Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО

[epros]

В. Войтик в сообщении #504098 писал(а):

Расстояние в слабо нестационарной системе отсчёта имеет смысл. Просто на мой взгляд, если система отсчёта сильно нестационарна, то в этом случае понятие расстояния требует дальнейшего определения.

Без разницы насколько сильно. Лишь бы непрерывность метрики имела место.

В. Войтик в сообщении #504098 писал(а):

Но разберите, пожалуйста, предельный случай сильно нестационарной системы отсчёта испытывающей скачок в собственном ускорении.

В скачке ускорения свободного падения нет ничего особенного. Согласно уравнениям ОТО он связан с продольными компонентами давления на той поверхности, на которой имеет место этот скачок. Простой пример: статическая тяготеющая сфера. Внутри неё ускорение свободного падения нуль, а снаружи - не нуль. Здесь даже нестационарная система отсчёта не требуется - можно обойтись и статической.

Если Вы о чём-то другом, то я не понял о чём.

[В. Войтик]

epros в сообщении #504116 писал(а):

В. Войтик в сообщении #504098 писал(а):

Расстояние в слабо нестационарной системе отсчёта имеет смысл. Просто на мой взгляд, если система отсчёта сильно нестационарна, то в этом случае понятие расстояния требует дальнейшего определения.

Без разницы насколько сильно. Лишь бы непрерывность метрики имела место.

Я имею ввиду метрику жёсткой неинерциальной системы отсчёта. Она имеет вид
$ds^2=[(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^2-(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})^2]dt^2-2(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})d\mathbf{r}dt-d\mathbf{r}^2$
Непрерывности этой метрики при скачке в собственном ускорении $\mathbf{W}(t)$ нет. Как же определить расстояние?

[В. Войтик]

В общем, по-моему мнению данная метрика для сильно нестационарной системы отсчёта неприменима.
Давайте вернёмся к слабо нестационарной системе отсчёта. В этом случае ПМСМ эта метрика годится. А каково мнение читающих эту тему?

[epros]

В. Войтик в сообщении #504165 писал(а):

Я имею ввиду метрику жёсткой неинерциальной системы отсчёта. Она имеет вид
$ds^2=[(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^2-(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})^2]dt^2-2(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})d\mathbf{r}dt-d\mathbf{r}^2$

Какая же она жёсткая, если зависит от времени?

В. Войтик в сообщении #504165 писал(а):

Непрерывности этой метрики при скачке в собственном ускорении $\mathbf{W}(t)$ нет. Как же определить расстояние?

Я же написал как. Почему Вы считаете, что этот метод перестанет действовать?

Разрыв метрики вообще-то вещь нехорошая, но в некоторых частных случаях (например, когда имеет место скачок потенциала по времени) вполне терпимая. Давайте лучше рассмотрим пример попроще, чем вращающаяся СО.

Вот известные формулы перехода в ИСО из равноускоренной СО:

$t = h \sh{\tau}$
$x = h \ch{\tau}$

Подставляем в метрику ИСО:

$ds^2 = dt^2 - dx^2 =$
$= (h \ch{\tau} d \tau + \sh{\tau} dh)^2 - (h \sh{\tau} d \tau + \ch{\tau} dh)^2 =$
$= h^2 d \tau^2 - dh^2$

Теперь предположим, что эта замена выполнена только для $t < 0$, а для $t \ge 0$ имеем $t = \tau$, $x = h$. Получается, что в момент $\tau = 0$ во всех точках кроме $h = 1$ метрика испытывает разрыв первого рода. Связано это с разрывом $\frac{\partial t}{\partial \tau}$ при $\tau = 0$. Ну и что? Негладкое преобразование координат - не такая уж страшная вещь. Процедуре измерения расстояний в момент $\tau = 0$ это не помешает, ибо скачок гравитационного потенциала всего лишь означает, что масштаб временнОй координаты с данного момента изменился. А на масштаб временной координаты наплевать, потому что радарное измерение расстояния производится не по временнОй координате, а по реальным часам наблюдателя.

[В. Войтик]

epros в сообщении #504408 писал(а):

Какая же она жёсткая, если зависит от времени?

Она жёсткая относительно наблюдателя в начале системы отсчёта т. О.
Т.е. расстояние $\mathbf{r}=\overline{OA}$ не зависит от t. Расстояние между другими точками меняется: $\overline{AB}(t)$. Можно ещё понимать термин "жёсткая" в смысле заданности раз и навсегда формы метрики.

epros в сообщении #504408 писал(а):

В. Войтик в сообщении #504165 писал(а):

Непрерывности этой метрики при скачке в собственном ускорении $\mathbf{W}(t)$ нет. Как же определить расстояние?

Я же написал как. Почему Вы считаете, что этот метод перестанет действовать?

Спасибо. Вы понятно объяснили. Просто мне показалось, что в момент скачка расстояние неопределённо.

