Попытка доказательства Теоремы Ферма

[AKM]

natalya_1 в сообщении #493260 писал(а):

Может кто-нибудь помочь мне расписать доказательство рациональности корней уравнения, если ...

Доказательство рациональности корней КАКОГО уравнения Вы хотите расписать? Возможно, об этом можно догадаться, листая тему обратно, но... Ясно (почти), что это не само уравнение Ферма, а что-то промежуточное, типа лемма...

Но тогда — можно ли её сформулировать как-то независимо от предыдущего? Типа "уравнение $qwxasdrtyz=hjiy$ при целых (?) $q,w,a,s,\ldots$ имеет (только?) рациональные решения". Независимо от того, откликнется кто-то на Вашу просьбу, или нет.

-- 17 окт 2011, 01:18 --

То есть, если это, на Ваш взгляд, не может быть сформулировано в виде некого отдельного, компактно-самодостаточного утверждения, то и не надо пытаться.

[natalya_1]

Если функция $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков, то точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $a$ (таких точек вместе с $a$ три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+Q=0$ ,и их сумма $\frac{c^2d}{cd-p}$. А точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $b$ ( таких точек вместе с $b$ тоже три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px-Q=0$, где $Q$ - целое число. И их сумма такая же.
А произведение значений корней равно $\frac{-Q}{cd-p}$ и $\frac{Q}{cd-p}$ соответственно.
Мне нужно расписать доказательство вот этой леммы:
Поскольку $a$ больше большей критической точки, а $b$ больше меньшей критической точки, $a$ и $b$ (корни уравнений)- целые числа, коэффициенты уравнения - целые числа, точка перегиба функции рациональна, точки пересечения с осью $OX$ рациональны, остальные корни уравнений тоже рациональны.

[AKM]

Вынужден констатировать, что у Вас не получилось выполнить мою просьбу (совсем неназойливую, и, как видно из текста, необязательную к исполнению): вряд ли кто-то, прочитавший только это Ваше сообщение, способен приступить к анализу утверждения (я именно самодостаточности просил, и if possible). Ожидалось что-то вроде

писал(а):

Пусть натуральные $a,b,c$ таковы, что $a^3+b^3=c^3$, и $p=\ldots$, $d=\ldots$. Тогда функция $y(x)=\ldots$ обладает следующими свойствами...

Что ж, может Ваши регулярные собеседники что-то прояснят.

[natalya_1]

AKM
, у меня есть доказательство этой леммы. (разумеется, я отдаю себе отчет, что там может быть ошибка). Моя просьба заключается в том, чтобы помочь "перевести" мое доказательство на язык, требуемый для форума и предъявляемый к доказательству. Без картинки-графика, который я не могу построить в формате, требуемом форумом, я не могу (не знаю как) расписать доказательство, а построить картинку на компьютере не в состоянии. У меня есть изображение, сделаное от руки.
Я готова встретиться и все подробно разъяснить. Может, среди читающих тему есть педагоги-репетиторы, студенты, которые могут оказать такую помощь на небезвозмездной основе?
Я буду очень благодарна.

[AV_77]

Прочитайте про теорему Виета.

[natalya_1]

AV_77 в сообщении #494274 писал(а):

Прочитайте про теорему Виета.

Теорему Виета я использую в доказательстве в дальнейшем. (при условии, что лемма, про которую я писала, будет доказана). При доказательстве этой леммы теорема Виета мне не помогает (или я не вижу, чем она мне может помочь). Имеем три корня кубического (сейчас говорим о случае $n=3$) уравнения. Один корень - целый. Сумма и произведение двух других рациональны. Это все,что дает Теорема Виета. Возможно, я то-то не увидела?
Ход рассуждений доказательства моей леммы я пыталась объяснить несколькими страницами раньше, но у меня не получилось объяснить. Буду искать варианты изложения, останавливаться не буду, пока не увижу или мне не укажут, что ошибаюсь в главном.
Мое доказательство леммы очень простое (если оно правильное конечно). Вся заковырка для меня в его изложении.
Но и теорему Виета по ходу я "доказывала" по своему. Может, и эту лемму надо доказывать как-то по другому? Повторюсь, буду благодарна за любую помощь и соучастие в доказательстве.

