Модель СТО.

[С.Мальцев]

Допустим, что нам необходимо выяснить, в какой момент времени произойдет совпадение заданных точек координат покоящейся ИСО и движущейся ИСО', а так же, показания часов, покоящихся относительно ИСО' в точке совпадения, как и в других, произвольно выбранных точках, на момент совпадения точек координат по часам покоящейся ИСО. Движение ИСО' происходит по оси $X$ в направлении ее положительных значений, оси $X$ и $X'$ совпадают.
Для большей наглядности задаем два набора пространственных точек координат от $X=-10,\, Y=-10$ до $X=10,\, Y=10$ для покоящейся ИСО и от $X'=-10,\, Y'=-10$ до $X'=10,\, Y'=10$ для движущейся относительно нее ИСО'. Задаем скорость движения $V=0{,}8$, производим сокращение масштаба ИСО' по оси движения $X=X'\sqrt{1-V^2},\, Y= Y'$ и отображаем на рисунке начальный момент совпадения начал координат при $T=0,\, T'=0$ (рис. 1):

Таким образом, получаем изображение, где точки покоящейся ИСО обозначены зеленым цветом, движущейся ИСО' – красным, как и показания синхронно идущих часов ИСО', покоящихся в перпендикулярной оси движения плоскости, в правом верхнем углу – показания всех синхронно идущих часов в покоящейся ИСО.

Далее, задаем точки совпадения, например, $X=10,\, Y=10$ и $X'=-10,\, Y'=10$, и, воспользовавшись формулой:

$$T=\frac{X-X'\sqrt{1-V^2}}{V}$$

находим время по часам покоящейся ИСО, необходимое для достижения заданной точкой движущейся ИСО' заданной точки покоящейся ИСО. Затем, согласно формуле:

$$X=VT+X'\sqrt{1-V^2},\, Y=Y'$$

находим координаты каждой из заданных точек движущейся ИСО' в пространстве покоящейся ИСО, а так же, согласно формуле:

$$T'=T\sqrt{1-V^2}-VX'$$

их временные координаты (показания часов) в собственной ИСО' и отображаем полученные данные на следующем рисунке (рис. 2):

Проанализировав полученный рисунок, убеждаемся, что он вполне соответствует требованиям СТО – в движущейся ИСО' масштаб по оси движения сокращен, а ход часов замедлен в $\gamma$ раз, относительно соответствующих параметров покоящейся ИСО.
Соответствующие замедлению времени показания часов наблюдаются в перпендикулярной оси движения плоскости, проходящей через точку $X'=0$ в ИСО'. В координатной точке $X'=-10$' наблюдается соответствующая $\Delta T'=-VX'$ рассинхронизация часов, а равенство показаний часов $T=T'$ в совпавших точках $X=10,\, Y=10$ и $X'=-10,\, Y'=10$, покоящихся на равном расстоянии от начала координат в собственных ИСО, подтверждает соблюдение принципа относительности движения.

Итак, теперь у нас имеется полный набор координат рассматриваемых точек в покоящейся ИСО и показания часов движущейся ИСО' в ее заданных координатных точках. Однако пока отсутствуют координаты и показания часов в движущейся ИСО', соответствующих заданным точкам покоящейся ИСО. Для их нахождения, воспользуемся соответствующими формулами ПЛ:

$$ \begin{cases} T'=\frac{T-VX}{\sqrt{1-V^2}}\\ X'=\frac{X-VT}{\sqrt{1-V^2}}\\ Y'=Y\\ \end{cases} $$

и, отобразив на рисунке результаты вычислений, получаем следующее изображение (рис.3):

Теперь, имея полный набор пространственных и временных координат каждой из заданных точек ИСО в ИСО', подставляем их в обратные формулы ПЛ:

$$ \begin{cases} T=\frac{T'+VX'} {\sqrt{1-V^2}}\\ X=\frac{X'+VT'}{\sqrt{1-V^2}}\\ Y=Y'\\ \end{cases} $$

и получаем равные показания синхронно идущих часов во всех точках покоящейся ИСО, а так же пространственные координаты заданных точек ИСО' в покоящейся ИСО. Отобразив результаты расчетов пространственных координат, снова получаем такое же изображение, как на рис. 2 но, теперь дополнительно можем отобразить еще и все показания часов (покоящихся относительно ИСО'), в соответствующих точках координат, совпадающих с заданными точками в покоящейся ИСО (рис.4):

Очевидно, что если назначить покоящейся ИСО', а ИСО – движущейся, то, изменив для скорости $V$ знак на отрицательный, получим симметричные отображения движения ИСО относительно ИСО'.

