Основания математики - элементарное рассмотрение

[a.k.]

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

Someone в сообщении #458374 писал(а):

Такс, это все кажется крайне странным... Ведь если выполняется теорема Дедекинда, то мы получим полное пространство. Не означает ли это, в силу теоремы Бэра, что мы снова получаем несчетное множество всех действительных чисел?? Но тогда и сама эта теорема оперирует не только со счетными множествами!

Прошу прощения за неточность, здесь конечно же идет речь не о теореме Дедекинда, а о теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества!

-- Чт сен 08, 2011 20:16:14 --

Someone в сообщении #481536 писал(а):

Что касается точной верхней грани числового множества, то её за конечное число шагов можно получить не всегда, но этого ни в классической, ни в конструктивной математике никто и не делает. Теорема о существовании точной верхней грани - это "чистая" теорема существования, совершенно неконструктивная (и в конструктивной математике неверная).

Согласен! Так вот я на нее-то и нападаю прежде всего. А если учесть, что большая часть основных теорем, скажем анализа, на нее ссылаются, то и на них тоже!

Someone в сообщении #481536 писал(а):

a.k. в сообщении #481507 писал(а):

Что касается таких объектов, как число 5, то я позволю себе называть их реально существующими. Естественно, это абстракция, но базовая и прозрачная.

В каком смысле оно "реально существует"? По-моему, исключительно в том, что Вы пожелали это так назвать. Указать физический объект "число 5" Вы не сможете.

Да я тут и не апеллирую к физике, скорее готов принять такие объекты, как число 5 за первичные, ровно как и те, которые конструируются из них финитными методами (5/7 например).

Someone в сообщении #481536 писал(а):

Которая теорема Кантора? О несчётности множества действительных чисел? Или о том, что мощность множества подмножеств любого множества больше мощности самого множества? А почему именно в ZF? Вид обеих теорем в ZF самый обычный: множество действительных чисел несчётно, а $\left|2^A\right|>|A|$. А Вы чего ожидали? Или Вы имели в виду ещё какую-нибудь теорему? И какая разница, сколько у теоремы доказательств?[/off]

Поскольку речь шла о парадоксе Сколема, все действительные числа не могут входить в Универсум счетной модели. Тут, видимо, речь идет о том, что мощность множества подмножеств любого множества больше мощности самого множества. Но тогда и такое множество тоже не должно входить в Универсум!? Короче хочу разобраться с парадоксом Сколема, а для этого надо понять, что конкретно доказано в рамках ZF. А про различные доказательства я спрашивал потому, что где-то читал, что сам Кантор предложил сначала одно доказательство этой теоремы, а потом спустя несколько лет - другое. Хочу ознакомиться с вопросом...

[epros]

(a.k.)

a.k. в сообщении #481542 писал(а):

Короче хочу разобраться с парадоксом Сколема

Для этого лучше откройте новую дискуссионную тему. Эта вряд ли заслуживает того, чтобы её в очередной раз поднимали, тем более - совершенно отвлечёнными вопросами.

[vek88]

epros в сообщении #481739 писал(а):

Для этого лучше откройте новую дискуссионную тему. Эта вряд ли заслуживает того, чтобы её в очередной раз поднимали

Блин,epros!

Откуда Вы все знаете, что поднимать, а что нет? При Вашей отсталости при всем при этом.

Я отсутствовал по уважительной причине - был в Бадене под Веной три недели на водах. А где были Вы?

При этом, напоминаю, что дебилам не место на этом форуме.

С глубоким уважением,
vek88

[Prorab]

vek88
я видел и тот вариант сообщения, который был до этого. Отдохните от форума еще две недели.

[Buba]

vek88 в сообщении #277162 писал(а):

"Могут ли машины мыслить?". И сформулировал контрвопрос "Могут ли люди мыслить?".

предлагаю рассмотреть этот вопрос на примере оснований математики. Таким образом, предлагаю поговорить о парадоксах (Рассела и др.), теореме Тарского, теореме Геделя и т.д. и т.п. (подобных дискуссионных темы здесь не менее десятка).

почему определение "множества всех множеств, не являющихся членами самих себя" вызывает смущение у людей? Ведь на самом деле и это определение некорректно!

