2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 07:52 
Решить Уравнение
$\frac1{(x+1)^2}+\frac1{(x+2)^2}=\frac2{x^2}$

(Оффтоп)

Честно туплю,
.... Уравнения приводится к
$6x^3+21x^2+24x+8=0$
что дальше....

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 08:03 
Перебор отрицательных делителей свободного члена.
Если целого корня нет, то формула Кардано, только так (но если корень будет один, будет без комплексных чисел значит и то хорошо).

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 08:07 
Sonic86 в сообщении #507647 писал(а):
Перебор отрицательных делителей свободного члена.

Спасибо, но как бы не 'преборивал' не получилась.... :cry:
Sonic86 в сообщении #507647 писал(а):
Если целого корня нет, то формула Кардано, только так (но если корень будет один, будет без комплексных чисел значит и то хорошо

Этогот тоже попробовал, но кубический корень как то ... :roll:

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 08:19 
Аватара пользователя
Там плохие корни.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 10:50 
ИСН в сообщении #507652 писал(а):
Там плохие корни.
Для верности я бы разложил этот многочлен над каким-нибудь циклотомическим полем --- вдруг среди корней линейные комбинации косинусов пи седьмых или пи девятых.

Поскольку вещественный корень один, нужда в такой проверке отпадает.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 11:49 
Аватара пользователя
Не очень сложно. Ваш полином можно преобразовать:

$6(x+1)^3+3(x+1)^2-1=0$

t=x+1

$6t^3+3t^2-1=0$

Это нетрудно решается по Кордано:

$t=\frac{1}{6}\bigg [(17+12 \sqrt{2})^{\frac{1}{3}} +(17+12 \sqrt{2})^{-\frac{1}{3}}-1\bigg ] $

Ну а x=t-1

Примерно x=-0.5754

Два других корня комплексные.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 12:28 
Klad33 в сообщении #507702 писал(а):
Это нетрудно решается по Кордано:

Zadacha dlya 10-classnikov.... We have to find elemenatry solution

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 15:23 
Аватара пользователя
An solution:)

Не думаю, что вещественный корень
$$
-\frac{1}{18}\left(21-\sqrt[3]{459-324\sqrt{2}}-3\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}\right)
$$
можно вычислить без формулы Кардано

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 17:02 
Аватара пользователя
Но согласитесь - Кордано дает более красивую формулу. То есть решение обеспечивается минимальным количеством чисел. В моем варианте:
1, 2, 3, 6, 12, 17
В Вашем:
1, 2, 3, 12, 17, 18, 21, 324, 459
Вы скажете, что это ерунда.
Для меня же и такая мелочь играет важную роль.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 17:04 
Klad33 в сообщении #507702 писал(а):
$6t^3+3t^2-1=0$

Это нетрудно решается по Кордано:

Такие уравнения решаются не по Кардано.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 17:46 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #507865 писал(а):
Такие уравнения решаются не по Кардано.

Я знаю несколько методов решения кубических уравнений, но данное получил именно методом Кардано. Потому что хорошо помню формулы.

-- 25.11.2011, 18:54 --

Только что немного упростил свой результат(избавился от отрицательной степени):

$x=\frac{1}{6} \bigg [ \sqrt[3] {17+12\sqrt{2}}+\sqrt[3] {17-12\sqrt{2}} -7 \bigg ] $

Вот интересно: другими методами возможно выявить столь изящную структуру?

Жду некарданный результат ewert

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 18:24 
Klad33, а у меня красивее ответ: $x=(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^{-1}-1$. Пустячок, а приятно :-)

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 18:30 
Аватара пользователя
nnosipov!
Очень красиво! :!:

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 18:37 
Klad33 в сообщении #507888 писал(а):
Жду некарданный результат ewert
Да нет его, не карданного. Без дважды вложенных радикалов над полем рациональных чисел здесь не обойтись, т.е. ответ по форме неупрощаем. Попытки получить его каким-то другим способом будут эквивалентны методу Кардано. Нужны ли они в таком случае? Можно, конечно, угадать $x$ (в том виде, в котором я его привёл, например), но это не совсем спортивно.

Вот, ещё вспомнилось: $x$ можно выразить при помощи гиперболических функций (аналогично тому, как в неприводимом случае используются тригонометрические подстановки). Но это, конечно, для любителей очень острых блюд.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение25.11.2011, 18:43 
Аватара пользователя
Ну, великий Марадона, бывало, рукой голы забивал :D
А между прочим, тригонометрическое решение тоже может быть совсем уж очаровательным. Надо будет на досуге попытаться. Уж больно простенький полином и ответ должен быть не менее проще.

 
 
 [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group