Итак, Ферма утверждал, что уравнение
не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.
1.1. Предположим, что такое решение существует, при
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимнопростые числа,
, пусть
,
Тогда
.
1.2.
, где
- целое положительное число.***
, где
-целое положительное число.***
1.3.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
,
,
.***
1.4.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
Левая часть равенства представляет собой значение функции
при
, а правая - при
, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при
и
равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть
,
, тогда
,
, (
,
,
(п.1.3)), следовательно,
1.6. Исследуем функцию
.
,
,
-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
.
или
,
,
Так как на сегменте
существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках
и
. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте
, принимающие значения разных знаков.
Найдем критические точки функции:
при
,
,
,
Критические точки функции
будут
. То есть, критических точек две.
***1.2.1
,
=>
,
,
, где
- целое положительное число.
***1.2.2.
, где
- целое число.
,
,
.
=>
- целое положительное число,
- целое положительное число.
3.2.Точка перегиба функции
, где
и
- критические точки функции.
.
4.1 Если функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков, то точки, значение функции в которых равно значению функции в точке
(таких точек вместе с
три) соответствуют корням уравнения
,и их сумма
. А точки, значение функции в которых равно значению функции в точке
( таких точек вместе с
тоже три) соответствуют корням уравнения
, где
- целое число. И их сумма такая же.
А произведение значений корней равно
и
соответственно. Поскольку
больше большей критической точки, а
больше меньшей критической точки**** и точка перегиба рациональна, корни уравнений тоже рациональны.
4.2.
, то есть, не имеет делителя
, следовательно,
будет целым числом (что требуется исходя из значения
, где
- целое число) только если второй корень уравнения тоже будет целым числом (как
и
соответственно), а третий - рациональным числом.
Тогда имеем
, где
и
- целые числа,
и
- взаимно простые числа.
Должны выполняться условия:
- целое число и
- целое число. .