Проблема с рядом Фурье

[synphara]

2AKM. Похоже у меня приступ острой интеллекуальной недостаточности. Не понимаю.

В левом выражении подразумевается что $f(x) = -1$ существует на всём отрезке от $0$ до $2\pi$. А у Mike1 он определён на отрезке $\pi$ до $2\pi$. В правом получается что гармоническая функция существует на всём отрезке от $0$ до $2\pi$ а у Mike1 она определёна на отрезке $0$ до $\pi$. Т.е. в вашем варианте получается $f(x)=\sin(x)-1$ без разделения на области определения.

[nnosipov]

Действительно, в чём проблема? По написанным выше формулам находим все коэффициенты ряда Фурье. И ряд Фурье данной функции тем самым найден. А преобразование Фурье (и тем более быстрое) --- это из другой оперы.

[AKM]

Беру интеграл, входящий в определение $a_0$:

$$\int_0^{2\pi}f(t)\,dt=\int_0^{\pi}f(t)\,dt+\int_{\pi}^{2\pi}f(t)\,dt=\int_0^{\pi}\sin t\,dt+\int_{\pi}^{2\pi}(-1)\cdot\,dt=$$

Это понятно? Дальше дописать? Или я неправильно понял Вашу непонятку?

synphara в сообщении #495359 писал(а):

В левом выражении подразумевается что $f(x) = -1$ существует на всём отрезке от $0$ до $2\pi$.

Это что-то слишком сложное. Я не мог своим интеллектом что-то подобное подразумевать. Как-то всё просто у меня в голове с этим.

[nnosipov]

synphara в сообщении #495359 писал(а):

Похоже у меня приступ острой интеллекуальной недостаточности.

Скажем так: Вас немного замкнуло . Функция $f(x)$ задана составной формулой. Задана она на отрезке $[0,2\pi]$. Это одна функция, а не две.

[synphara]

nnosipov писал(а):

Действительно, в чём проблема? По написанным выше формулам находим все коэффициенты ряда Фурье. И ряд Фурье данной функции тем самым найден. А преобразование Фурье (и тем более быстрое) --- это из другой оперы.

Мне кажется в вашем посте ряд Фурье не связан с преобразованием Фурье. А так понимаю что ряд Фурье - результат частного случая прямого преобразования Фурье для периодических функций. Быстрое преобразование Фурье - численный метод используемый при преобразованиях Фурье.

[ewert]

synphara в сообщении #495366 писал(а):

Быстрое преобразование Фурье - численный метод используемый при преобразованиях Фурье.

Не совсем так. "Быстрое преобразование Фурье" -- это всего лишь специальный алгоритм реализации "дискретного преобразования Фурье", дающий (при определённых условия) существенный выигрыш в скорости вычислений; сами же формулы дискретного преобразования (и, соответственно, результат) от этого ровно никак не меняются.

[AKM]

synphara,

Вам понятно это моё рассуждение?
Оно отвечает на вопрос "чему равен коэффициент $a_0$ разложения той функции $f(x)$ в ряд Фурье?"

[synphara]

AKM писал(а):

Это понятно? Дальше дописать? Или я неправильно понял Вашу непонятку?

Всё, понял. Пора шарики с роликами пойти почистить.

[nnosipov]

synphara в сообщении #495366 писал(а):

Мне кажется в вашем посте ряд Фурье не связан с преобразованием Фурье.

Связан, но здесь это не нужно. Мы имеем дело с совершенно банальной учебной задачей: разложить конкретную функцию в ряд Фурье. У ТС единственная проблема --- не умеет аккуратно считать интегралы от функций, заданных не единой, а составной формулой. Здесь трудно чем-либо помочь.

[profrotter]

(Joker_vD)

Joker_vD в сообщении #495350 писал(а):

profrotter
Но у $\mathbb N$ нету точек сгущения.

А мы рассматриваем сначала $f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, а потом берём значение доопределённой непрерывной функции в некоторой точке из $\mathbb{N}$

Исправляю ошибку:

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

"Пусть 1) функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в промежутке $[a,b]$, 2) $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$, 3) существуют конечные производные $f'(x)$ и $g'(x) \neq 0$. Тогда $\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}=\frac {f'(x)}{g'(x)}$"

Следует читать:
"Пусть 1) функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в промежутке $[a,b]$, 2) $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$, 3) существуют конечные производные $f'(x)$ и $g'(x) \neq 0$. Тогда $\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}=\frac {f'(a)}{g'(a)}$"

[Someone]

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Someone в сообщении #495224 писал(а):

Ошиблись. В пределах интегрирования.

Нет не ошибся. Формулы, с учётом разницы в обозначениях, совпадают с теми, что приведены в:

У Вас неправильно написаны верхние пределы интегрирования. Они почему-то совпадают с нижними.

