Срочно надо решить уравнению

[myra_panama]

Решить Уравнение
$\frac1{(x+1)^2}+\frac1{(x+2)^2}=\frac2{x^2}$

(Оффтоп)

Честно туплю,
.... Уравнения приводится к
$6x^3+21x^2+24x+8=0$
что дальше....

[Sonic86]

Перебор отрицательных делителей свободного члена.
Если целого корня нет, то формула Кардано, только так (но если корень будет один, будет без комплексных чисел значит и то хорошо).

[myra_panama]

Sonic86 в сообщении #507647 писал(а):

Перебор отрицательных делителей свободного члена.

Спасибо, но как бы не 'преборивал' не получилась....

Sonic86 в сообщении #507647 писал(а):

Если целого корня нет, то формула Кардано, только так (но если корень будет один, будет без комплексных чисел значит и то хорошо

Этогот тоже попробовал, но кубический корень как то ...

[ИСН]

Там плохие корни.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #507652 писал(а):

Там плохие корни.

Для верности я бы разложил этот многочлен над каким-нибудь циклотомическим полем --- вдруг среди корней линейные комбинации косинусов пи седьмых или пи девятых.

Поскольку вещественный корень один, нужда в такой проверке отпадает.

[Klad33]

Не очень сложно. Ваш полином можно преобразовать:

$6(x+1)^3+3(x+1)^2-1=0$

t=x+1

$6t^3+3t^2-1=0$

Это нетрудно решается по Кордано:

$t=\frac{1}{6}\bigg [(17+12 \sqrt{2})^{\frac{1}{3}} +(17+12 \sqrt{2})^{-\frac{1}{3}}-1\bigg ] $

Ну а x=t-1

Примерно x=-0.5754

Два других корня комплексные.

[myra_panama]

Klad33 в сообщении #507702 писал(а):

Это нетрудно решается по Кордано:

Zadacha dlya 10-classnikov.... We have to find elemenatry solution

[alcoholist]

An solution:)

Не думаю, что вещественный корень

$$ -\frac{1}{18}\left(21-\sqrt[3]{459-324\sqrt{2}}-3\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}\right) $$

можно вычислить без формулы Кардано

[Klad33]

Но согласитесь - Кордано дает более красивую формулу. То есть решение обеспечивается минимальным количеством чисел. В моем варианте:
1, 2, 3, 6, 12, 17
В Вашем:
1, 2, 3, 12, 17, 18, 21, 324, 459
Вы скажете, что это ерунда.
Для меня же и такая мелочь играет важную роль.

[ewert]

Klad33 в сообщении #507702 писал(а):

$6t^3+3t^2-1=0$

Это нетрудно решается по Кордано:

Такие уравнения решаются не по Кардано.

[Klad33]

ewert в сообщении #507865 писал(а):

Такие уравнения решаются не по Кардано.

Я знаю несколько методов решения кубических уравнений, но данное получил именно методом Кардано. Потому что хорошо помню формулы.

-- 25.11.2011, 18:54 --

Только что немного упростил свой результат(избавился от отрицательной степени):

$x=\frac{1}{6} \bigg [ \sqrt[3] {17+12\sqrt{2}}+\sqrt[3] {17-12\sqrt{2}} -7 \bigg ] $

Вот интересно: другими методами возможно выявить столь изящную структуру?

Жду некарданный результат ewert

[nnosipov]

Klad33, а у меня красивее ответ: $x=(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^{-1}-1$. Пустячок, а приятно

[Klad33]

nnosipov!
Очень красиво!

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #507888 писал(а):

Жду некарданный результат ewert

Да нет его, не карданного. Без дважды вложенных радикалов над полем рациональных чисел здесь не обойтись, т.е. ответ по форме неупрощаем. Попытки получить его каким-то другим способом будут эквивалентны методу Кардано. Нужны ли они в таком случае? Можно, конечно, угадать $x$ (в том виде, в котором я его привёл, например), но это не совсем спортивно.

Вот, ещё вспомнилось: $x$ можно выразить при помощи гиперболических функций (аналогично тому, как в неприводимом случае используются тригонометрические подстановки). Но это, конечно, для любителей очень острых блюд.

[Klad33]

Ну, великий Марадона, бывало, рукой голы забивал
А между прочим, тригонометрическое решение тоже может быть совсем уж очаровательным. Надо будет на досуге попытаться. Уж больно простенький полином и ответ должен быть не менее проще.