Полагаю, что предложенная модель полностью отвечает требованиям СТО, и при этом позволяет получать все необходимые по условию пространственные и временные координаты точек, покоящихся относительно движущейся ИСО'.

[epros]

С.Мальцев, Вы что хотите-то? В преобразованиях Лоренца попрактиковаться что ли? Модель СТО разработана уже более сотни лет назад.

[EvilPhysicist]

С.Мальцев, cool story, bro.
Можно теперь объяснить зачем нужны все эти выкладки?

[Алия87]

С.Мальцев в сообщении #515441 писал(а):

Очевидно, что если назначить покоящейся ИСО', а ИСО – движущейся, то, изменив для скорости знак на отрицательный, получим симметричные отображения движения ИСО относительно ИСО'.

Докажите, что если ИСО' движется относительно ИСО со скоростью V, то ИСО движется относительно ИСО' с такой же по величине скоростью V. То есть, доказать равенство относительной скорости между двумя ИСО.

[С.Мальцев]

Алия87 в сообщении #515505 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #515441 писал(а):

Очевидно, что если назначить покоящейся ИСО', а ИСО – движущейся, то, изменив для скорости знак на отрицательный, получим симметричные отображения движения ИСО относительно ИСО'.

Докажите, что если ИСО' движется относительно ИСО со скоростью V, то ИСО движется относительно ИСО' с такой же по величине скоростью V. То есть, доказать равенство относительной скорости между двумя ИСО.

Ну, это элементарно:
Например (см. рис.3), наблюдатель, находящийся в начале координат $X'=0,\, Y'=0$
движущейся ИСО' сделает запрос наблюдателю, находящемуся в точке $X'=-26{,}66,\, Y'=0$, о том, в какой момент времени по его часам с ним поравнялась точка $X=0,\, Y=0$ (начало координат) ИСО?
Тот сообщает, что показания его часов на момент встречи с указанной точкой были $T'=33{,}33$. Проделав нехитрый расчет:

$$-V=\frac{X'}{T'}$$

наблюдатель в точке $X=0,\, Y=0$ сделает вывод о том, что его скорость относительно ИСО составляет $V=0{,}8$.

epros в сообщении #515457 писал(а):

Модель СТО разработана уже более сотни лет назад.

Эт точно.

epros в сообщении #515457 писал(а):

В преобразованиях Лоренца попрактиковаться что ли?

Почему бы лишний раз и не попрактиковаться? Мне, например, очень интересно было выяснить, каким образом преобразовываются координаты в произвольном случае несовпадения осей координат движущейся и покоящейся ИСО. А если еще и задать движение не по оси $X$, а в произвольном направлении? И много еще чего всякого-разного.

epros в сообщении #515457 писал(а):

С.Мальцев, Вы что хотите-то?

EvilPhysicist в сообщении #515477 писал(а):

Можно теперь объяснить зачем нужны все эти выкладки?

Конечно. Прежде чем перейти к более серьезным выкладкам, хотелось бы лишний раз удостовериться в том, что мои представления о графическом отображении движения одной ИСО относительно другой ИСО соответствуют требованиям СТО, не содержат элементарных ошибок и не противоречат общепринятым представлениям.

Хотелось бы узнать мнение многоуважаемых форумчан по данному вопросу.

[Joker_vD]

С.Мальцев в сообщении #515625 писал(а):

Почему бы лишний раз и не попрактиковаться? Мне, например, очень интересно было выяснить, каким образом преобразовываются координаты в произвольном случае несовпадения осей координат движущейся и покоящейся ИСО. А если еще и задать движение не по оси , а в произвольном направлении?

$x'^{\mu}=\Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu$, где $\Lambda\in O(1,3)$ — группа изометрических преобразований пространства Минковского. Литературы по этой группе (она называется группой Лоренца) полно.

[С.Мальцев]

Joker_vD в сообщении #515627 писал(а):

Литературы по этой группе (она называется группой Лоренца) полно.

