Проблема с рядом Фурье

[ewert]

profrotter в сообщении #495720 писал(а):

Нет - не понимаю, что мешает мне найти некоторую функцию, а потом рассмотреть её дискретные значения,

Ничего -- кроме того, что её "дискретные значения" (точнее, значения в дискретных точках) попросту неопределены. И что, кроме того, "недискретные значения" не имеют никакого отношения к рассмадриваемой задаче.

profrotter в сообщении #495720 писал(а):

А я и подставлял после сокращения.

Увы. Возможно, глубоко в тайниках своей души Вы и пытались подставить после. Этого никто, кроме Вас, не знает (а возможно, и Вы тоже не знаете). Однако здесь -- подставили именно до.

Это не означает, что правильные значения коэффициентов Фурье нельзя получать предельным переходом от нецелочисленных значений эн к целоцисленным. Можно; только вот Ваши обоснования совершенно неудовлетворительны. Можно потому, что небольшое шевеление целочисленного номера (любого конкретного номера) сводится к разложению той же функции, но по чуть деформированному отрезку или, что то же, к разложению по тому же отрезку, но чуть деформированной функции. Однако чуть-чуть-деформация функции влечёт за собой лишь чуть-чуть-изменение любого конкретного её коэффициента Фурье.

[profrotter]

ewert в сообщении #495729 писал(а):

profrotter в сообщении #495720 писал(а):

Нет - не понимаю, что мешает мне найти некоторую функцию, а потом рассмотреть её дискретные значения,

Ничего -- кроме того, что её "дискретные значения" (точнее, значения в дискретных точках) попросту неопределены. И что, кроме того, "недискретные значения" не имеют никакого отношения к рассмадриваемой задаче.

Они могут быть доопределены и результат, как вы отметили, получатеся тот же. А функция имеет отношение: мы рассматриваем сигнал на периоде, (то есть выделяем соответствующий непериодический сигнал) и находим его спектральную плотность. При таком подходе решение задачи спектрального анализа упрощается, более того можно использовать свойства преобразования Фурье. Потом от спектральной плотности переходим к коэффициентам ряда Фурье. Это вопрос скорее методического подхода.

[nnosipov]

profrotter в сообщении #495720 писал(а):

Ничего мне не мешает рассматривать эту формулу на целых числах:

$$\frac {\sin(n)}{n}= 1-\frac{n^2}{3!}+\frac{n^4}{5!}-...,$$

На множестве всех целых чисел мешает: левая часть этой формулы бессмысленна при $n=0$.

profrotter в сообщении #495720 писал(а):

и, в частности, при $n=0$ и записать

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=1$$

Так пишите только Вы. Еще раз повторяю: в учебниках такого нет.

[Mike1]

Someone в сообщении #495224 писал(а):

Mike1, так Вы нашли правильные значения коэффициентов $a_1$ и $b_1$?

Да, уже нашел.
А правильные или нет - препод проверит

[profrotter]

nnosipov в сообщении #495740 писал(а):

На множестве всех целых чисел мешает: левая часть этой формулы бессмысленна при $n=0$.

Но формула верна для действительных числел, среди которых находятся и целые. Но правая часть этой формулы показывает, что не бессмысленна. В учебнике не указано никаких ограничений на ноль. Тут скорее наоборот открывается смысл доопределения о котором шёл разговор выше, причём доопределение получается естественным образом без привлечения предела.

Ну тупиковая полемика: я не вижу выхода, а для вас всех всё очевидно. То, что на ноль делить нельзя я знаю, если что.

[nnosipov]

profrotter в сообщении #495749 писал(а):

Но формула верна для действительных числел, среди которых находятся и целые.

Опять неверно. А говорите, что знаете, что на ноль делить нельзя.

profrotter в сообщении #495749 писал(а):

В учебнике не указано никаких ограничений на ноль.

Потому что они подразумеваются по умолчанию. О подобных умолчаниях написано ещё в школьных учебниках. Уж не предлагаете ли Вы переписать школьные учебники?

[Joker_vD]

А еще часто в учебниках опускают фразу "данное равенство выполняются, когда выражения в обеих частях равенства имеют смысл". Потому что если ее пихать всюду, где она нужна, никакой бумаги не хватит. Потому ее пишут в начале, а дальше читатель должен сам это держать в голове, чтобыне получать софизмов с интегралами, доказывающими, что $0=1$.

[svv]

profrotter писал(а):

Вот я опять открываю Фихтенгольца том 1 и на стр.498 нахожу формулу:

$$\frac {\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...$$

Ничего мне не мешает рассматривать эту формулу на целых числах:

$$\frac {\sin(n)}{n}= 1-\frac{n^2}{3!}+\frac{n^4}{5!}-...,$$

и, в частности, при $n=0$ и записать

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=1$$

profrotter, Вы решили некоторым способом примерно такую задачу (я немного обобщу её).

