Модель СТО.

[Someone]

chsv в сообщении #519831 писал(а):

Вы считаете, что только для этого?

А где я вообще писал, для чего?

[С.Мальцев]

Someone в сообщении #519478 писал(а):

Тем не менее, упорно объявляете горизонт событий (поверхность в пространстве-времени) каким-то "радиусом", который есть не поверхность, а характеристика сферы.

Такое впечатление, что Вы сначала пишете ответ, а только потом читаете (если вообще читаете) то, что написано оппонентом:

С.Мальцев в сообщении #517929 писал(а):

Согласно ОТО, горизонтом событий является радиус

Не передергивайте. Если у меня речь шла о радиусе, то только применительно к области ОТО. Само собой, ни о каком радиусе ГС в «плоском» пространстве СТО речи быть не может. Лучше ответьте на вопрос – каким образом можно отобразить поверхность ГС на ПВД?

И такой еще вопрос – верно ли у меня рассчитаны расстояния от излучателя до ракеты, с которых свет достигает ракету (при одновременном старте и излучении сигнала), движущуюся с ускорением $10\, \mbox{м/сек}^2$?

За 1 год полета расстояние составит 0,5705 св.года,
за 10 – 0,90493 св.года,
за 100 лет – 0,94546 св.года,
за 1 000 лет – 0,94953 св.года,
за 10 000 лет – 0,94993 св.года,
за 100 000 лет – 0,94998 св.года.

Someone в сообщении #519425 писал(а):

Обычно по оси времени откладывают не $t$ ($t'$), а $ct$ ($ct'$). Тогда мировые линии световых импульсов (изотропные прямые) образуют равные углы с осями координат как в ИСО, так и в ИСО'.

Возможно, но мне как-то привычнее и удобнее по осям $X$ и $X'$ откладывать $X=\tfrac x c$ и $X'=\tfrac {x'} c$. В таком случае, единицы времени остаются теми же привычными секундами и годами (а не световыми метрами, например), а расстояния тоже не менее привычными св. секундами и св. годами в макромире и, скажем, св. нано- и пикосекундами в микромире. При этом мировые линии световых импульсов тоже образуют равные углы с осями координат.

Someone в сообщении #519478 писал(а):

Ось $O'x'$ - это множество событий в системе ИСО', соответствующих моменту $t'=0$. Ось $O't'$ - мировая линия начала пространственной системы координат

Большое спасибо за подробное и развернутое пояснение. Действительно, ведь в своей ИСО' наблюдатель покоится, вот и движется только по оси $T'$, которая совпадает с его мировой линией. А ось $X'$ совпадает с линией равного времени. Таким образом, можно считать, что оси $T'$ и $X'$ у меня уже выстроились сами собой:

где в рамке красным указаны координаты оси $T$, без рамки – оси $T'$, черным в рамке - оси $X$, без рамки – оси $X'$, при этом масштабы проекций осей ИСО' на соответствующие оси ИСО отличаются в $\gamma$ раз.

И, если расставить координаты для каждой точки, то получается примерно такая картинка:

Тогда, с точки зрения наблюдателей покоящейся ИСО, разнесенные по оси $X'$ точки движущейся ИСО' располагаются параллельно оси $X$, а с точки зрения сопутствующих наблюдателей ИСО' – параллельно оси $X'$ по прерывистым черным линиям равного времени (кстати, а у этих линий имеется какое-либо научное название, скажем – изохрона, изотемпа, изотемпора?...), что и обеспечивает синхронный ход разнесенных часов в собственной ИСО'. И именно отсюда пошло представление об изотропности распространения света в движущейся ИСО, так? Похоже на правду?

(Оффтоп)

Алия87 в сообщении #519494 писал(а):

лучше обратиться к учебникам по СТО. Например, к Угарову, у него есть ПВД.

Спасибо за ссылку. Угаров у меня есть (посмотрел), но пока так и не открывал, с этими праздниками – всё суета, знаете… Но, обязательно прочитаю.

А вообще, спасибо за Ваши посты, вроде бы ничего особенного, но каждый как-то в самую точку – думательность простимулировал, задал направление, что ли...