Не сомневаюсь. Но не вижу, почему бы не прокрутить всё это и в евклидовом пространстве?

Но сейчас меня несколько иной вопрос занимает – в стартовом посте была допущена если не грубая ошибка, то некоторая неточность, которая при строгом рассмотрении может быть признана и ошибкой. Надеялся, что меня тут же ткнут в нее носом, но пока никаких претензий. Видимо, тот мой пост только по диагонали просматривался…

[EvilPhysicist]

С.Мальцев в сообщении #515625 писал(а):

Прежде чем перейти к более серьезным выкладкам, хотелось бы лишний раз удостовериться в том, что мои представления о графическом отображении движения одной ИСО относительно другой ИСО соответствуют требованиям СТО, не содержат элементарных ошибок и не противоречат общепринятым представлениям.

Для этого надо делать расчёты в общем виде и по возможности вне математических пакетов.

[epros]

С.Мальцев в сообщении #515625 писал(а):

Почему бы лишний раз и не попрактиковаться? Мне, например, очень интересно было выяснить, каким образом преобразовываются координаты в произвольном случае несовпадения осей координат движущейся и покоящейся ИСО. А если еще и задать движение не по оси X, а в произвольном направлении?

Если ответ Joker_vD покажется Вам слишком сложным, то можете просто взять известную формулу преобразований Лоренца (для декартовых координат) и выполнить любое преобразование пространственных координат, которые были до преобразования Лоренца, и любое преобразование пространственных координат, которые стали после преобразования Лоренца - это всё ещё будет переход из ИСО в ИСО. А если эти преобразования пространственных координат ещё и сохраняют их декартовость, то даже метрика сохранит привычную Вам форму:
$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

А смысл Ваших упражнений мне непонятен.

[Алия87]

С.Мальцев в сообщении #515625 писал(а):

Тот сообщает, что показания его часов на момент встречи с указанной точкой были $T'=33{,}33$.

Откуда, как величина 33,33 получена?
У меня рисунки Ваши не видны. Лягушка в аквариуме сидит.

[Joker_vD]

С.Мальцев в сообщении #515652 писал(а):

Не сомневаюсь. Но не вижу, почему бы не прокрутить всё это и в евклидовом пространстве?

Ну так в евклидовом пространстве преобразования Лоренца метрику не сохраняют. У вас растяжения-сжатия появятся.

[Neloth]

С.Мальцев в сообщении #515652 писал(а):

Но сейчас меня несколько иной вопрос занимает – в стартовом посте была допущена если не грубая ошибка, то некоторая неточность, которая при строгом рассмотрении может быть признана и ошибкой. Надеялся, что меня тут же ткнут в нее носом, но пока никаких претензий. Видимо, тот мой пост только по диагонали просматривался…

Этому есть два, как минимум, объяснения:
1. Вы уже столько раз рисовали эти не очень наглядные с точки зрения СТО иллюстрации и приводили какие-то выкладки, что интерес к вашим изысканиям окончательно пропал,
2. представляя все не самым наглядным образом, вы неверно определяете, на каком именно этапе в ваши выкладки закрадывается ошибка.

[С.Мальцев]

Joker_vD в сообщении #515730 писал(а):

У вас растяжения-сжатия появятся.

Наблюдаемые растяжения-сжатия в другой ИСО? Почему бы и нет? Для СТО это вполне нормально, иначе не было бы, например, задачи Белла «о двух ракетах», задачи «о близнецах» и т.д., и т.п.

epros в сообщении #515710 писал(а):

Если ответ Joker_vD покажется Вам слишком сложным

Вы правы, однако не вижу в этом ничего зазорного. Если уж (со слов Гильберта):

Цитата:

Любой мальчик на улицах Гёттингена понимает в четырёхмерной геометрии больше, чем Эйнштейн, и, тем не менее, именно Эйнштейн, а не математики, сделал эту работу.

сам отец-основатель во всём этом не сильно разбирался, то надо полагать, что Эйнштейн выводил собственную теорию, опираясь на евклидово пространство. А, учитывая замечание самого Эйнштейна:

Цитата:

С тех пор, как за теорию относительности принялись математики, я ее уже сам больше не понимаю.

полагаю правильным рассмотрение различных задач СТО, в том числе, и в евклидовом пространстве.

