2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 11:01 
Klad33 в сообщении #508716 писал(а):
Я согласен, что есть изящное радикальное представление.
Нет, не в радикалах дело, тем более, что они будут не вещественны. Ну как, заинтригованы?

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 11:11 
Аватара пользователя
Это меня не удивило, поскольку Maple мне как раз и выдало комплексное решение. Я потратил некоторое время, чтобы побороть эту закомплексованность. Но посмотреть хотел бы, если ответ короче, чем я видел.
На самом деле корни вещественные, но мнимая составляющая в пределе обнуляется.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 15:23 
Аватара пользователя
В одном из форумов объяснили, что данное уравнение - это неприводимый случай и решение невозможно через радикалы. Так что мое тригонометрическое решение - самое верное. А комплексное решение - это обманка.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 15:32 
Klad33, Ваши арктангенсы, порубленные на три части, хотя и верны, но выглядят довольно вульгарно. А мои (не буду говорить кто) --- очень, очень элегантно :D

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 15:53 
Аватара пользователя
Я арктангенсы не рубил, а просто жалел бума поле монитора.
Да покажите же Вашу элегантность! А потом, желательно, - и численное выражение с хорошей точностью.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 16:09 
Выше я уже намекал на циклотомические поля, вот именно там эти элегантности и произрастают. Ну да ладно, нарву Вам букетик: $6\cos{\pi/7}-1$, $6\cos{3\pi/7}-1$ и $6\cos{5\pi/7}-1$.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 18:42 
Аватара пользователя
Все, как я и предполагал: эти корни априори задавались и выводилось соответстующее кубическое уравнение. Это выдает ряд коэффициентов 1, 3, 5.
А уж обратных решений можно получать несколько. Например, мой верный результат. Но согласитесь, решать обратные задачи, порой, в сотни раз сложнее.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 18:52 
Klad33 в сообщении #508888 писал(а):
Но согласитесь, решать обратные задачи, порой, в сотни раз сложнее.
В данном случае нет: Maple разложит $x^3-21x+7$ на множители над полем $\mathbb{Q}(\zeta)$, где $\zeta^7=1$, за считанные миллисекунды.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 19:26 
Аватара пользователя
Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 19:30 
Klad33 в сообщении #508905 писал(а):
Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=0$, где в качестве $a_i$ берем пушистые и опрятные числа, а потом раскрываем скобки.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 19:36 
Klad33 в сообщении #508905 писал(а):
Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.
И в чём-то нетривиальные, а само уравнение имело бы при этом ещё и целые коэффициенты. Скажем, если корни --- это косинусы дробных долей числа $\pi$, то здесь выбор не слишком большой.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 19:56 
Аватара пользователя
Joker_vD в сообщении #508908 писал(а):
Klad33 в сообщении #508905 писал(а):
Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=0$, где в качестве $a_i$ берем пушистые и опрятные числа, а потом раскрываем скобки.

Я как раз об этом. Тот, кто составляет такие уравнения и кто решает, находятся не в равных условиях, поскольку возможны хоть и верные, но не пушистые корешочки. :-)

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 20:11 
nnosipov в сообщении #508913 писал(а):
И в чём-то нетривиальные, а само уравнение имело бы при этом ещё и целые коэффициенты. Скажем, если корни --- это косинусы дробных долей числа $\pi$, то здесь выбор не слишком большой.

Ну да, тут только и остается, что на единичную окружность любоваться.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 20:50 
Joker_vD в сообщении #508924 писал(а):
Ну да, тут только и остается, что на единичную окружность любоваться.
Я имел в виду следующее: $[\mathbb{Q}(\cos{2\pi/m}):\mathbb{Q}]=\varphi(m)/2=3$ тогда и только тогда, когда $m \in \{7,9,14,18\}$.

 
 
 
 Re: Срочно надо решить уравнению
Сообщение27.11.2011, 20:57 
Аватара пользователя
Klad33 в сообщении #508905 писал(а):
Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

Данной хитростью пользовался великий индийский математик Бхаскара, живший почти 1000 лет назад. Он составлял свои замысловатые радикальные выражения и как бы фантастически ловко их упрощал. Сей процесс хорошо раскрыт в статье http://renuar911.narod.ru/part13.htm

 
 
 [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group