразуется как расстояние. В этом и заключается смысл коэффициента перед дельта-функцией, который возникает при её преобразовании в другие координаты.

-- Пн мар 26, 2012 10:48:49 --

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

Если частицы пробные (вроде бы, о таких частицах идет разговор), то сложить их энергии, это, вроде бы, простая арифметика.

Допустим, в равноускоренной СО у нас есть вторая частица массы $m$, находящаяся в точке $x^1 = 2 r$ (напоминаю, что первая находится в точке $x^1 = r$). Это значит, что для неё $E = mc^2$, хотя $P^0 = \frac{mc^2}{2}$ - в силу того, что масштаб координатного времени вдвое отличается от масштаба времени мгновенно сопутствующей ИСО. Какую из этих величин прибавлять к энергии первой частицы?

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

С другой стороны, какой смысл в этом сложении? Какую информацию дает это сложение?

Интегральную энергию системы из двух частиц.

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

А, если частицы не пробные, то нужно, ведь, учитывать их влияние на метрику?

Пробные, значит не нужно.

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

В общем, не очень понятно, о чем дискуссия.

О том, как определить интегральную энергию системы в неинерциальной СО.

[dinaconst]

epros в сообщении #552220 писал(а):

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

Если частицы пробные (вроде бы, о таких частицах идет разговор), то сложить их энергии, это, вроде бы, простая арифметика.

Допустим, в равноускоренной СО у нас есть вторая частица массы $m$, находящаяся в точке $x^1 = 2 r$ (напоминаю, что первая находится в точке $x^1 = r$). Это значит, что для неё $E = mc^2$, хотя $P^0 = \frac{mc^2}{2}$ - в силу того, что масштаб координатного времени вдвое отличается от масштаба времени мгновенно сопутствующей ИСО. Какую из этих величин прибавлять к энергии первой частицы?

Это я не знаю. Но я, прежде всего, не понимаю, зачем вообще складывать энергии двух пробных частиц. Не понимаю, где может такая сумма понадобиться и на какой вопрос может ответить.

epros в сообщении #552220 писал(а):

dinaconst в сообщении #552094 писал(а):

С другой стороны, какой смысл в этом сложении? Какую информацию дает это сложение?

Интегральную энергию системы из двух частиц.

Пробные частицы, это совершенно независимые частицы. Зачем объединять их в какую-то систему, тоже не понимаю.
Ну, да ладно. Спасибо, что ответили. Жаль, что не ответили мне на те вопросы, которые я Вам, где-то там раньше, задавала.