Функции $f(x)$ и $g(x)$ аналитичны в окрестности точки $x=0$ (разлагаются в ряд Тейлора, сходящийся к соответствующей функции). Обе функции обращаются в нуль при $x=0$. Из-за этого функция $h(x)=\frac {f(x)} {g(x)}$ не определена в точке $x=0$, однако похоже, что доопределением $h(x)$ в нуле можно сделать её непрерывной. Пользуясь разложением в ряд Тейлора, найти нужное значение в нуле.

Решали Вы её примерно так.
Так как $f(0)=0$, $g(0)=0$, ряды Тейлора для $f$ и $g$ в точке $x=0$ начинаются с первой степени $x$:
$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n$, $g(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^n$.
Подставим разложения в дробь и сократим на $x$:
$h(x)=\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^{n-1}}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^{n-1}}$
Теперь числитель и знаменатель не обращаются в нуль при $x=0$ (по крайней мере, в нашем случае). Мы подставляем $x=0$ и находим: $h(0)={a_1}/{b_1}$.

Получается, что ряды Тейлора целиком не нужны, используются только коэффициенты при первой (в нашем случае) степени $x$. Для знаменателя $g(x)=x$ этот коэффициент, очевидно, равен $1$. А откуда он берется для числителя $f(x)=\sin x$, если не отвечать "из книжки"?

Ответ: коэффициент при $x$ в ряде Тейлора функции $f(x)$ в точке $x=0$ равен $f'(0)$ (соответственно $g'(0)$). (Производная синуса равна косинусу, а косинус в нуле равен $1$). Так и получается $h(0)=1/1=1$.

Вы можете рассматривать Ваши функции на сетке, но нельзя забывать: чтобы автор Вашей книги мог записать разложение в ряд Тейлора для синуса, ему надо было определить производную, а производная -- это предел, а для вычисления предела недостаточно задать функцию на сетке. Вас не коснулись эти проблемы, потому что Вы воспользовались готовым результатом.

А вычисление отношения $f'(0)/g'(0)=a_1/b_1$, -- это в точности применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенности вида $0/0$, то есть для нахождения предела функции $f(x)/g(x)$ в точке, в которой $f(0)=0$ и $g(0)=0$.

Вывод. То, что у Вас получилось -- просто классический предел функции в точке, для существования которого функция должна быть задана в окрестности $x=0$, не на сетке. Ваше дискретное рассмотрение возможно лишь на базе того, что предшественники извлекли нужную информацию (пределы, производные, ряд Тейлора) из "непрерывного" определения функции $\sin x$.

[profrotter]

Someone в сообщении #495644 писал(а):

Что функцию, определённую на множестве целых неотрицательных чисел, можно многими способами продолжить на множество действительных чисел? Ну продолжите её между соседними точками как линейную, а в области - как постоянную. А в другой раз вместо линейной функции возьмите какую-нибудь другую.

Имею предположение, что здесь вы путаете интерполяцию и продолжение. Когда продолжение понимается как замена целого аргумента на действительный в выражении, описывающем решетчатую функцию, то никакой неоднозначности нет. Если я не прав - приведите пример.
Всё понял. Для $\cos(\pi n)$ и $(-1)^n$ продолжения будут разными.

svv в сообщении #495791 писал(а):

Ваше дискретное рассмотрение возможно лишь на базе того, что предшественники извлекли нужную информацию (пределы, производные, ряд Тейлора) из "непрерывного" определения функции .

Вопрос как раз и заключается в том "возможно" или "невозможно". Вот есть последовательность $a_n=\frac {\sin(n)}{n}$. Можно ли при вычислении $a_0$ перейти к соответствующей функции действительного аргумента, полагая аргумент $n=x$ действительным, и считать значение элемента $a_0$ равным предельному значению:

$$a_0=\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=\lim\limits_{x\to0}\frac {\sin(x)}{x}=1?$$

--------------------------
Вообще доопределение значений функций в точках, где имеет место неопределённость их предельными значениями для меня всегда казалась обычной практикой. Сегодня полистал Бронштейна и Семендяева - оказывается такая замена не всегда обеспечивает непрерывность функции. То есть существование предела не гарантирует отсутствие устранимого разрыва в точке неопределённости. Видимо в самом общем случае надо не тупо заменять, а дополнительно исследовать функцию в окрестности точек, где имеет место неопределённость. То есть возможны и другие доопределения.

[Алексей К.]

сообщение #495663 писал(а):

Когда вы вычисляете производную, вы же понимаете, что

$$\frac {df(t)}{dt}\rvert_{t=0}\neq\frac {df(0)}{dt}\neq \frac {df(0)}{d0}?$$

Нашлась забавная аналогия:

$$ \left.\frac{\sin n}n\right|_{n=0}=\frac{\operatorname{si0}\,0}{0}$$

И по-моему, вовсе даже не натянутая.

-- 25 окт 2011, 22:31 --

Натянутая: очевидно, замене подлежит только n курсивное. Недостаток в нотации для производных.
Maple'ам просто пришлось придумать $D(f)$, без упоминания об аргументе.

[arseniiv]

(2 Алексей К.)

