Помогите разобраться с произвольными системами отсчета в СТО

[Fagot]

epros в сообщении #485134 писал(а):

то в этом особенного? Это всего лишь отражает тот факт, что координата $r$ имеет соответствующий смысл: ей соответствует сфера площади $4 \pi r^2$.

Особенность тут на мой взгляд такая : со стороны внутреннего решения горловина - это сфера экстремальной кривизны, поэтому на ней, кроме $\dot R|_h}=0$ (статичность) выполняется ещё и $R_{,r}|_h=0$. При этом $-g_{11}=\dfrac{{R'}^2}{f^2}|_h=0$, то есть метрика вырождается на 2-сфере горловины : в сферических координатах радиальные длины на ней стремятся к нулю. От этого никуда не деться, это чисто координатная особенность (типа особенности $r=0$ сферической метрики в евклидовом пространстве). То есть сфера $r=r_h$ не принадлежит сферической системе координат.

Наверно, это не смертельно. Но в таком случае, внешнее решение Рейсснера - Нордстрема преобразованием только радиальной координаты $r=r(\tilde r)$, таким, что при $r_h=\dfrac{2r_e^2}{r_g}$ $g_{\tilde 1\tilde 1}$= {r_{,\tilde r}^2g_{11}|_h=0 можно привести к соответствующему виду. Хотя это и не обязательно, наверно.

Более того, я не понимаю, почему при сшивке пространств метрики должны быть непрерывны : ни одно из условий сшивки в литературе этого не требует - требуется непрерывность соответствующих геометрических и физических величин, что выполняется в данном случае и что уже нами обсуждалось.

Вполне возможно, что на этой экстремальной поверхности нужна своя, третья карта, перехлестывающаяся с внешней и внутренней.

Если это имеет смысл, то понятен и ответ на Ваше последнее замечание :

epros в сообщении #485134 писал(а):

Упс. Сравнив $g_{0 0} = 1$на стороне "внутреннего решения" с $g_{0 0}= 1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2$ на стороне Райсснера-Нордстрёма, уже видим разрыв. Причём это разрыв компоненты метрики, тангенциальной к поверхности сшивки, что совсем уж плохо.

Сферическая система координат просто непродолжима через горловину. А по существу решение уравнений Эйнштейна для внутреннего мира электрического заряда при продолжении его во внешний вакуумный мир Рейсснера - Нордстрема удовлетворяет всем известным условиям сшивки : Дармю – Синга - Израэля– Лихнеровича. Не знаю, надо ли доказывать перехлест 4-карт...

[epros]

Fagot в сообщении #485159 писал(а):

Особенность тут на мой взгляд такая : со стороны внутреннего решения горловина - это сфера экстремальной кривизны, поэтому на ней, кроме $\dot R|_h=0$ (статичность) выполняется ещё и $R_{,r}|_h=0$.

Повторю ещё раз: Для решения Расснера-Нордстрёма это не так. Вы же не к Шварцильду на радиусе $r_g$ пришиваетесь. Вот там этому условию можно удовлетворить (соответствующей заменой координат).

Fagot в сообщении #485159 писал(а):

Наверно, это не смертельно. Но в таком случае, внешнее решение Рейсснера - Нордстрема преобразованием только радиальной координаты $r=r(\tilde r)$, таким, что при $r_h=\dfrac{2r_e^2}{r_g}$ $g_{\tilde 1\tilde 1}= r_{,\tilde r}^2g_{11}|_h=0 можно привести к соответствующему виду. Хотя это и не обязательно, наверно.

Это как раз "смертельно", потому что Вы порождаете координатную особенность, к которой пытаетесь потом пришиться. Это бессмысленно. Вам наоборот нужно продемонстрировать, что в месте сшивки есть такая система координат, в которой нет особенностей.

Fagot в сообщении #485159 писал(а):

Более того, я не понимаю, почему при сшивке пространств метрики должны быть непрерывны : ни одно из условий сшивки в литературе этого не требует

Ха, Вы не нашли этого в литературе наверняка потому, что это настолько очевидно, что ни один автор не считает нужным это специально оговаривать.

Нет никакого криминала в том, чтобы пришить к полусферию конус: Да, на шве будет излом метрики, но через шов можно непрерывным образом перейти. Так что для этой конструкции нетрудно построить общую систему координат. А вот если у Вас имеет место разрыв тангенциальной компоненты метрики, т.е. длина шва по сфере оказывается отличной от длины шва по конусу, то я не понимаю в каком смысле Вы можете утверждать, что Вы их "сшили".

Fagot в сообщении #485159 писал(а):

Сферическая система координат просто непродолжима через горловину.