[Munin]

(Оффтоп)

С.Мальцев в сообщении #520293 писал(а):

Не передергивайте. Если у меня речь шла о радиусе, то только применительно к области ОТО. Само собой, ни о каком радиусе ГС в «плоском» пространстве СТО речи быть не может.

Facepalm.

[С.Мальцев]

(Оффтоп)

Согласно ОТО, ГС является сферой, определяемой радиусом...

Так пойдет? А то этот бредюшник, уже размазанный более чем на целую страницу, похоже не прекратить.

Кстати, Munin к Вам вопрос - Вы тоже полагаете, что на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность? И, если на абсолютно прочном тросе удалось бы опустить часы (выдерживающие гравитацию) на радиус Шварцшильда (а еще лучше, слегка за него), то они бы благополучно пережили такой эксперимент?
Хотя, еще большой вопрос - удалось ли бы? Сдается, что трос должен быть бесконечно длинным. И всё же, если бы таки удалось?

[KVV]

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

Так пойдет?

Не пойдет. Вам уже привели общее определение ГС в ОТО.
Как сфера он появляется в ограниченном классе решений, например в решении Шварцшильда. А вот в решении Керра горизонт событий уже эллипсоид вращения.

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

Вы тоже полагаете, что на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность?

Тут нечего полагать - сингулярности на горизонте событий нет.

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

И, если на абсолютно прочном тросе удалось бы опустить часы (выдерживающие гравитацию) на радиус Шварцшильда (а еще лучше, слегка за него), то они бы благополучно пережили такой эксперимент?

Этот трюк не удался бы. Время достижения горизонта для внешнего наблюдателя бесконечно. По собственному времени часов они бы быстро оказались в сингулярности, и никакой трос этому не мог бы помешать.

[С.Мальцев]

(Оффтоп)

Ну хорошо, уважаемый Munin, если для Вас это столь принципиально, и иначе Вы никак не можете понять, о чем идет речь:

Согласно одной из моделей ОТО (разработанной Шварцшильдом), ГС является сферой, определяемой радиусом...

[Алия87]

С.Мальцев в сообщении #520293 писал(а):

Лучше ответьте на вопрос – каким образом можно отобразить поверхность ГС на ПВД?

Горизонт событий является световой поверхностью.
На двумерной пространственно-временной диаграмме ГС представлен мировой линией сигнала.

Мальцев, здесь можно ещё посмотреть
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D1%82_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

что на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность

Пространство-время является сингулярным, если оно содержит неполные мировые линии (мировые обрываются).
За ГС мировые линии продолжаются (для свободно падающих наблюдателей). Нет на ГС сингулярности.

[Ilia_]

С.Мальцев в сообщении #520395 писал(а):

Согласно одной из моделей ОТО (разработанной Шварцшильдом), ГС является сферой, определяемой радиусом...

Неверно же. Шварцшильд не "разрабатывал модель", а решил в рамках ОТО конкретную задачу, об сферически симметричном гравитационном поле. Именно в этом случае ГС является сферой.

А вы распространяете решение частной задачи на общий случай. Это всё равно, что утверждать будто Земля летает вокруг Солнца по параболе, ибо камень, брошенный под углом к горизонту летит по параболе.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

Согласно ОТО, ГС является сферой, определяемой радиусом...Так пойдет? А то этот бредюшник, уже размазанный более чем на целую страницу, похоже не прекратить.

Нет, не пойдёт. Согласно ОТО, ГС - это вполне конкретная вещь, и при этом не сфера. Вам привели два примера, в которых в одном случае это сфера, в другом - это плоскость. Примеров можно набрать ещё, благо решений уравнений ОТО на свете много. Плоское пространство-время - тоже решение ОТО, и рассматривается как СТО, так и ОТО, на общих основаниях.

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

Кстати, Munin к Вам вопрос - Вы тоже полагаете, что на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность?

Разумеется. Там есть такая вещь, которую в некоторых книгах называют координатная сингулярность, отличая её от истинной. В координатах Шварцшильда там расходимость есть, а в других координатах (Эддингтона-Финкельштейна, Леметра, Крускала-Секереша) - нет. Это азбучные сведения.

