2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 52  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение24.09.2011, 01:52 


29/08/09
691
shwedka в сообщении #485596 писал(а):
natalya_1 в сообщении #485587 писал(а):
И их сумма должна быть такой же. -

да она такая же и есть. Закон природы, теорема Безу.

Я уже писала, что мне не хватает знаний и занимаюсь изобретением велосипеда. Поэтому и продвигаюсь с таким скрипом.
Гордиться тут нечем. :oops:
Утешает только, что выводы делаю и есть к чему стремиться. Буду стараться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.09.2011, 11:52 


16/08/09
304
natalya_1 в сообщении #485797 писал(а):
shwedka в сообщении #485596 писал(а):
natalya_1 в сообщении #485587 писал(а):
И их сумма должна быть такой же. -

да она такая же и есть. Закон природы, теорема Безу.

Я уже писала, что мне не хватает знаний и занимаюсь изобретением велосипеда. Поэтому и продвигаюсь с таким скрипом.
Гордиться тут нечем. :oops:
Утешает только, что выводы делаю и есть к чему стремиться. Буду стараться.


Дерзайте Натали, дерзайте! Такими темпами вы скоро и до кривой Фрея доберетесь
$
y^2  + x(x - a^n )(x + b^n ) = 0
$ :shock: И впрямь получится, как тот монгол на самодельном деревянном велосипеде, приехавший в Улан- Батор 20-ых годов и упавший в обморок при виде летающих железных птиц :lol: Кстати, говорят подлинная история! :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.09.2011, 17:45 


29/08/09
691
Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c+d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^2(cd-p)=c^2(ad-p)$,$b^2(cd-p)=c^2(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}=\frac{b^2}{bd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках $0$и $c$. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте $]0;c]$, принимающие значения разных знаков.

Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$. То есть, критических точек две.


***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.


3.2.Точка перегиба функции $k=\frac{x+x_1}{2}$, где $x$ и $x_1$- критические точки функции.$k=\frac{c^2d}{3(cd-p)}$.

4.1 Если функция $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков, то точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $a$ (таких точек вместе с $a$ три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+Q=0$ ,и их сумма $\frac{c^2d}{cd-p}$. А точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $b$ ( таких точек вместе с $b$ тоже три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px-Q=0$, где $Q$ - целое число. И их сумма такая же.
А произведение значений корней равно $\frac{-Q}{cd-p}$ и $\frac{Q}{cd-p}$ соответственно. Поскольку $a$ больше большей критической точки, а $b$ больше меньшей критической точки**** и точка перегиба рациональна, корни уравнений тоже рациональны.



4.2. $Q=b^2(cd-p)-c^2(bd-p)$, то есть, не имеет делителя $cd-p$, следовательно, $\frac{x_1x_2}{cd-p}$ будет целым числом (что требуется исходя из значения $xx_1+xx_2+x_1x_2=\frac{c^2p}{cd-p}$, где $x$ - целое число) только если второй корень уравнения тоже будет целым числом (как $a$ и $b$ соответственно), а третий - рациональным числом.



Тогда имеем
$(a^3+b_1^3)(cd-p)-(a^2+b_1^2)c^2d+(a+b_1)c^2p=0$, где $a$ и $b_1$ - целые числа, $a$ и $c$ - взаимно простые числа.

Должны выполняться условия: $\frac{a^3+b_1^3}{c^2}$- целое число и $\frac{(a^2+b_1^2)c^2d}{a+b_1}$- целое число. .

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение25.09.2011, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):
корни уравнений тоже рациональны.

Не вижу доказательства этого утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 14:09 


29/08/09
691
shwedka в сообщении #486384 писал(а):
natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):
корни уравнений тоже рациональны.

Не вижу доказательства этого утверждения.