Вообще, не очень понимаю, почему такое рассмотрение постоянно противопоставляется тривиальному (в пространстве Минковского), а не как дополнение к существующему, описанному в каждом учебнике. Наверняка у каждого из способов имеется свои плюсы и минусы, свои достоинства и недостатки. С тем же успехом можно противопоставлять, скажем, географическую карту глобусу Земли, локсодромию ортодромии, меркаторскую проекцию азимутальной и т.д. и т.п. Для решения различных задач, выбираются и соответствующие инструменты, с которыми удобнее работать.

В моем представлении, и выбор пространства должен определяться исключительно удобством для работы. Мне, например, гораздо удобнее и понятнее работать в евклидовом пространстве. А, учитывая, что, судя по всему, никто (после Эйнштейна, разумеется) и не пытался рассматривать и анализировать релятивистские эффекты в такой концепции (во всяком случае, достаточно глубоко), пытаюсь восполнить данный пробел, только и всего. Не вижу в этом ничего предосудительного.

epros в сообщении #515710 писал(а):

можете просто взять известную формулу преобразований Лоренца (для декартовых координат) и выполнить любое преобразование пространственных координат, которые были до преобразования Лоренца, и любое преобразование пространственных координат, которые стали после преобразования Лоренца - это всё ещё будет переход из ИСО в ИСО. А если эти преобразования пространственных координат ещё и сохраняют их декартовость, то даже метрика сохранит привычную Вам форму:
$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

Совершенно верно.

epros в сообщении #515710 писал(а):

А смысл Ваших упражнений мне непонятен.

Если хотя бы одному участнику мои выкладки помогут лучше понять СТО (вот, Алия87, например, задает вполне конкретные вопросы и по существу), то, полагаю, что уже не зря трачу свое собственное и ваше время.

Neloth в сообщении #515929 писал(а):

1. Вы уже столько раз рисовали эти не очень наглядные с точки зрения СТО иллюстрации и приводили какие-то выкладки, что интерес к вашим изысканиям окончательно пропал,

Вот тут Вы правы, для наглядности в представленных рисунках не хватает еще одной существенной детали – процесса синхронизации часов.

Neloth в сообщении #515929 писал(а):

2. представляя все не самым наглядным образом, вы неверно определяете, на каком именно этапе в ваши выкладки закрадывается ошибка.

Ошибаетесь, в самих выкладках никаких ошибок нет. А вот время $T'=04{,}00$ для плоскости, проходящей через точку $X'=10$ в движущейся ИСО' (см. рис. 2, 3 и 4), проставлено некорректно, т.к. синхронизироваться с часами, находящимися в начале координат, ни одни часы покоящиеся в данной плоскости, не могли в силу их расположения на таком расстоянии от точки вспышки, куда свет пока еще не мог дойти. Таким образом, показания всех вышеупомянутых часов на тот момент времени ($T=20$) пока неопределенны, а значит, и некорректно отображение их показаний, хотя и верно вычисленных согласно ПЛ.


На вопрос Алия87 отвечу чуть позже.

[Someone]

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Наблюдаемые растяжения-сжатия в другой ИСО? Почему бы и нет? Для СТО это вполне нормально, иначе не было бы, например, задачи Белла «о двух ракетах», задачи «о близнецах» и т.д., и т.п.

Вы просто не понимаете, о чём идёт речь. В СТО нет никаких "растяжений-сжатий" в том смысле, о котором говорил Joker_vD. Аналогом евклидова расстояния

$$d(M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

в геометрии Минковского является интервал

$$s^2(S_1,S_2)=c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2.$$

Интересными для геометрии являются в первую очередь те преобразования, которые не изменяют "расстояний". В евклидовой геометрии это движения, сохраняющие расстояния между точками, которые являются комбинациями вращений и сдвигов, а в геометрии Минковского - "движения", сохраняющие интервал между точками, которые являются комбинациями преобразований Лоренца и сдвигов. Рассматривать СТО в евклидовом пространстве вместо пространства Минковского совершенно не интересно, поскольку евклидово расстояние не имеет отношения к геометрии пространства Минковского. В свою очередь, использовать преобразования Лоренца в евклидовой геометрии вместо вращений также не интересно, так как преобразования Лоренца искажают геометрическую структуру евклидова пространства, изменяя расстояния между точками.