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Someone в сообщении #495224 писал(а):

Я написал, что "интегралы вычисляются по другим формулам", а не "коэффициенты вычисляются по другим формулам". Интегралы в этих двух случаях действительно вычисляются по другим формулам.

Следует понимать, что

$$a_1=\frac {2} {T} \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)\cos(\frac{2\pi}{T} t)dt={\frac {2} {T} \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}f(t)\cos(\frac{2\pi n}{T} t)dt} \rvert_{n=1}.$$

То есть более общее выражение, полученное при любом $n=1,2,3,...$ должно совпадать с тем результатом, который вы получили в частном случае при $n=1$. Если этого не имеет места, значит нужно искать ошибку в общем выражении.

Ну, например, вот в этом ряде

Mike1 в сообщении #494693 писал(а):

$f(x) = \frac{2-\pi}{2\pi} + \sum^{\mathcal{1}}_{n=1} \frac{1}{2\pi} ( \frac {\cos(n\pi) +1}{1+n} + \frac {\cos(n\pi) +1}{1 - n})\cos(nx) + \frac{1}{\pi\cdot n}( 1 - \cos(\pi n))\sin(nx) $

общее выражение для коэффициентов $b_n$ при $n>1$ правильное, а при $n=1$ - неправильное. И это убивает Ваши рассуждения.

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

А представьте, что неопределённость будет возникать в выражении для коэффициентов для каждых, скажем, чётных $n$, вы что так и будете отдельно вычислять каждый интеграл?

А что, лучше для каждого отдельно применять правило Лопиталя, даже без гарантии, что результат будет правильным? Вероятно, будет достаточно вычислить интегралы два раза: для нечётных и для чётных $n$. Если же функция настолько сложная, что каждый коэффициент надо вычислять отдельно особым способом, то вряд ли правило Лопиталя облегчит эту работу.

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Someone в сообщении #495224 писал(а):

profrotter в сообщении #495216 писал(а):

Как вы думаете, корректно ли рассматривать значение последовательности $z_n=\frac {\sin(n)} {n}$ при $n=0$?

Не корректно.

Поднимаемся с уровня школьной математики и открываем учебник по математике для первых курсов ВУЗов, скажем, ...

Не пишите ерунду. Доопределяя функцию $\frac{\sin n}n$ в точке $n=0$, Вы не пользуетесь выражением $\frac{\sin 0}0$. Оно как было, так и осталось некорректным и после доопределения функции.

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Рассмотрим теперь функцию $f(x)=\frac {\sin(x)}{x}$. В точке $x_0=0$ функция не определена, но имеет конечный предел $\lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin(x)}{x}=1$ (...). Стало быть можно говорить о значении $f(0)=1$. Теперь $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=f(0)=1$.

$f(0)$ теперь определено и равно $1$, а $\frac{\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}$ - нет. Договорённость касается значений функции, а не значений выражений, определяющих эту функцию. Вообще, старайтесь не путать такие вещи, иначе когда-нибудь запутаетесь совсем.

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Рассматривая предел функции $f(x)=\frac{\cos(\pi\cdot x)+1}{1-x}$ при $x\to 1$ мы установим значение выражения $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}\rvert_{n=1}=f(1)$. Нетрудно убедится, что это значение определено и конечно.

Выражение $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ первоначально определено только для натуральных $n>1$. Распространение его на все действительные значения $n$ не однозначно. Результат зависит от конкретного способа распространения. Ещё раз обращаю Ваше внимание на коэффициенты $b_n$ в данной задаче. Почему для $b_1$ ваш способ не работает? (Можно придумать такой способ распространения, что получится правильный предел, но его ещё надо придумать.)

Mike1, так Вы нашли правильные значения коэффициентов $a_1$ и $b_1$?

[profrotter]

Someone в сообщении #495439 писал(а):

У Вас неправильно написаны верхние пределы интегрирования. Они почему-то совпадают с нижними.

Да. Незаметил Это опечатка.

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Ну, например, вот в этом ряде

Mike1 в сообщении #494693 писал(а):

$f(x) = \frac{2-\pi}{2\pi} + \sum^{\mathcal{1}}_{n=1} \frac{1}{2\pi} ( \frac {\cos(n\pi) +1}{1+n} + \frac {\cos(n\pi) +1}{1 - n})\cos(nx) + \frac{1}{\pi\cdot n}( 1 - \cos(\pi n))\sin(nx) $

общее выражение для коэффициентов $b_n$ при $n>1$ правильное, а при $n=1$ - неправильное. И это убивает Ваши рассуждения.