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

И, если на абсолютно прочном тросе удалось бы опустить часы (выдерживающие гравитацию) на радиус Шварцшильда (а еще лучше, слегка за него), то они бы благополучно пережили такой эксперимент?

Часы пережили бы, а трос - нет.

С.Мальцев в сообщении #520346 писал(а):

Сдается, что трос должен быть бесконечно длинным.

Нет, конечной длины. Но он порвётся.

С.Мальцев в сообщении #520395 писал(а):

Ну хорошо, уважаемый Munin, если для Вас это столь принципиально, и иначе Вы никак не можете понять, о чем идет речь:Согласно одной из моделей ОТО (разработанной Шварцшильдом), ГС является сферой, определяемой радиусом...

Я могу понять, я вас хочу избавить от ошибок. Вы путаете понятие модели теории и частного решения в рамках теории. Шварцшильд разработал второе, а не первое. Поэтому то, что у Шварцшильда горизонт событий - сфера, никак не затрагивает всю остальную ОТО.

[aklimets]

С.Мальцев, посмотрите мою модель СТО по адресу removed
Она более наглядна.

[С.Мальцев]

Neloth в сообщении #519571 писал(а):

Все интересное происходит в плоскости, которая содержит ось времени

Вы полагаете? Вы уверены, что действительно можно получить полное представление о релятивистских эффектах исключительно по одномерным (!) графикам, где все события происходят на одной-единственной пространственной оси? Хотя, если сделать что-то вроде стоп-кадра, то, пожалуй, и из ПВД можно получить массу дополнительной информации. Но для этого, ПВД необходимо несколько модифицировать.  

Neloth в сообщении #519571 писал(а):

а вы почему-то предлагаете изображать обычное евклидово пространство, как-будто его сложнее себе представить.

В том-то и дело – гораздо проще. Что означает гораздо большую доступность для понимания, чем дает представление о событиях только в пространственно-временных координатах и мировых линиях пространства Минковского. Если в ПВД «встроить» функцию стоп-кадр, т.е. создать последовательность временных  срезов светового конуса, то мы тут же получим череду всё тех же событий, но уже в обычном евклидовом пространстве. И, подобный покадровый просмотр, уверяю Вас, помогает получить представление о релятивистских эффектах куда более полное и подробное, чем дают учебники и пособия со ссылками на ПВД. Хотя такой подход и не раскрывает сам «механизм» появления релятивистских эффектов (это уже свойство ПВ), тем не менее, становится полностью понятно, почему сопутствующими наблюдателями именно так, а не иначе воспринимаются пространственные и временные соотношения собственных координатных точек с координатными точками других ИСО. Т.е. открывается возможность непосредственного рассмотрения движущейся ИСО с точки зрения сопутствующих наблюдателей, но, как бы со стороны, без назначения данной (рассматриваемой) ИСО покоящейся. Анализ такого рассмотрения позволяет логически вывести принцип относительности, вместо того, чтобы рассматривать движение уже априори руководствуясь этим принципом. 

Neloth в сообщении #519571 писал(а):

Чтобы говорить о распространении света в чьей-то ИСО, надо сначала построить оси этой ИСО.

Не вижу препятствий. Сейчас как раз занимаюсь созданием конвертора пространства Минковского в евклидово пространство. Надеюсь завтра выложить. 

Алия87 в сообщении #520396 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #520293 писал(а):

Лучше ответьте на вопрос – каким образом можно отобразить поверхность ГС на ПВД?

Горизонт событий является световой поверхностью. На двумерной пространственно-временной диаграмме ГС представлен мировой линией сигнала.

