PSP писал(а):
и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени
Любой многочлен 8-й степени с действительными коэффициентами можно разложить на два множителя четвертой степени с действительными коэффициентами. Но однозначной зависимости нет, потому что разложение не единственно.
Рассмотрите для начала задачу попроще. Попробуйте ответить на несколько вопросов о многочлене четвертой степени:
1. Любой ли многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на два квадратичных множителя с действительными коэффициентами?
2. Любое ли квадратное уравнение может быть решено в квадратных корнях?
3. Любой ли многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами разрешим в квадратных корнях?
4. Почему ответы на предыдущие три вопроса не противоречат друг другу?
? Когда я писал «если», я имел в виду именно такие случаи. 
![$$x^8-a = (x-\sqrt[8]a)(x-\omega\sqrt[8]a)\ldots(x-\omega^7\sqrt[8]a)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faa763d40918a8dbfd037552ab60d21082.png "$$x^8-a = (x-\sqrt[8]a)(x-\omega\sqrt[8]a)\ldots(x-\omega^7\sqrt[8]a)$$")
, где 
.
![$$x^8-a = \left\{\begin{array}{l}(x^4+\sqrt a)(x^4-\sqrt a), a\ge 0\\(x^4+x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a})(x^4-x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a}), a<0\end{array}\right$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/e/0bed3b5ba0ea2011e720f3dcd3f7a1e382.png "$$x^8-a = \left\{\begin{array}{l}(x^4+\sqrt a)(x^4-\sqrt a), a\ge 0\\(x^4+x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a})(x^4-x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a}), a<0\end{array}\right$$")
и существуют разрешимые подгруппы?
(единичная) или, более общо, циклическая подгруппа 
, порожденная любым элементом 
.
, например (и куча других).
и как по данной подгруппе построить соответствующее уравнение 8-й степени ,те.е. какие ограничение на его коэффициенты налагает подобная подгруппа? Ну и соответственно, методы решения такого уравнения...