Так вот, возвращаясь к теме, я считаю, что пространственная метрика слабо нестационарной системы отсчёта имеет такой вид
$dl^{2} =d\mathbf{r}^{2} +\frac{\left[(\mathbf{\Omega}(t) \times \mathbf{r})d\mathbf{r}\right]^{\, 2} }{(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^{2} -(\mathbf{\Omega}(t) \times\mathbf{ r})^{2} }$
где $\mathbf{r}$ имеет смысл координаты в стационарной системе отсчёта с собственным ускорением $\mathbf{W}(t)$ и собственной угловой скоростью $\mathbf{\Omega}(t)$

[epros]

В. Войтик в сообщении #504430 писал(а):

Можно ещё понимать термин "жёсткая" в смысле заданности раз и навсегда формы метрики.

Угу, по крайней мере - пространственной.

В. Войтик в сообщении #504430 писал(а):

Просто мне показалось, что в момент скачка расстояние неопределённо.

Это зависит от того, какой скачок. Если скачок только ускорения свободного падения, то с расстояниями ничего не произойдёт, а вот если наблюдатели скачком меняют скорость (т.е. с бесконечными ускорениями), то и расстояния между ними (в их собственной системе) могут скачком измениться.

В. Войтик в сообщении #504430 писал(а):

Так вот, возвращаясь к теме, я считаю, что пространственная метрика слабо нестационарной системы отсчёта имеет такой вид
$dl^{2} =d\mathbf{r}^{2} +\frac{\left[(\mathbf{\Omega}(t) \times \mathbf{r})d\mathbf{r}\right]^{\, 2} }{(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^{2} -(\mathbf{\Omega}(t) \times\mathbf{ r})^{2} }$
где $\mathbf{r}$ имеет смысл координаты в стационарной системе отсчёта с собственным ускорением $\mathbf{W}(t)$ и собственной угловой скоростью $\mathbf{\Omega}(t)$

Не знаю откуда Вы это взяли. В сообщении #496170 я приводил расчёт расстояний для вращающейся СО. Если вращение неравномерное, то в формулу замены переменной $\varphi$ вместо $\Omega t$ нужно подставить $\Phi(t)$. Соответственно, во всех формулах метрик вместо $\Omega$ появится $\dot{\Phi}$. Так что если $\dot{\Phi}$ изменится скачком, то и расстояния по окружности вокруг оси вращения изменятся скачком. Невольно вспоминается пресловутая задача про шест и сарай...

[В. Войтик]

epros в сообщении #504456 писал(а):

Угу, по крайней мере - пространственной.

Хм. Важное уточнение. Согласен.

epros в сообщении #504456 писал(а):

Не знаю откуда Вы это взяли. В сообщении #496170 я приводил расчёт расстояний для вращающейся СО.

Взял из уже вышеприведённой метрики для жёсткой ускоренной и вращающейся системы отсчёта. А Ваш расчёт находится полностью в согласии с пространственной метрикой
$dl^{2} =d\mathbf{r}^{2} +\frac{\left[(\mathbf{\Omega}(t) \times \mathbf{r})d\mathbf{r}\right]^{\, 2} }{(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^{2} -(\mathbf{\Omega}(t) \times\mathbf{ r})^{2} }$

Цитата:

Если вращение неравномерное, то в формулу замены переменной $\varphi$ вместо $\Omega t$ нужно подставить $\Phi(t)$. Соответственно, во всех формулах метрик вместо $\Omega$ появится $\dot{\Phi}$. Так что если $\dot{\Phi}$ изменится скачком, то и расстояния по окружности вокруг оси вращения изменятся скачком.

Ну да, ну да. А поскольку расстояния скачком изменяться не могут, то метрика
$ds^2=[(1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r})^2-(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})^2]dt^2-2(\mathbf{\Omega}(t)\times \mathbf{r})d\mathbf{r}dt-d\mathbf{r}^2$
для таких систем отсчёта неприменима.

[epros]

В. Войтик в сообщении #504460 писал(а):

... для жёсткой ускоренной и вращающейся системы отсчёта.

А что это такое? Известно как её получить через координаты ИСО?

В. Войтик в сообщении #504460 писал(а):

Ну да, ну да. А поскольку расстояния скачком изменяться не могут, то метрика
...
для таких систем отсчёта неприменима.

Если объекты могут мгновенно разгоняться и останавливаться, то и их длина должна смочь мгновенно изменяться. Поэтому если уж Вы готовы связать СО со скачком набирающими скорость наблюдателями, то я не вижу проблем в том, чтобы записать в таких СО соответствующую метрику.

[В. Войтик]

epros в сообщении #504469 писал(а):

А что это такое? Известно как её получить через координаты ИСО?

Известно. Это так называемое "обобщённое преобразование Лоренца". Я предпочитаю называть это преобразование преобразованием Лоренца-Мёллера-Нэлсона (ЛМН)

epros в сообщении #504469 писал(а):

Если объекты могут мгновенно разгоняться и останавливаться, то и их длина должна смочь мгновенно изменяться.