"Сокращение" длин и промежутков времени, о которых идёт речь в СТО, имеет совершенно другую природу. Хорошо известно, что в евклидовой геометрии длина (ортогональной) проекции отрезка на не параллельную ему прямую меньше длины самого отрезка. К этому все привыкают ещё в школе, и никого это не удивляет. Вот именно об этом явлении и идёт речь, когда говорят о "сокращении длин и промежутков времени" в СТО. Вот рисунок.

Здесь $Otx$ - неподвижная система отсчёта, $O't'x'$ - движущаяся. Отрезки $OB$ и $O'B'$, измеренные в соответствующих системах отсчёта, имеют одинаковые длины (соответствующие им интервалы равны). Неподвижный наблюдатель, который хочет измерить движущийся отрезок $O'B'$, согласно определению, должен отметить положение концов отрезка $O'B'$ в один и тот же момент времени по часам своей системы отсчёта. Если он сделает это в момент $t=0$, он получит отрезок $OC$, который является проекцией отрезка $O'B'$ на ось $Ox$. Таким образом, неподвижный наблюдатель измеряет не сам отрезок $O'B'$, а его проекцию на свою пространственную ось $Ox$. При этом проектирование происходит движением концов отрезка $O'B'$, то есть, параллельно оси $O't'$. Разве есть что-нибудь удивительное в том, что проекция отрезка имеет иную длину, нежели сам отрезок? Аналогично движущийся наблюдатель вместо длины неподвижного отрезка $OB$ измеряет длину его проекции $O'C'$ на свою пространственную ось $O'x'$.
Такая же ситуация и с сокращением времени: вместо промежутка времени $O'A'$, измеряемого часами движущегося наблюдателя, неподвижный наблюдатель измеряет его проекцию $OD$ на свою временнýю ось. Также не видно ничего удивительного в том, что длина проекции отличается от длины самого промежутка.

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

надо полагать, что Эйнштейн выводил собственную теорию, опираясь на евклидово пространство

Вне всякого сомнения. Только есть существенное уточнение: пространство (трёхмерное), а не пространство-время (четырёхмерное). Пространство в современной СТО такое же евклидово, как и сто лет тому назад. Что касается пространства-времени, то оно и в классической механике не евклидово, и если кто-то будет трактовать его как евклидово, то насочиняет много глупостей (как вот Вы сочиняете). Геометрия пространства-времени классической механики называется геометрией Галилея.

[Neloth]

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Вообще, не очень понимаю

Вы как никогда близки к правильной формулировке проблемы.

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Для решения различных задач, выбираются и соответствующие инструменты, с которыми удобнее работать.

А если посмотреть повнимательнее, окажется, что потенциально возможных "инструментов" намного больше, чем реально используемых, потому что не для каждого из них найдутся актуальные задачи.
Если уж вы взялись рекламировать "инструмент", расскажите нам, каким задачам он соответствует.

Какие задачи вы решали?
Для каких из них ваш метод оказался более удобным?
Как вы оценивали удобство применения того или иного метода?
Приведите в качестве примера решение каких нибудь задач обоими методами.

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Мне, например, гораздо удобнее и понятнее работать в евклидовом пространстве.

Если в плане подготовки и круга задач, которые вам регулярно приходится решать, вы являетесь среднестатистическим человеком, деятельность которого связана с использованием СТО — осталось выяснить, насколько этот метод реально вам помогает.
Если же вы в принципе могли вообще обойтись без знания СТО, не стоит удивляться, что удобный для вас метод оказался крайне непопулярен.

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Вот тут Вы правы, для наглядности в представленных рисунках не хватает еще одной существенной детали – процесса синхронизации часов.

Вам потребовалось несколько плоских графиков для рассмотрения одномерного случая. В таких условиях наличие или отсутствие синхронизации существенно повлиять на наглядность уже не может.

Если с помощью именно этой задачи вы решили продемонстрировать преимущества используемого вами метода, выбор явно неудачный.

С.Мальцев в сообщении #516503 писал(а):

Таким образом, показания всех вышеупомянутых часов на тот момент времени ($T=20$) пока неопределенны

Действительно, их же ведь нельзя было синхронизировать заранее, а потом просто пересчитать все показания, приняв определенный момент за 0.