Нет, то, что представлено на ПВД мировой линией сигнала, является горизонтом событий только для оси движения ракеты. Обратите внимание на условие задачи – подача светового сигнала и старт ракеты происходят одновременно в покоящейся ИСО и необходимо найти минимальное расстояние (по оси движения), с которого сигнал не сможет догнать равноускоренную ракету. Такому условию удовлетворяет только одна точка на представленной Вами ПВД – точка начала координат покоящейся ИСО. Во всех прочих точках, расположенных на мировой линии сигнала, сигнал подается либо до старта ракеты, либо после. Поверхность же ГС, отделяет ту часть евклидова пространства, в любой точке которого сигнал, излученный одновременно со стартом ракеты, не сможет ее догнать. Такая поверхность должна иметь форму гиперболоида. И такую поверхность, в моем представлении, невозможно отобразить на одномерной ПВД.  

(To Алия87)

Алия87 в сообщении #520396 писал(а):

Мальцев, здесь можно ещё посмотретьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D1%82_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9

Для корректного отображения ссылок, можете использовать такую форму: 

Мальцев, {url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D1%82_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B9}здесь{/url} можно ещё посмотреть 

Только замените фигурные скобки на квадратные.

[Алия87]

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

Во всех прочих точках, расположенных на мировой линии сигнала, сигнал подается либо до старта ракеты, либо после.

Любой из них не догонит равноускоренного наблюдателя, потому что их мировые будут совпадать с ГС в пространстве-времени для данного ускоренного наблюдателя.
Вы про асимптоту (линия сигнала пущенного в отдалённом прошлом) к гиперболе (мировая равноускоренного наблюдателя) заданного радиуса (в пространстве-времени заданного интервала) чего ни будь из моих ссылок поняли?

[epros]

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

Сейчас как раз занимаюсь созданием конвертора пространства Минковского в евклидово пространство. Надеюсь завтра выложить.

Круто. Любопытно будет посмотреть.

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

Поверхность же ГС, отделяет ту часть евклидова пространства, в любой точке которого сигнал, излученный одновременно со стартом ракеты, не сможет ее догнать. Такая поверхность должна иметь форму гиперболоида.

И эта поверхность (срез ГС в нулевой момент времени) является в данном случае плоскостью.

[С.Мальцев]

Конвертация пространства Минковского в Евклидово пространство.

Рассмотрим пространственно-временную диаграмму (ПВД) (рис.2.1):

на которой отображено движение ИСО' (линии красного цвета) относительно покоящейся ИСО (линии зеленого цвета) со скоростью $V=0{,}8$ и, для большей наглядности, зададим разнесенные по оси $X$ точки от $X'=-10$ до $X'=10$ в движущейся ИСО' и от $X=-10$ до $X=10$ в покоящейся ИСО. Отобразим на ПВД эти точки в момент $T=0$, т.е. в момент вспышки света при совпадении начал координат ИСО и ИСО' и нанесем линию сечения светового конуса, скажем, на тот момент $T= \tfrac{X'\sqrt{1-V^2}}{1-V}$, когда луч света от вспышки догонит точку $X'=10$ в движущейся ИСО' ($T=30$). Поскольку ось $T$ вертикальна, обозначим ее как ось $Z$, и перенесем на эту линию координаты точек ИСО $X=X,\, Z=T$ и ИСО' $X=X'\sqrt{1-V^2}+VT,\, Z=T$ (рис.2.2):

Далее располагаем линию «плоскости» пространства движущейся ИСО', на которую проецируется пространство покоящейся ИСО, и с которой пространство ИСО' проецируется на пространство покоящейся ИСО. Плоскость располагается под углом $\alpha=\arcsin V$ ($\alpha=\arccos\sqrt{1-V^2}$), и в данном случае составляет $\alpha=53{,}13^{\circ}$. Угол наклона варьируется от $\alpha=0^{\circ}$ при $V=0$ до $\alpha=89{,}(9)^{\circ}$ при $V=0{,}(9)$. Ось поворота плоскости (отображающей пространство ИСО') располагается в секущей световой конус плоскости пространства покоящейся ИСО и проходит через начало координат ИСО'.
Теперь, все ранее полученные координаты переносим на линию наклонной плоскости в соответствии c $X=X$ и:

$$Z=T-\frac{V(X-VT)}{\sqrt{1-V^2}}$$

получив, таким образом, отображение проекции пространства покоящейся ИСО на пространство движущейся ИСО' в строгом соответствии с формулами ПЛ (рис.2.3):