Я исходила из того, что поскольку точка пересечения графика функции с осью $OX$ рациональна, то если последовательно выполнить параллельный перенос графика функции на $k-h$ параллельно оси $OY$, а потом на величину значения функции в точке $k$ параллельно оси $OX$, то в результате значение точки перегиба (симметрии) получившегося графика будет $\frac{a+b_1}{2}$, и значение это будет рациональным, а следовательно, и $b_1$ - рационально. И поскольку сумма значений корней рациональна, а два корня из трех рациональны, третий корень тоже рационален.
Аналогично с $a_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
natalya_1 в сообщении #486564 писал(а):
то в результате значение точки перегиба (симметрии) получившегося графика будет $\frac{a+b_1}{2}$, и значение это будет рациональным

Доказывать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 19:02 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
У меня то же место вызвало подозрения.
natalya_1 в сообщении #486325 писал(а):
4.1 ...
Поскольку $a$ больше большей критической точки, а $b$ больше меньшей критической точки**** и точка перегиба рациональна, корни уравнений тоже рациональны.
Как вы это получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 19:39 


29/08/09
691
Доказательство того, что $a$ больше большей критической точки:
$c^2d^2-3cdp+3p^2=(cd-p)^2-p(cd-2p)$, большая критическая точка $\frac{c^2d+c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$. Следовательно, эта критическая точка меньше
$\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}$.
Я предположила, что $\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}<a$. Тогда
$c(2cd-p)<3a(cd-p)$, $2cd-p<3cd-3p$, $cd>2p$ - верно. Следовательно, предположение было верным.

Насчет рациональности корней я буду думать, как лучше сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 23:06 


29/08/09
691
Подскажите, пожалуйста, как строить на компьютере графики. :oops:
Боюсь, у меня не получится объяснить доказательство без изображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 23:13 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
natalya_1 в сообщении #486695 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как строить на компьютере графики. :oops:
Куча разных способов. Например, можно строить в Excel или скачать программку Advanced Grapher

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение26.09.2011, 23:30 


29/08/09
691
Спасибо большое! Буду изучать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение27.09.2011, 12:57 


29/08/09
691
Попробую без графика объяснить, не получается у меня построить.
Итак, имеем: точка $a_1$, значение функции в которой равно значению функции в точке $a$ и равно значению функции в точке $b$, взятому с противоположным знаком. Выполним параллельный перенос (или сдвинем график влево) относительно оси $OY$ на величину $h-k$, где $h$ - точка пересечения графика с осью $OX$, $k$ -точка перегиба функции. Тогда значение функции в точке $b_1=b-(h-k)$ равно значению функции в точке $b$ плюс значение функции в точке $k$. А значение функции в точке $a_1$ равно значению функции в точке $b_1$ , взятое с противоположным знаком, плюс значение функции в точке $k$. Значит, точки $a_1$ и $b_1$ симметричны относительно точки перегиба функции, следовательно, $k-b_1=a_1-k$. Но $b_1=b-(h-k)$, то есть, $b_1$ - рациональное число, следовательно, $a_1$ - рациональное число. Следовательно, корни уравнения рациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение27.09.2011, 14:01 


29/08/09
691
Не слишком удачно я ввела обозначение $b_1$. Лучше было бы назвать точку как-нибудь по-другому, чтобы не возникало путаницы с корнями исследуемого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение27.09.2011, 16:04 


15/12/05
754
natalya_1
Вот ещё простой построитель графиков 2D и 3D .. http://www.microsoft.com/download/en/details.aspx?id=15702

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение27.09.2011, 16:36 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
natalya_1 в сообщении #486805 писал(а):
Итак, имеем: точка $a_1$, значение функции в которой равно значению функции в точке $a$ и равно значению функции в точке $b$, взятому с противоположным знаком. Выполним параллельный перенос (или сдвинем график влево) относительно оси $OY$ на величину $h-k$, где $h$ - точка пересечения графика с осью $OX$, $k$ -точка перегиба функции. Тогда значение функции в точке $b_1=b-(h-k)$ равно значению функции в точке $b$ плюс значение функции в точке $k$.
Какой функции, сдвинутой? У неё значение в точке $k$ равно нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group