Нет, не может. Если некая начальная точка тела внезапно получила ускорение, то вследствие отсутствия идеально жёстких тел собственная длина тела в первоначальный момент сократится, но сократится не мгновенно.

epros в сообщении #504469 писал(а):

Поэтому если уж Вы готовы связать СО со скачком набирающими скорость наблюдателями, то я не вижу проблем в том, чтобы записать в таких СО соответствующую метрику.

Ну хорошо. Запишите.

[epros]

В. Войтик в сообщении #504475 писал(а):

Если некая начальная точка тела внезапно получила ускорение, то вследствие отсутствия идеально жёстких тел собственная длина тела в первоначальный момент сократится, но сократится не мгновенно.

Задача про шест и сарай может быть сформулирована так, что шест сразу весь и мгновенно остановился в некий момент времени лабораторной ИСО. Например, по всей его длине находились лаборанты, которые в согласованный момент его схватили и остановили (каждый - свою часть). Это означает, что сразу после остановки шест будет деформирован (сжат в $\gamma$ раз), а вот когда и как он распрямится - сие никому не ведомо.

В. Войтик в сообщении #504475 писал(а):

Ну хорошо. Запишите.

Пжалста:

Определяем преобразование координат: $x = h + v t$ при $t > 0$ и $x = h$ при $t \le 0$.

Метрика при $t > 0$:
$ds^2 = dt^2 - dx^2 =$
$= dt^2 - (dh + v dt)^2 =$
$= (1 - v^2) dt^2 - 2 v dt dh - dh^2$

Стало быть, пространственная метрика при $t > 0$:
$dl^2 = (1 + \frac{v^2}{1 - v^2}) dh^2 = \frac{1}{1 - v^2} dh^2$

Т.е. расстояние:
$dl = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} dh$ при $t > 0$ и
$dl = dh$ при $t \le 0$.

Как видите, расстояния меняются скачком при $t = 0$

[В. Войтик]

epros в сообщении #504497 писал(а):

Задача про шест и сарай может быть сформулирована так, что шест сразу весь и мгновенно остановился в некий момент времени лабораторной ИСО. Например, по всей его длине находились лаборанты, которые в согласованный момент его схватили и остановили (каждый - свою часть). Это означает, что сразу после остановки шест будет деформирован (сжат в $\gamma$ раз), а вот когда и как он распрямится - сие никому не ведомо.

При такой формулировке - конечно. Но представьте, что лаборантов нет.

epros в сообщении #504497 писал(а):

Определяем преобразование координат: $x = h + v t$ при $t > 0$ и $x = h$ при $t \le 0$.

Метрика при $t > 0$:
$ds^2 = dt^2 - dx^2 =$
$= dt^2 - (dh + v dt)^2 =$
$= (1 - v^2) dt^2 - 2 v dt dh - dh^2$

Стало быть, пространственная метрика при $t > 0$:
$dl^2 = (1 + \frac{v^2}{1 - v^2}) dh^2 = \frac{1}{1 - v^2} dh^2$

Т.е. расстояние:
$dl = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} dh$ при $t > 0$ и
$dl = dh$ при $t \le 0$.

Как видите, расстояния меняются скачком при $t = 0$

Так, не проблема таких преобразований можно выписать много. Но имеют ли они отношение к действительности. Например к движению твёрдого в собственной системе отсчёта тела? Конечно нет.

[epros]

В. Войтик в сообщении #504501 писал(а):

При такой формулировке - конечно. Но представьте, что лаборантов нет.

И стержня тоже нет, и только Дух носился над волнами.

В. Войтик в сообщении #504501 писал(а):

Так, не проблема таких преобразований можно выписать много. Но имеют ли они отношение к действительности. Например к движению твёрдого в собственной системе отсчёта тела? Конечно нет.

Смотря к какой действительности. В частности, о насколько "твёрдом" теле идёт речь? Вот шестерёнка в коробке передач - она достаточно твёрдая? А ведь при раскручивании она неизбежно должна деформироваться (даже если ухитриться скомпенсировать центробежные силы). При этом не так уж важно насколько быстро её раскрутили. В некоторых задачах можно считать, что мгновенно.

[В. Войтик]

epros в сообщении #504504 писал(а):

И стержня тоже нет, и только Дух носился над волнами.

Не понял Вашей иронии.

epros в сообщении #504504 писал(а):

В частности, о насколько "твёрдом" теле идёт речь?

Неважно какой твёрдости. Любое тело будет деформироваться при достаточно резком режиме ускорения

[epros]

В. Войтик в сообщении #504558 писал(а):

Не понял Вашей иронии.

А я не пойму Вашего замечания. Задача сформулирована так, как сформулирована.

В. Войтик в сообщении #504558 писал(а):

Неважно какой твёрдости. Любое тело будет деформироваться при достаточно резком режиме ускорения

Ускорение тут ни при чём. Любое тело в принципе можно разогнать так, чтобы оно не деформировалось, а можно так, чтобы деформировалось.

[В. Войтик]

Хорошо