Причем, масштаб пространственных координат на наклонной оси $X'$ соответствует масштабу оси $X$ покоящейся ИСО. При такой проекции, точка пересечения наклонной и горизонтальной плоскостей, по сути, могла бы находиться в произвольной точке оси $X$, однако пересечение, проходящее через начало координат ИСО', дает некоторое преимущество. Поскольку масштаб оси $Z$ соответствует масштабу рассинхронизации (обозначим рассинхронизацию как $\Delta T_n'$, чтобы не путать с разницей в показаниях одних и тех же часов) разнесенных по оси движения часов ИСО' $\Delta T_n'=-VX'$, рассинхронизация рассчитывается по достаточно простой формуле $\Delta T_n'=Z-T$. С такой точки зрения, оптимально было бы расположение спроецированного начала координат ИСО' прямо на оси $X$ при $Z=0$, тогда $\Delta T_n'=Z$, но, в таком случае (в моем представлении), график несколько теряет в наглядности.
Показания часов для каждой точки, расположенной на наклонной плоскости можно вычислить согласно формуле:

$$T'=T\sqrt{1-V^2}+Z-T$$

что эквивалентно:

$$T'=T\sqrt{1-V^2}-VX'$$

Теперь убираем все «лишние» линии и получаем законченный переходный график (вид сбоку) от пространства Минковского к Евклидову пространству (рис. 2.4):

Если продолжить конвертацию в том положении пространственных точек, как они отображены на ПВД, то на рисунке (вид сверху, с ракурса оси $Z$) получим невыразительную прямую линию с разнесенными по оси $X$ точками (рис. 2.5):

т.к. на ПВД отображается только движение по единственной пространственной оси $X$. Для наглядного построения полноценных отображений в трехмерном пространстве (описание здесь), необходимо добавить координатные точки, разнесенные по оси $Y$. Кроме того, необходимо еще и отобразить распространение света (описание здесь) в каждой из плоскостей. И только тогда получаем «объемное» отображение произошедшего события – свет догнал наблюдателя, расположенного в точке $X'=10,\, Y'=0$, с точки зрения наблюдателей покоящейся ИСО (рис 2.6):

А так же, отображение этого события в проекции на плоскость пространства движущейся ИСО' (рис 2.7):

Очевидно, что отображение в трехмерном пространстве одномерной оси движения не представляет особых затруднений. Куда больше проблем возникает при попытке отображения Евклидова пространства в пространстве Минковского, если только речь не идет о событиях, происходящих на одной оси, либо о событиях, которые без ущерба можно спроецировать на данную ось.

-- Чт дек 29, 2011 20:20:43 --

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

Вы полагаете? Вы уверены, что действительно можно получить полное представление о релятивистских эффектах исключительно по одномерным (!) графикам, где все события происходят на одной-единственной пространственной оси?

Ну кто же Вас заставляет ограничиваться одной пространственной координатой? Нарисуйте две.

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

Поверхность же ГС, отделяет ту часть евклидова пространства, в любой точке которого сигнал, излученный одновременно со стартом ракеты, не сможет ее догнать. Такая поверхность должна иметь форму гиперболоида.

Почему?

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

И такую поверхность, в моем представлении, невозможно отобразить на одномерной ПВД.

А на Вашем двумерном чертеже без времени можно?

Давайте разберёмся с равноускоренным движением. Предполагается, что ракета стартует в неподвижной системе отсчёта K из начала координат в направлении оси $Ox$ с нулевой начальной скоростью. Ускорение в собственной системе отсчёта постоянно и равно $g$. Поскольку всё движение происходит вдоль оси $Ox$, координаты $y$ и $z$ просто равны $0$, и мы их будем игнорировать.

Рассмотрим ситуацию в системе отсчёта K' с координатами $x'$ и $t'$, движущейся относительно K со скоростью $v$. Пусть в рассматриваемый момент времени скорость и ускорение ракеты в системе K равны, соответственно, $u=\frac{dx}{dt}$ и $w=\frac{du}{dt}$, а в системе K', соответственно, $u'=\frac{dx'}{dt'}$ и $w'=\frac{du'}{dt'}$.

