2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 
Сообщение18.01.2007, 00:03 


21/06/06
1721
Я бы хотел задать вопрос всем уважаемым участникам этой дискуссии.
Вот здесь часто проскальзывает такое выражение, в тех или иных случаях корни многочлена не могут быть выражены через радикалы с использованием коэффициентов этого уравнения.

Хотелось бы узнать. Это действительно невозможно (в том смысле, что какую бы мыслимую, но конечную комбинацию с использованием радикалов и коэффициентов этого уравнения (да врочем не умаляя общности, произвольных целых чисел) мы бы ни взяли), все равно такая комбинация корня уравнения не даст?

ИЛИ ЖЕ ЭТО МЫ И ТОЛЬКО МЫ ПРОСТО НЕ МОЖЕМ НАЙТИ такую комбинацию, но она в принципе существует?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 00:38 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
не существует в принципе для уравнения степени выше 4 8-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
нг писал(а):
не существует в принципе для уравнения степени выше 4 8-)

Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы, т.е. для этих уравнений НЕ существует разрешимых групп? Что-то не верится...
Например, биквартное увавнение(8-я степень) такое решение иметь может...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
PSP писал(а):
нг писал(а):
не существует в принципе для уравнения степени выше 4 8-)

Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы


Нет. Этот ответ означает, что существует уравнение заданной степени $n>4$, корни которого нельзя выразить через коэффициенты с помощью радикалов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
нет. Это следует понимать так, что существуют неразрешимые группы Галуа. Поскольку речь идет об общей формуле, то если бы она существовала, все бы группы были бы разрешимы.

В mathworld есть пример для уравнений пятой степени. Разрешимых мало…

P.S. Someone опередил :) конкуренция :)

P.P.S. Посмотрите mathworld. И поблуждайте по его ссылочкам. Там много чего есть (например, ссылки на разрешимые случаи).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 01:31 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
PSP писал(а):
Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы, т.е. для этих уравнений НЕ существует разрешимых групп? Что-то не верится...
Есть два аспекта проблемы.

1. Группа Галуа конкретного многочлена с числовыми коэффициентами. Там возможны разнообразнейщие ответы, как разрешимые, так и неразрешимые.
2. Группа Галуа многочлена общего вида - с буквенными коэффициентами. В ответе всегда $S_n$, которая разрешима только при $n<=4$.
PSP писал(а):
Например, биквартное увавнение(8-я степень) такое решение иметь может...
А это уже не уравнение общего вида, здесь задано соотношение - нечетные коэффициенты равны нулю. Например, биквадратное уравнение имеет группу Галуа либо $D_8$, либо $C_2\times C_2$, либо $C_4$ в зависимости от того, выполняются ли еще кое-какие соотношения между коэффициентами. Естественно, общая формула для его решения работает в каждом из трех случаев, но, скажем, в третьем случае все корни являются рациональными функциями какого-нибудь одного из них, а в первых двух - нет.

Я не знаю общего метода учета или получения таких соотношений. Есть какие-то статьи для $n=5$ и даже для $n=6$, но для $n=7$ и выше не видел.
http://www.google.ru/search?q=solvable+quintic

Кстати, я не понимаю, как решение в радикалах может помочь физической задаче. Достаточно объявить новую спецфункцию имени себя, а кем и как будет вычисляться ее значение - это уже мелочи. Пусть, например, компьютер считает - он железный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 02:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
tolstopuz писал(а):
Кстати, я не понимаю, как решение в радикалах может помочь физической задаче. Достаточно объявить новую спецфункцию имени себя, а кем и как будет вычисляться ее значение - это уже мелочи. Пусть, например, компьютер считает - он железный.

Конечно, это так -компьютер считает - он железный, но разрешимость группы Галуа, как ни удивительно, имеет физический смысл...
Кстати, а уравнение из произведений двух многочленов 4-й степени с действительными кэффициентами тоже имеет разрешимую группу Галуа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
В целом я думаю, Вы уже поняли эквивалентность двух условий — выразимость корней многочлена через радикалы (от коэффициентов) и разрешимость соответствующей группы Галуа.

В некотором смысле вещественность тут не причем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 03:37 


21/06/06
1721
Вообщем, в отдельных чертах понятно, но тогда возникает такой вопрос, в связи с чем были введены такие числа, которые выражаются в радикалах, они, значит, также мало характеризуют множество всех алгебраических чисел, как, например, множество всех животных московского зоопарка, харакктеризуют весь живой мир.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 07:33 


16/08/05
1153
Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
dmd писал(а):
Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

И возможно ли сделать так, чтобы характеристики этого ряда полностью определялись коэффициентами решаемого уравнения?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 08:58 


21/06/06
1721
Да здесь то вообще то выяснять надо, как одни алгебраические числа связаны с другими. Искать закономерности между ними и как-то может быть классифицировать их. Может быть сперва даже и без связи с конкретными полиномами.
И вообще, являются ли полиномы единстыенным источником, через которые можно определить понятие алгебраического числа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2007, 09:30 


16/08/05
1153
PSP писал(а):
dmd писал(а):
Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

И возможно ли сделать так, чтобы характеристики этого ряда полностью определялись коэффициентами решаемого уравнения?


Если такое решение будет найдено, то иначе и не будет - коэффициенты решаемого полинома будут полностью определять коэффициенты ряда-решения.

Sasha2 писал(а):
И вообще, являются ли полиномы единстыенным источником, через которые можно определить понятие алгебраического числа?


Радикалы, синусы-косинусы, спецфункции - это наш способ сокращенно записывать иррациональности и трансцендентности, но внутри себя все они - ряды. Т.е. универсальнее полиномной записи вроде ничего не придумано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2007, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Интересно, если я разделю многочлен 8-й степени на многочлен 4-й степени и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени, будет ли это подмножество ур-й 8-й степени разрешимым в радикалах?
(все коэфф. действительны)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.01.2007, 11:59 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
PSP писал(а):
Интересно, если я разделю многочлен 8-й степени на многочлен 4-й степени и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени, будет ли это подмножество ур-й 8-й степени разрешимым в радикалах?
(все коэфф. действительны)


Вероятно да, Вы ведь получите два уравнения четвертой степени. Мне кажется, что при этом Вы найдете не только и не столько соотношение коэф. многочлена ур. 8-й степени с коеф. многочлена ур. 4-й степени, сколько соотношение между коэффициентами исходного многочлена 8-й степени. Я уже пробовал, что-то такое делать для одной Олимпиадной задачи (геом. задача на построение), там должен был быть корень кратности два, но до конца не дорешал (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=43591&highlight=#43591)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 96 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group