Это исключительно проблемы того, что Вы пытаетесь пришить изнутри. Потому что для Райсснера-Нордстрёма сферическая система координат проложима до линии обреза и дальше, если нужно. И если я сошью два симметричных Райсснера-Нордстрёма, то для получившейся конструкции статическая сферическая система координат будет проложима ВООБЩЕ ВЕЗДЕ.

[Fagot]

epros в сообщении #485173 писал(а):

Это как раз "смертельно", потому что Вы порождаете координатную особенность, к которой пытаетесь потом пришиться.

Немного не так :
мы пришиваемся не к сетке координат (её можно нарисовать на пространстве любую), а одно кривое пространство склеиваем с другим по, в данном случае, сферическим поверхностям.


Их склеивание означает равенство соответствующих римановых кривизн двумерных поверхностей, рассматриваемых из двумерного, трехмерного и четырехмерного (псевдо)риманова пространства. Так как горловина статична, то достаточно равенства 2-х и 3-х мерных кривизн :

$K^{(2)}_r|_{int}=\dfrac{1}{R_h^2}=K^{(2)}_r|_{RN}=\dfrac{1}{r_h^2}$ при $R_h=r_h=\dfrac{2r_e^2}{r_g}$,

$K^{(3)}_r|_{int}=\dfrac{1}{R^2}(1-e^{-\lambda}{R'}^2)|_h=K^{(3)}_r|_{RN}=\dfrac{1}{r^2}(1+g_{11}^{-1})|_h=\dfrac{r_g^2}{4r_h^2r_e^2}$.

Видите, все вроде в порядке.

-- Чт сен 22, 2011 15:15:45 --

epros в сообщении #485173 писал(а):

А вот если у Вас имеет место разрыв тангенциальной компоненты метрики, т.е. длина шва по сфере оказывается отличной от длины шва по конусу

Как раз длина "шва" как изнутри, так и снаружи оказывается одинаковой и равной $2\pi R_h=2\pi r_h$.

[epros]

Fagot в сообщении #485209 писал(а):

мы пришиваемся не к сетке координат (её можно нарисовать на пространстве любую), а одно кривое пространство склеиваем с другим по, в данном случае, сферическим поверхностям

Ещё раз: Если пространства сшиты, то это означает, что около шва существует общая для них координатная сетка, записанные в которой компоненты метрического тензора непрерывны. Рисуя координатные сетки с разрывом на шве, Вы факт сшитости пространств не докажете.

Fagot в сообщении #485209 писал(а):

Их склеивание означает равенство соответствующих римановых кривизн двумерных поверхностей

Ещё раз: никакого равенства кривизн факт сшитости пространств как раз не означает. Я Вам только что приводил пример сшивки полусферия и конуса.

[Fagot]

epros в сообщении #485173 писал(а):

Для решения Расснера-Нордстрёма это не так. Вы же не к Шварцильду на радиусе $r_g$ пришиваетесь.

Есть ещё одно дополнительное соображение, почему сшивка в порядке. Решение Рейсснера - Нордстрема получается из внутреннего решения устремлением к нулю плотности энергии пыли. Раз такой предельный переход существует, следовательно мир Рейсснера - Нордстрема не может не пришиться к своему источнику.

-- Чт сен 22, 2011 15:27:10 --

epros в сообщении #485216 писал(а):

Рисуя координатные сетки с разрывом на шве, Вы факт сшитости пространств не докажете.

Но ведь мы вроде доказываем факт сшивки не по наложению систем координат, а по непрерывности соответствующих геометрических и физических величин. Наверно, это достаточно. Но точно сказать не могу. Склеивание карт - пока открытый вопрос.

-- Чт сен 22, 2011 15:30:12 --

epros в сообщении #485216 писал(а):

Ещё раз: никакого равенства кривизн факт сшитости пространств как раз не означает.

Но ведь тут наоборот : можно убедиться в факте равенства римановых кривизн на горловине, и уже отсюда вытекает сшитость.

[epros]

Fagot в сообщении #485217 писал(а):

Решение Рейсснера - Нордстрема получается из внутреннего решения устремлением к нулю плотности энергии пыли. Раз такой предельный переход существует, следовательно мир Рейсснера - Нордстрема не может не пришиться к своему источнику.

Мне надоело слушать домыслы. Сначала докажите, что Ваше "внутреннее решение" вообще имеет какое-то отношение к Райсснеру-Нордстрёму, то бишь хоть как-то сшивается с ним. А уж потом рассужайте про то, кто чей источник и кто из чего получается.