Координаты в этих двух системах связаны преобразованиями Лоренца:

$$\begin{cases}x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\\ t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\end{cases}\eqno{(1)}$$

Дифференцируя равенства (1) и учитывая, что $dx'=u'dt'$, получим

$$\begin{cases}dx=\frac{dx'+vdt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{(u'+v)dt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\\ dt=\frac{dt'+\frac v{c^2}dx'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)dt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\end{cases}\eqno{(2)}$$

Разделив первое из равенств (2) на второе, найдём формулу преобразования скорости:

$$u=\frac{dx}{dt}=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}.\eqno{(3)}$$

Продифференцируем выражение (3):

$$du=\frac{\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)du'-(u'+v)\frac v{c^2}du'}{\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)^2}=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)du'}{\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)^2};\eqno{(4)}$$

разделив его на второе из выражений (2), получим формулу преобразования ускорения:

$$w=\frac{du}{dt}=\frac{w'\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}}{\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)^3}.\eqno{(5)}$$

Эту формулу можно найти, например, в книге Р.Толмена "Относительность, термодинамика и космология", § 12.

Возьмём теперь в качестве системы K' мгновенно сопутствующую ракете ИСО. В этой системе $u=v$ - скорость ракеты, $u'=0$ и $w'=g$. Поэтому формула (5) принимает вид

$$\frac{dv}{dt}=g\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}.\eqno{(6)}$$

Интегрируя это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, найдём (с учётом начального условия $v|_{t=0}=0$)

$$\frac v{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=gt,\eqno{(7)}$$

откуда выражается

$$\frac{dx}{dt}=v=\frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}};\eqno{(8)}$$

интегрируя ещё раз и используя начальное условие $x|_{t=0}=0$, найдём зависимость координаты ракеты от времени в неподвижной системе координат:

$$x=\frac{c^2}g\left(\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}-1\right).\eqno{(9)}$$

Заметим, что если $t$ не очень велико, так что $\frac{g^2t^2}{c^2}\ll 1$, то с хорошей точностью $\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}=1+\frac{g^2t^2}{2c^2}$, и мы получаем хорошо знакомую со школьных времён формулу $x=\frac{gt^2}2$.

Преобразуем уравнение (9), избавившись от корня:

$$\left(x+\frac{c^2}g\right)^2-c^2t^2=\frac{c^4}{g^2}.\eqno{(9')}$$

Это - уравнение гиперболы. Из него удобно выразить $c^2t^2$:

$$c^2t^2=x^2+\frac{2c^2x}g.\eqno{(9'')}$$

Выясним теперь, что представляет собой горизонт событий для наблюдателя, находящегося на ракете. Поскольку

С.Мальцев в сообщении #521237 писал(а):

такую поверхность, в моем представлении, невозможно отобразить на одномерной ПВД,

мы вспомним про координаты $y$ и $z$, которые до сих пор успешно игнорировали. Пусть в момент времени $t=0$ в точке с координатами $(x_0,y_0,z_0)$, не совпадающей с началом координат, произошла вспышка света. Узнает ли об этом наблюдатель, путешествующий на ракете?
В момент времени $t>0$ фронт световой волны от вспышки будет описываться уравнением сферы

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=c^2t^2.\eqno{(10)}$$

Подставляя в уравнение (10) выражение для $c^2t^2$ из уравнения (9'') и учитывая, что ракета движется по оси $Ox$, вследствие чего $y=0$ и $z=0$, получим после упрощений уравнение

$$2\left(x_0+\frac{c^2}g\right)x=x_0^2+y_0^2+z_0^2.\eqno{(11)}$$

Нас интересуют только значения $x>0$, так как именно в этой области движется ракета, поэтому, чтобы сигнал от вспышки достиг ракеты, должно выполняться неравенство

$$x_0>-\frac{c^2}g\eqno{(12)}$$

(это условие также и достаточно). Таким образом, горзонт событий равноускоренного наблюдателя в момент времени $t=0$ - плоскость $x=-\frac{c^2}g$.