Об уравнении n-й степени

[tolstopuz]

PSP писал(а):

и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени

Любой многочлен 8-й степени с действительными коэффициентами можно разложить на два множителя четвертой степени с действительными коэффициентами. Но однозначной зависимости нет, потому что разложение не единственно.

Рассмотрите для начала задачу попроще. Попробуйте ответить на несколько вопросов о многочлене четвертой степени:

1. Любой ли многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на два квадратичных множителя с действительными коэффициентами?
2. Любое ли квадратное уравнение может быть решено в квадратных корнях?
3. Любой ли многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами разрешим в квадратных корнях?
4. Почему ответы на предыдущие три вопроса не противоречат друг другу?

[незваный гость]

tolstopuz писал(а):

Любой многочлен 8-й степени с действительными коэффициентами можно разложить на два множителя четвертой степени с действительными коэффициентами. Но однозначной зависимости нет, потому что разложение не единственно.

Тут дело не столько в однозначности, сколько в выразимости коэффициентов полиномов 4-й степени в радикалах через коэффициенты полинома 8й степени. Если выразимы — все хоккей, а вот если нет… почти всегда нет

[tolstopuz]

незваный гость писал(а):

Если выразимы — все хоккей, а вот если нет… почти всегда нет

Точнее, всегда нет. Задача разложения на множители четвертой степени с коэффициентами в радикалах эквивалентна исходной задаче разложения на линейные множители с коэффициентами в радикалах.

[незваный гость]

tolstopuz писал(а):

Точнее, всегда нет.

Если иметь в виду общее уравнение 8й степени, Вы, безусловно, правы. Но что делать с $x^8 -a=0$? Когда я писал «если», я имел в виду именно такие случаи.

[tolstopuz]

незваный гость писал(а):

Когда я писал «если», я имел в виду именно такие случаи.

Я был несогласен не с "если", а с "почти"

[незваный гость]

tolstopuz писал(а):

Точнее, всегда нет.

tolstopuz писал(а):

Я был несогласен не с "если", а с "почти"

Что с примером делать будем?

[tolstopuz]

незваный гость писал(а):

Что с примером делать будем?

А что с ним делать? Все хорошо.

$$x^8-a = (x-\sqrt[8]a)(x-\omega\sqrt[8]a)\ldots(x-\omega^7\sqrt[8]a)$$

, где

$$\omega = \frac{1+i}{\sqrt 2}$$

.

$$x^8-a = \left\{\begin{array}{l}(x^4+\sqrt a)(x^4-\sqrt a), a\ge 0\\(x^4+x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a})(x^4-x^2\sqrt[4]{-4a}+\sqrt{-a}), a<0\end{array}\right$$

[незваный гость]

tolstopuz писал(а):

незваный гость писал(а):

Что с примером делать будем?

А что с ним делать? Все хорошо.

tolstopuz писал(а):

незваный гость писал(а):

Если выразимы — все хоккей, а вот если нет… почти всегда нет

Точнее, всегда нет.

Вы все-таки определитесь, пожалуйста: всегда — или не всегда?

Не то, чтобы я всерьез думал, что мы понимаем это по-разному, просто зануда я.

Или Вашу фразу «Точнее, всегда нет» следует понимать как (если нет) => (всегда нет)? Я конструировал свою несколько иначе: ((Если выразимы) => (все хоккей)) & ((вот если нет) => (…)) & (почти всегда нет). Тогда дело в грамматике.

[tolstopuz]

незваный гость писал(а):

((Если выразимы) => (все хоккей)) & ((вот если нет) => (…)) & (почти всегда нет). Тогда дело в грамматике.

О! Действительно в грамматике.

[PSP]

Попробую проверить выразимость..чуть позже выложу здесь результаты для проверки...

[PSP]

А для симметричной группы $S_8$и существуют разрешимые подгруппы?

[RIP]

PSP писал(а):

А для симметричной группы $S_8$и существуют разрешимые подгруппы?

Существуют. Например, в любой группе есть разрешимая подгруппа $\{e\}$ (единичная) или, более общо, циклическая подгруппа $\langle x\rangle$, порожденная любым элементом $x$.
В $S_8$ есть ещё разрешимая подгруппа $S_4$, например (и куча других).
Может, Вас интересуют все разрешимые подгруппы? (Тогда это уже не ко мне.)

[tolstopuz]

PSP писал(а):

А для симметричной группы $S_8$и существуют разрешимые подгруппы?

Я же давал ссылку.
http://hobbes.la.asu.edu/papers/octics.pdf
Раздел 3.2.

[PSP]

Вообше то меня интересуют разрешимые подгруппы порядка 8 ,ну типаZ_8 и как по данной подгруппе построить соответствующее уравнение 8-й степени ,те.е. какие ограничение на его коэффициенты налагает подобная подгруппа? Ну и соответственно, методы решения такого уравнения...

[Руст]

PSP писал(а):

Вообше то меня интересуют разрешимые подгруппы порядка 8 ,ну типаZ_8 и как по данной подгруппе построить соответствующее уравнение 8-й степени ,те.е. какие ограничение на его коэффициенты налагает подобная подгруппа? Ну и соответственно, методы решения такого уравнения...

Разве не разрешимы все силовские группы?