-- Чт сен 22, 2011 15:36:04 --

Fagot в сообщении #485217 писал(а):

Но ведь мы вроде доказываем факт сшивки не по наложению систем координат, а по непрерывности соответствующих геометрических и физических величин.

О "соответствующих физических величинах" можно начинать говорить только после того, как у Вас появилась ОБЩАЯ система координат, непрерывно переходящая через шов, в которой эти величины и определены.

Fagot в сообщении #485217 писал(а):

Но ведь тут наоборот : можно убедиться в факте равенства римановых кривизн на горловине, и уже отсюда вытекает сшитость.

Что за удивительная упёртость... Где Вы видите "факт равенства римановых кривизн" при сшивке полусферия с конусом?

-- Чт сен 22, 2011 16:15:25 --

Fagot в сообщении #485209 писал(а):

epros в сообщении #485173 писал(а):

А вот если у Вас имеет место разрыв тангенциальной компоненты метрики, т.е. длина шва по сфере оказывается отличной от длины шва по конусу

Как раз длина "шва" как изнутри, так и снаружи оказывается одинаковой и равной $2\pi R_h=2\pi r_h$.

У Вас поверхность сшивки имеет несколько тангенциальных к ней направлений. Одно из них - вдоль координаты времени. И здесь длины оказываются разными.

[Fagot]

epros в сообщении #485220 писал(а):

Мне надоело слушать домыслы. Сначала докажите, что Ваше "внутреннее решение" вообще имеет какое-то отношение к Райсснеру-Нордстрёму, то бишь хоть как-то сшивается с ним. А уж потом рассужайте про то, кто чей источник и кто из чего получается.

Извините, не понял немного : я Вам чуть раньше сказал, что это решение в случае, когда гравитационный радиус $R_g=const=r_g$, переходит в решение Рейсснера - Нордстрема в координатах кривизн (в то, которое Вы привели). Вам это надо доказать?

[epros]

Fagot в сообщении #485236 писал(а):

Извините, не понял немного : я Вам чуть раньше сказал, что это решение в случае, когда гравитационный радиус $R_g=const=r_g$, переходит в решение Рейсснера - Нордстрема в координатах кривизн (в то, которое Вы привели). Вам это надо доказать?

Меня совершенно не интересует ваше "внутреннее решение" до тех пор, пока Вы не докажете, что оно пришивается к Райсснеру-Нордстрёму. Пока же я вижу, что Вы пытаетесь к линии длиной $\sqrt{1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2}$ пришить линию длиной $1$.

(Оффтоп)

Всё же меня поражает такой психологический феномен, как способность авторов безумных идей биться за них насмерть.

[Fagot]

epros в сообщении #485239 писал(а):

Меня совершенно не интересует ваше "внутреннее решение" до тех пор, пока Вы не докажете, что оно пришивается к Райсснеру-Нордстрёму. Пока же я вижу, что Вы пытаетесь к линии длиной $1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2 $пришить линию длиной $1$.

А я Вам это доказал вообще-то вроде бы, причем, разными способами. С другой стороны, те требования, которые Вы предъявляете к метрике при склейке, все же не являются общепринятыми.

Кстати, непонятно, почему Вы решение уравнений гравитации считаете "безумной идеей". Если Вы плавно устремите плотность энергии пыли к нулю, оно плавно перейдет в мир Рейсснера - Нордстрема, зря Вы отказались посмотреть на доказательство. Значит, проблем со склейкой нет, вакуумное решение - естественное продолжение решения внутреннего

[epros]

Fagot в сообщении #485384 писал(а):

С другой стороны, те требования, которые Вы предъявляете к метрике при склейке, все же не являются общепринятыми.

Я не знаю откуда Вы берёте Ваши общепринятые условия, но я знаю одно: совмещение линий разных длин трудно считать сшивкой. Кстати, я там исправил: добавил корень.

Fagot в сообщении #485384 писал(а):

Кстати, непонятно, почему Вы решение уравнений гравитации считаете "безумной идеей".

У Вас нет решения уравнений гравитации. Есть два отдельных решения: одно известное, а другим я пока не интересовался. И между ними нет никакой связи.

Fagot в сообщении #485384 писал(а):

Если Вы плавно устремите плотность энергии пыли к нулю, оно плавно перейдет в мир Рейсснера - Нордстрема, зря Вы отказались посмотреть на доказательство.

Я не знаю что там во что перейдёт, да меня это и мало интересует. Потому что я знаю одно: если $\sqrt{1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2}$ и переходит в $1$, то только при заведомо неинтересных значениях массы.