А вы тогда так:

$$ \left.\frac{df(d)}{dd}\right|_{d=1}=\frac{1 \cdot f(1)}{1 \cdot 1}\right = f(1).$$

[Someone]

profrotter в сообщении #495873 писал(а):

Имею предположение, что здесь вы путаете интерполяцию и продолжение.

Не путаю. Интерполяция - один из способов продолжения функции, заданной на сетке. Вообще, если есть две функции $f_1\colon X_1\to Y$ и $f_2\colon X_2\to Y$, причём, $X_1\subset X_2$, то $f_2$ называется продолжением $f_1$ (на множество $X_2$), если для всех $x\in X_1$ выполняется равенство $f_2(x)=f_1(x)$.

[profrotter]

Алексей К., давайте я третий раз попробую пояснить смысл обозначения. Под $\frac {\sin(n)} {n}\rvert_{n=0}$ я понимаю доопределённое значение, которое получается путём продолжения на область действительных чисел и соответствующим предельным переходом. Ну считайте, что я сокращаю такую запись:

$$ \frac {\sin(n)} {n}=\begin{cases} \frac {\sin(n)} {n},&\text{если $n\neq0$;}\\ \boxed{\frac {\sin(n)} {n}\rvert_{n=0}},&\text{если $n=0$;}\\ \end{cases} $$

Вот там в рамке стоит то гипотетическое число, которое я искал в этой теме. Возможно это "рабочее" обозначение неудачно, но это уже совершенно не важно в свете того, что я напишу в конце этого сообщения.

Someone в сообщении #496051 писал(а):

profrotter в сообщении #495873 писал(а):

Имею предположение, что здесь вы путаете интерполяцию и продолжение.

Не путаю. Интерполяция - один из способов продолжения функции, заданной на сетке. Вообще, если есть две функции $f_1\colon X_1\to Y$ и $f_2\colon X_2\to Y$, причём, $X_1\subset X_2$, то $f_2$ называется продолжением $f_1$ (на множество $X_2$), если для всех $x\in X_1$ выполняется равенство $f_2(x)=f_1(x)$.

В общем случае вы соверешенно правы, но мы то рассматриваем частную ситуацию, когда один из элементов последовательности неопределён. И тут не получится построить интерполирющую функцию, ибо всякое такое построение будет как раз соответствовать доопределению, но мы то и пытаемся "выйти" на $\mathbb{R}$ чтобы это доопределение сделать. Потому честным тут можно считать только замену в выражении, описывающем последовательность и содержащем неопределённость целого аргумента на действительный.


Ну и теперь собственно к делу. В начале нашей темы рассматривалось выражение $a_n=\frac{1+\cos(\pi n)}{1-n}$. Та же самая последовательность может быть описана другим выражением $a_n=\frac{1+(-1)^n}{1-n}$. На $\mathbb{Z}$ эти выражения эквивалентны и автор темы в принципе мог бы привести любое из них и заявить о неопределённости.
Рассматриваем первый случай. Находим продолжение и ищем предел по Лопиталю:

$$\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+\cos(\pi x)}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-\pi \sin(\pi x)}{-1}=0$$

Доопределяем последовательность: $a_1=0$
Рассматриваем второй случай:

$$\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+(-1)^x}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{1+e^{i\pi x}}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{i\pi e^{i\pi x}}{-1}=i\pi$$

Доопределяем последовательность: $a_1=i\pi$
Прекрасный контрпример! Для себя я делаю такой вывод: Когда мы рассматриваем последовательность и имеем выражение, содержащее неопределённость, то доопредлять её предельным значением, соответствующего продолжения в область действительных чисел в общем случае нельзя в ввиду возможной неоднозначности продолжения. Однако, когда такая последовательность явно получается путём дискретизации некоторой известной функции действительного аргумента такое доопредеделение может быть выполнено.

Someone, я извиняюсь перед вами - я был неправ.

Интересная была тема. Я три ночи не спал.

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #496115 писал(а):

Алексей К., давайте я третий раз попробую пояснить смысл обозначения.

Это было излишне. И в четвёртый раз не надо. Все это поняли с первого раза. Все поняли с первого раза, какой смысл Вы вкладываете в это обзначение.
И никто с правомерностью такого вкладывания не согласился. Нашёлся хор несогласных.
И, конечно ИМХО, не надо приводить ни третье, ни червёртое обоснование правомерности такого вкладывания смысла.

[profrotter]

Алексей К. в сообщении #496163 писал(а):

Нашёлся хор несогласных.

Увы, это было лишь пение, которое никак не помогало (скорее наоборот запутывало) понять в чём именно ошибка (за исключением исходного аргумента Someone, суть которого я к сожалению не сразу понял). Теперь всё встало на свои места. Когда-то я слушал лекции по общей тактике и когда рассматривалась тема "Передвижение войск" (неточно формулирую конечно), нашёлся один студент, который спросил у преподавателя: "Почему марш должен осуществляться именно таким образом?" На что полковник ничуть не смутившись ответил: "Так положено - так люди воюют!". Подобные ответы действительно могут иметь место, когда речь идёт о изучении боевого устава. Тут был совершенно другой случай.