Конечно, здесь интрига, засада и непонятка, (три в одном) = ?...
Попробуем преобразовать.
То есть смысл, определяемого здесь суждения, может быть выражен по разному, различными последовательностями (конструкциями) из термов, слов, понятий, известного содержания. Таких последовательностей, определяющих один смысл, должно быть >1 (не менее двух). И только тем и отличается смысл от тарабарщины, попросту говоря.
То есть мы должны набросать несколько суждений определяющих одно и то же содержание, один и тот же смысл.
И если согласимся с таким определением смысла, содержания суждения - тогда продолжим...

Руководствуясь интуицией, я сопоставлю следующее известное суждение и безусловный факт действительности...
"Невозможно наблюдать то, о чём заранее не известно". Но существует выход из этого круга конформизма, скажем так. В противном случае, сложные формы жизни, были бы невозможны.

Еще одно сопоставление...
Множество всех всевозможных отношений элементов множества - неперечислимо никаким образом. (Так всегда можно найти формулу, не соответствующую заранее заданному алгоритму, К. Гёдель).Но сама природа автоматически выделяет только определенные отношения из этого грандиозного множества всех множеств, что и приводит к однозначности исходов в конкретных ситуациях. В противном случае, ни законов сохранения, ни самой природы, не существовало бы.

Теперь спросим у автора топика, попал ли я на ту же самую (его) задачу...? - Определение такого универсума,
достаточного для существования и развития сложных форм жизни, с одной стороны,
и не содержащего противоречий, взаимоисключающих суждений, смыслов и их форм, соответственно, с другой стороны.
И это действительно вопрос оснований математики, и об этом действительно задумывались отцы конструктивной математики.

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #480347 писал(а):

Можно было бы отталкиваться от того, что математика - это наука о преобразовании информации.

Но, думаю, мало кто поддержит эту идею сейчас.

А не могли бы Вы уточнить, что Вы имеете в виду, говоря о преобразовании информации.

Разумеется, с общих житейских позиций математика рассматривает преобразование информации. Но тогда и Теория информации - это тоже математика? Однако, хотя отдельные результаты Теории информации и относятся к математике, например, теорема отсчетов Котельникова, в целом это совсем другая наука.

ЗЫ. Обстоятельно думаю о продолжении темы, соответственно, пытаюсь провести детальный анализ возможностей в свете последних нескольких страниц темы.

[Buba]

- Можно было бы отталкиваться от того, что математика - это наука о преобразовании информации.
Но, думаю, мало кто поддержит эту идею сейчас.

- А не могли бы Вы уточнить, что Вы имеете в виду, говоря о преобразовании информации.
-----------------------------
М...да, Тузику не нужены проблемы, ему нужна грелка и порвать ее в клочья...
Оказывается это Вы пошутить решили, как в русской народной сказке про пшик..
Тогда прошу прощения. Вечно я вляпаюсь куданть...

Предупреждение
за неправильное оформление цитаты.

[vek88]

Buba

Лично меня неправильное цитирование мало волнует. А вот мою тему прошу больше не засорять рваными грелками, тузиками и прочим хламом.

(Оффтоп)

Buba в сообщении #496729 писал(а):

Тогда прошу прощения. Вечно я вляпаюсь куданть...

Ну вляплись Вы не "куданть", а в свой собственный вторичный продукт (ИМХО термин Войновича), поскольку разбрасываете его где ни попадя. Но это Ваше личное дело и просить прощения тут ИМХО не за что.

[vek88]

vek88 в сообщении #480209 писал(а):

А вот давнишний вопрос о непротиворечивости реальной математической практики, к сожалению, закрыть не могу. Что-то неуловимое и сугубо интуитивное вертится ... , но никак не получается сформулировать суть.

Буду работать еще усердней, как говорил конь Боец из Animal Farm, и попробую дойти до сути. При этом за отправной пункт возьму пост post480209.html#p480209

И хоть я сам же себя и напугал в посте post480327.html#p480327, несколько поостыв, сообразил, что не надо здесь слишком пугаться и усложнять. Чтобы отловить нечто "неуловимое и сугубо интуитивное", надо поступить очень просто - если уж не можем уловить суть по поводу непротиворечивости всей реальной математической практики, то надо начать с простенького фрагмента этой практики. Например, снова посмотреть на книгу Фихтенгольца - теперь с позиций непротиворечивости. И это ИМХО вполне подъемная задача.