Fagot в сообщении #485384 писал(а):

Значит, проблем со склейкой нет, вакуумное решение - естественное продолжение решения внутреннего

Меня поражает Ваша способность делать неожиданные выводы (в пользу своих идей).

[epros]

P.S. Кстати, про "общепринятые условия сшивки": Если у Вас есть два не связанных решения, то путём изменения координат подобрать значения векторных или тензорных "физических величин" таким образом, чтобы они для этих двух решений оказались численно равны, не так уж трудно.

[Fagot]

epros в сообщении #485239 писал(а):

Пока же я вижу, что Вы пытаетесь к линии длиной $\sqrt{1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2}$ пришить линию длиной $1$.

Это неправильно : пришиваются следующие линии :

$$L=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{g_{22}}d\varphi|_{int}=\int\limits_0^{2\pi}rd\varphi |_{RN}=2\pi R_h=2\pi r_h=2\pi\dfrac{2r_e^2}{r_g}$$

.

-- Пт сен 23, 2011 11:46:50 --

epros в сообщении #485443 писал(а):

У Вас нет решения уравнений гравитации. Есть два отдельных решения: одно известное, а другим я пока не интересовался. И между ними нет никакой связи.

Наверно, как Вы заинтересуетесь, так она и появится. Я вот заинтересовался, руками проделал все и увидел, что одно переходит в другое.

-- Пт сен 23, 2011 11:55:13 --

epros в сообщении #485461 писал(а):

Если у Вас есть два не связанных решения, то путём изменения координат подобрать значения векторных или тензорных "физических величин" таким образом, чтобы они для этих двух решений оказались численно равны, не так уж трудно.

Извините, но если есть векторные или тензорные величины, то никаким изменением координат невозможно ничего подобрать, не так ли...

[epros]

Fagot в сообщении #485468 писал(а):

Это неправильно : пришиваются следующие линии :

Мне надоел это "разговор с глухим". Если с одной стороны $g_{0 0} = 1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2$, а с другой - $g_{0 0} = 1$, то линия, проведённая вдоль координаты $t$ от $t = 0$ до $t = 1$ будет с одной стороны иметь длину $\sqrt{1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2}$, а с другой стороны - длину $1$.

Неужели Выше я это недостаточно ясно объяснил? Или Вы просто не желаете ничего слышать?

Fagot в сообщении #485468 писал(а):

Наверно, как Вы заинтересуетесь, так она и появится. Я вот заинтересовался, руками проделал все и увидел, что одно переходит в другое.

Ничего Вы не проделали, поскольку соответствующие решения ОЧЕВИДНЫМ образом не сшиты.

-- Пт сен 23, 2011 12:10:04 --

Fagot в сообщении #485468 писал(а):

Извините, но если есть векторные или тензорные величины, то никаким изменением координат невозможно ничего подобрать, не так ли...

Не так.
Вектор с численными значениями координат (1, 1, 1, 1) элементарным преобразованием масштаба координат превращается в вектор с численными значениями координат (2, 2, 2, 2).

[Fagot]

epros в сообщении #485475 писал(а):

Мне надоел это "разговор с глухим".

Вы сказали :

epros в сообщении #485239 писал(а):

Вы пытаетесь к линии длиной $\sqrt{1 - (\frac{r_g}{2 r_e})^2}$ пришить линию длиной $1$.

Я ответил, что это неверно - пришиваются другие линии. Указанные Вами не пришиваются - они ортогональны поверхности склейки (времениподобны) и не обязаны быть равными.

epros в сообщении #485475 писал(а):

Вектор с численными значениями координат (1, 1, 1, 1) элементарным преобразованием масштаба координат превращается в вектор с численными значениями координат (2, 2, 2, 2).

Но сам вектор от этого не меняется.

[epros]

Fagot в сообщении #485482 писал(а):

Я ответил, что это неверно - пришиваются другие линии. Указанные Вами не пришиваются - они ортогональны поверхности склейки (времениподобны) и не обязаны быть равными.

Как всё запущено ... Поверхность сшивки решений - это трёхмерная гиперповерхность. В Вашем случае она пространственно-временная: одно измерение по координате $t$, ещё одно - по координате $\theta$ и ещё одно - по координате $\varphi$.

Fagot в сообщении #485482 писал(а):

Но сам вектор от этого не меняется.

А Вы сравнивали "сами векторы (тензоры)"? Ни фига. Вы сравнивали численные значения компонент тензоров. И это не удивительно, ибо "сами тензоры" Вы никак сравнить не можете, пока не построите единое, сшитое многообразие, в котором векторы или тензоры можно сравнивать, перенося в одну точку.