profrotter писал(а):
Вот я опять открываю Фихтенгольца том 1 и на стр.498 нахожу формулу:
![$$\frac {\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...$$ $$\frac {\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/c/fdc9ce15565e3178dbaf89339fe3c88582.png)
Ничего мне не мешает рассматривать эту формулу на целых числах:
![$$\frac {\sin(n)}{n}= 1-\frac{n^2}{3!}+\frac{n^4}{5!}-...,$$ $$\frac {\sin(n)}{n}= 1-\frac{n^2}{3!}+\frac{n^4}{5!}-...,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/3/3e392373efeb4b547dbdd4665ee0c7cd82.png)
и, в частности, при
![$n=0$ $n=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/73736f8725b398dd13e17ef7c1d0a94a82.png)
и записать
![$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=1$$ $$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=1$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/e/83ee7cdd83d024b4e6ee19669dc6ebef82.png)
profrotter, Вы решили некоторым способом примерно такую задачу (я немного обобщу её).
Функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
и
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
аналитичны в окрестности точки
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
(разлагаются в ряд Тейлора, сходящийся к соответствующей функции). Обе функции обращаются в нуль при
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
. Из-за этого функция
![$h(x)=\frac {f(x)} {g(x)}$ $h(x)=\frac {f(x)} {g(x)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/d/44d8e93f4911b47edf47f94fdbc1e90282.png)
не определена в точке
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
, однако похоже, что доопределением
![$h(x)$ $h(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82b61730744eb40135709391ec01cbdb82.png)
в нуле можно сделать её непрерывной. Пользуясь разложением в ряд Тейлора, найти нужное значение в нуле.
Решали Вы её примерно так.
Так как
![$f(0)=0$ $f(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/6/e268b9e5eb7e92d106747c1223c703c782.png)
,
![$g(0)=0$ $g(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/4/ee44e6df185411a4c73f4e1550f4d63782.png)
, ряды Тейлора для
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
и
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
в точке
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
начинаются с первой степени
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
:
![$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/f/cef069e6fdd3425e699ccd663632729982.png)
,
![$g(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^n$ $g(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/0/fd0943601ca33a7b7fbfb4a0dd48767982.png)
.
Подставим разложения в дробь и сократим на
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
:
![$h(x)=\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^{n-1}}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^{n-1}}$ $h(x)=\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^{n-1}}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n x^{n-1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/e/a8e5e8997a5187e11c90808780b55fb682.png)
Теперь числитель и знаменатель не обращаются в нуль при
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
(по крайней мере, в нашем случае). Мы подставляем
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
и находим:
![$h(0)={a_1}/{b_1}$ $h(0)={a_1}/{b_1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/2/3927ca7b3e55f51103bf8a4728a044a082.png)
.
Получается, что ряды Тейлора целиком не нужны, используются только коэффициенты при первой (в нашем случае) степени
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Для знаменателя
![$g(x)=x$ $g(x)=x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/0/450a9cc75347d7051992c5a1fe3b006e82.png)
этот коэффициент, очевидно, равен
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
. А откуда он берется для числителя
![$f(x)=\sin x$ $f(x)=\sin x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/8/d4804a2807509f6c2007896db1b2be6b82.png)
, если не отвечать "из книжки"?
Ответ: коэффициент при
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в ряде Тейлора функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
в точке
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
равен
![$f'(0)$ $f'(0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/5/785db9a7afea351bd4c5820f0c59033282.png)
(соответственно
![$g'(0)$ $g'(0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/4/c94c8aee103b309b54cfb382f04f15ad82.png)
). (Производная синуса равна косинусу, а косинус в нуле равен
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
). Так и получается
![$h(0)=1/1=1$ $h(0)=1/1=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/d/afdfde01234a8e30653fdb73186f60c582.png)
.
Вы можете рассматривать Ваши функции на сетке, но нельзя забывать: чтобы автор Вашей книги мог записать разложение в ряд Тейлора для синуса, ему надо было определить производную, а производная -- это предел, а для вычисления предела недостаточно задать функцию на сетке. Вас не коснулись эти проблемы, потому что Вы воспользовались готовым результатом.
А вычисление отношения
![$f'(0)/g'(0)=a_1/b_1$ $f'(0)/g'(0)=a_1/b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/5/6f5d84362ce39716fa69ee8c809cae6b82.png)
, -- это в точности применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
![$0/0$ $0/0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/d/04d3970150c27e2e288140a0eebc380582.png)
, то есть для нахождения предела функции
![$f(x)/g(x)$ $f(x)/g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/a/baaaf8aa68dadb91aead0118cfd5598b82.png)
в точке, в которой
![$f(0)=0$ $f(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/6/e268b9e5eb7e92d106747c1223c703c782.png)
и
![$g(0)=0$ $g(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/4/ee44e6df185411a4c73f4e1550f4d63782.png)
.
Вывод. То, что у Вас получилось -- просто классический предел функции в точке, для существования которого функция должна быть задана в окрестности
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
, не на сетке. Ваше дискретное рассмотрение возможно лишь на базе того, что предшественники извлекли нужную информацию (пределы, производные, ряд Тейлора) из "непрерывного" определения функции
![$\sin x$ $\sin x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/7/4f710545a79f58dab74d671e6a85a2ed82.png)
.