Думаю, что эта задача существенно упростится в случае конструктивного участия в теме других участников форума.

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #496710 писал(а):

А не могли бы Вы уточнить, что Вы имеете в виду, говоря о преобразовании информации.

Доказательства теорем, вывод закономерностей и т.д.

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #496906 писал(а):

vek88 в сообщении #496710 писал(а):

А не могли бы Вы уточнить, что Вы имеете в виду, говоря о преобразовании информации.

Доказательства теорем, вывод закономерностей и т.д.

Droog_Andrey

Согласен. Более того, ИМХО формализация понятия доказательства (вывода, выводимости) в формальных системах представляет собой очень поверхностную модель доказательств, которые мы строим в реальной математической практике. Возможно, естественный вывод ближе к реальной жизни, но и этого ИМХО мало, поскольку достаточно хорошей модели реальной практики он не дает.

Короче, хочу посмотреть на примере матана что мы делаем в процессе формулировки определений (= построение теории) и доказательства теорем по поводу этих определений (=построение метатеории).

[vek88]

Блин! Я тащусь. Просмотрел около 100 страниц 1-го тома Фихтенгольца. Да здесь противоречиями (или неразрешимостью) в принципе не пахнет. Почему?

Большая часть определений вводит подмножества уже ранее определенных множеств - такие определения ИМХО заведомо не могут привести к противоречиям. А остальные определения порождают множества подмножеств ранее определенных множеств.

И те и другие определения гарантируют непротиворечивость и полноту теории, полученной в результате их включения в теорию, если до этого она таковой была.

Это я пока сказал на естественно-научном уровне. Полистаю Фихтенгольца еще немного и, надеюсь, созрею до формулировки вышесказанного на математическом уровне.

[vek88]

Итак, начнем рассмотрение 1-го тома Фихтенгольца на предмет уточнения используемых логических конструкций в плане возможностей возникновения противоречий и/или неразрешимости.

В параграфе 1 нам напоминают базовые понятия из области рациональных чисел. Мы будем считать, что здесь все непротиворечиво и разрешимо (всякое утверждение либо истинно, либо ложно). Это исходная теория, которую далее мы расширяем, следуя Фихтенгольцу.

В параграфе 2 иррациональные числа вводятся с помощью определения сечения в области рациональных чисел.

Определение. Разбиение множества всех рациональных чисел на два не пустые множества $A, A'$ называется сечением, если выполняются условия:

1. Каждое рациональное число попадает в одно, и только одно, из множеств $A$ или $A'$.

2. Каждое число $a$ множества $A$ меньше каждого числа $a'$ множества $A'$.

Какова логическая структура этого определения?

На входе у нас множество всех рациональных чисел. Чтобы рассматриваемое определение имело смысл, мы должны допустить существование подмножеств множества всех рациональных чисел. При этом обратим внимание, что нас, по крайней мере на данном этапе, не волнует множество всех подмножеств множества всех рациональных чисел.

Далее мы выделяем конкретные подмножества множества всех рациональных чисел. Как мы их выделяем? С помощью логических условий. Рассмотрим структуру этих условий.

Продолжение следует.

[vek88]

Поскольку исходная теория предполагается непротиворечивой и разрешимой, для любого множества рациональных чисел $A$ и любого рационального числа $a$ либо $a \in A$, либо $a \notin A$. С учетом этого для любых двух множеств рациональных чисел $A, A'$ условие 1 Определения сечения либо выполнено, либо нет.

По тем же причинам для любых двух множеств рациональных чисел $A, A'$ условие 2 либо выполнено, либо нет.

Таким образом, любые два не пустых множества рациональных чисел $A, A'$ либо удовлетворяют определению сечения, либо нет.

Теория, полученная присоединением этого Определения к исходной теории заведомо непротиворечива, т.к. это определение никаких новых множеств не вводит. Оно лишь классифицирует ранее определенные множества (точнее пары мн-в) по признаку сечение/не сечение.

[Droog_Andrey]

Фишка в том, что требования нужно проверить для всех рациональных чисел, а их бесконечно много. Получаются те же грабли, что и при выборе элемента из несчётного множества.