[ananova]

natalya_1
Вот здесь еще красивые графики получаются по заданным формулам. Может поможет.
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3[/url]

[natalya_1]

ananova, спасибо большое!
Напишу кое что и для Вас, может, Вам это поможет в Вашем доказательстве, чтобы Вы не рассматривали вариант $c-a=1$:
Имеем: $k=\frac{c^2d}{3(cd-p)}$, $k<b$. $\frac{c}{k}=\frac{3(cd-p)}{cd}=3-\frac{3p}{cd}$. Поскольку $3p>cd$, $\frac{c}{k}<2$, при этом $b>k$. Пусть $c-a=t$. Тогда $(\frac{c}{2})^3+(c-t)^3<c^3$. $\frac{c^3}{8}-3c^2t+3ct^2-t^3<0$. Отсюда $\frac{c^2(24t-c)}{8}>t^2(3c-t)$. Следовательно $24t>c$ Дальше я сейчас не продолжаю (хотя у меня есть некоторые соображения, и я этот путь тоже не исключаю), но из этого неравенства очевидно (несложно доказать), что $c-a$ никак не может быть равно $1$ и вообще достаточно большое число (поскольку если есть решения уравнения $x^n+y^n=z^n$в целых числах, то они находятся в области больших чисел).

[ananova]

(Оффтоп)

natalya_1
Благодарю, пусть будет! Я уже, честно говоря, и забыл про $c-a=1$. Вроде недавно интересовала, а сегодня уже другие интересы.

[AKM]

natalya_1 в сообщении #493272 писал(а):

Моя просьба заключается в том, чтобы помочь "перевести" мое доказательство на язык, требуемый для форума и предъявляемый к доказательству.

Собственно, именно такую помощь я и предлагал. Естественно, "перевод" доказательства утверждения следует начинать с "перевода" самого утверждения. Прототипчик выше предложен. А если его нельзя как-то локализовать, то на статус "леммы" утверждение вряд ли тянет.

[natalya_1]

AKM
Спасибо за предложение помощи.
Я постараюсь сделать так, как предписано. Не знаю, будет это самостоятельная лемма или один из пунктов доказательства.

[natalya_1]

Попробовала доказать рациональность корней уравнения по-другому:
Пусть $a_1=\frac{q}{cd-p}$, $a_2=\frac{q_1}{cd-p}$, где $a$, $a_1$, $a_2$- корни уравнения $x^3(cd-p)-x^2c^2d+xc^2p-Q=0$.
Тогда:
$\frac{q^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q}{(cd-p)^2}=\frac{q_1^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq_1^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q_1}{(cd-p)^2}$, отсюда $(q-q_1)(q^2+qq_1+q_1^2-c^2dq-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$,
$q^2+q(q_1-c^2d)+(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$
$D=(q_1-c^2d)^2-4(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))$
$q=\frac{c^2d-q_1-\sqrt{D}}{2}$. И поскольку $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$, $q=\frac{q+a(cd-p)-\sqrt{D}}{2}$, $q=a(cd-p)-\sqrt{D}$

Аналогично $q_1=a(cd-p)-\sqrt{D_1}$(поскольку доказано, что $a_1<a$, $a_2<a$ ). Но сумма корней уравнения рациональна, следовательно
$\sqrt{D}+\sqrt{D_1}$- рациональное число, отсюда $q$ и $q_1$ - рациональные числа. Корни уравнения рациональны.

[natalya_1]

Всем доброй ночи и поздравление с католическим Рождеством и наступающим Новым годом! Предыдущее мое сообщение осталось без замечаний и ответов. Могу я считать, что в нем нет ошибки и написать окончание доказательства?

[AKM]

natalya_1 в сообщении #519901 писал(а):

сообщение осталось без замечаний и ответов. Могу я считать, что в нем нет ошибки

Лично я так и не понял самого утверждения. Пролистал 10 страниц назад, из этого поста у меня возникли версии простой формулировки доказываемого утверждения (с тамошними определениями $p,d,Q$). Но если моя версия верна, то непонятно, почему Вы её (формулировку) не смогли выписать. По предложенному шаблону. А если не верна, то...

[natalya_1]

AKM в сообщении #520018 писал(а):

natalya_1 в сообщении #519901 писал(а):

сообщение осталось без замечаний и ответов. Могу я считать, что в нем нет ошибки

Лично я так и не понял самого утверждения. Пролистал 10 страниц назад, из этого поста у меня возникли версии простой формулировки доказываемого утверждения (с тамошними определениями $p,d,Q$). Но если моя версия верна, то непонятно, почему Вы её (формулировку) не смогли выписать. По предложенному шаблону. А если не верна, то...

К сожалению, как я уже писала, мне не хватает знаний, и я постоянно занимаюсь изобретением велосипеда.
То, что специалисту кажется очевидным и не требует доказательства, я доказываю. И наоборот.
Мой пост, на который Вы сослались, - это общая схема доказательства. Мне необходимо было доказать рациональность корней уравнения. Возможно, мне опять не удалось четко и грамотно сформулировать свою мысль. Но если корни уравнения рациональны, то (если конечно в моих дальнейших рассуждениях нет ошибки) я выхожу на концовку доказательства.