В этом ряде вообще просто неправильное выражение для коэффициентов $b_n$, которое по счастливому совпадению при $n>1$ совпадает с теми значениями, которые должны получиться, а при $n=1$ отличается на $\frac 1 2$. Возможно расчёт действительно делала программа и громоздкий результат был подменён аппроксимацией. Ничто не может убить рассуждение о том, что всякое общее содержит частное.

Someone в сообщении #495439 писал(а):

А что, лучше для каждого отдельно применять правило Лопиталя, даже без гарантии, что результат будет правильным?

Правило Лопиталя - это правило, которое используется для нахождения пределов, когда имеет место неопределённость. Учебник я уже вам рекомендовал. И довольно голословия! - Приведите ссылку на литературу, где сказано, что применение правила Лопиталя не гарантирует правильность результатов. Зачем вы это повторяете второй раз? Я вам цитировал теорему. О каких исключениях вы пишите? Откройте, наконец, учебник.

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Не пишите ерунду... $f(0)$ теперь определено и равно $1$, а $\frac{\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}$ - нет.

ЗдОрово: $\frac {\sin(x)} x\rvert_{x=0}=1 $, а $\frac {\sin(n)} n\rvert_{n=0}$ - нет.

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Выражение $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ первоначально определено только для натуральных $n>1$. Распространение его на все действительные значения $n$ не однозначно. Результат зависит от конкретного способа распространения.

Никто ничего не распространяет вообще. Просто значение $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ рассматривается как отсчёт (выборка, дискретное значение) функции $f(x)=\frac{\cos(\pi\cdot x)+1}{1-x}$ в точке $x=n$:

$$\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}=f(x)\rvert_{x=n}$$

В случае, когда мы имеем дело с выражениями для коэффициентов ряда Фурье этот подход является вполне корректным. Я напомню вам, что к коэффициентам ряда Фурье можно перейти, если известна спектральная плотность сигнала, образующего периодическую последовательность. Спектральная плтнотность - функция непрерывная. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме пропорциональны её отсчётам, взятым при значениях частоты, кратных частоте сигнала. Коэффициенты ряда Фурье в тригонометрической форме определяются через действительную и мнимую часть ряда Фурье в комплексной форме. Так что в любом случае разговоры о огибающей линий спектра не несут в себе никакой крамолы, и способ распространения определён однозначно.

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Ещё раз обращаю Ваше внимание на коэффициенты $b_n$ в данной задаче. Почему для $b_1$ ваш способ не работает?

Ещё раз отвечаю: общее выражение для коэффициентов $b_n$ должно быть другим. Проверьте сами, если, конечно, есть желание.

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #495472 писал(а):

ЗдОрово: $\frac {\sin(x)} x\rvert_{x=0}=1 $, а $\frac {\sin(n)} n\rvert_{n=0}$ - нет.

Что за глупость? Чем вызваны зелёные язвительные скобочки? Я внимательно читал тему, оснований для язвительности не нашёл. Нашёл наоборот.
Или Вы считаете, что Someone где-то приводил первое равенство? Посмотрите внимательно: там был знак предела. Который Вы откусили. И, похоже, проглотили.

[profrotter]

Алексей К. в сообщении #495480 писал(а):

profrotter в сообщении #495472 писал(а):

ЗдОрово: $\frac {\sin(x)} x\rvert_{x=0}=1 $, а $\frac {\sin(n)} n\rvert_{n=0}$ - нет.

Что за глупость? Чем вызваны зелёные язвительные скобочки? Я внимательно читал тему, оснований для язвительности не нашёл. Нашёл наоборот.
Или Вы считаете, что Someone где-то приводил первое равенство? Посмотрите внимательно: там был знак предела.

Первое равенство привожу я, руководствуясь сообщением #495341. Желаете устроить полифонию - пишите по делу. Значки просто украшают текст и к делу не относятся. Увидели глупость - пишите в чём она, желательно подкрепляя ссылками на литературу, рассуждениями, выводами, примерами.

-- Вс окт 23, 2011 22:33:41 --

Кстати, в сообщении Someone вообще не было знаков предела .

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Стало быть можно говорить о значении $f(0)=1$.

Можно. Никто не против.

А ерунда здесь (ну, или малограмотность, некорректность):

profrotter в сообщении #495341 писал(а):

Теперь $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=f(0)=1$.

Слазил по Вашим ссылкам на Фихтенгольца: он такого равенства не писал. Вы так додумали те слова.

А, ну да:

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Договорённость касается значений функции, а не значений выражений, определяющих эту функцию. Вообще, старайтесь не путать такие вещи, иначе когда-нибудь запутаетесь совсем.

-- 23 окт 2011, 22:54 --

profrotter в сообщении #495484 писал(а):

Кстати, в сообщении Someone вообще не было знаков предела .

Да, пардон, это были Ваши пределы, им процитированные.