все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве

[PSP]

alcoholist в сообщении #479713 писал(а):

PSP в сообщении #479591 писал(а):

Найти лагранжиан, из которого они могут быть получены

В смысле -- придумать такой дифур с данными траекториями, который был бы уравнением Лагранжа?

Вы считаете, что это невозможно ?

[alcoholist]

я не проникал настолько глубоко в суть вопроса... Либо возможно, либо нет -- я не знаю.

[Bulinator]

alcoholist в сообщении #479713 писал(а):

В смысле -- придумать такой дифур с данными траекториями, который был бы уравнением Лагранжа?

Не вникал в задачу, но, м.б. это поможет?

[PSP]

Bulinator в сообщении #483469 писал(а):

alcoholist в сообщении #479713 писал(а):

В смысле -- придумать такой дифур с данными траекториями, который был бы уравнением Лагранжа?

Не вникал в задачу, но, м.б. это поможет?

Похоже,полезно будет вот это :
в лагранжевом формализме:

$$S = \int L(q',q,t)dt = \int \left(L_1(\dot q,\dot t,q,t)\equiv L(\frac{\dot q}{\dot t},q,t)\dot t\right)d\tau \eqno{(2)}$$

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #478399 писал(а):

Далее стандартно.

Ну, вот, к примеру в $\mathbb{R}^{1,2}$.

$\[ \left\{ \begin{gathered} \vec r'' = \kappa _1 \vec n_1 \hfill \\ \vec n_1 ^\prime = \kappa _1 \vec r' + \kappa _2 \vec n_2 \hfill \\ \vec n_2 ^\prime = - \kappa _2 \vec n_1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $

Откель

$\[ \left| \begin{gathered} \kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $

и

$\[ \vec r^{(4)} + \left( {\kappa _2^2 - \kappa _1^2 } \right)\vec r^{(2)} = 0 \] $

Пусть $\[\left| {\kappa _1 } \right| > \left| {\kappa _2 } \right|\]$.

$\[ \begin{gathered} \vec r'' \propto e^{\omega s} ,\omega = \pm \sqrt {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 } \equiv \pm \kappa \hfill \\ \kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' = \vec C_1 \operatorname{ch} \kappa s + \vec C_2 \operatorname{sh} \kappa s \Rightarrow - \kappa _1^2 = C_{11} \operatorname{ch} ^2 \kappa s + C_{12} \operatorname{sh} 2\kappa s + C_{22} \operatorname{sh} ^2 \kappa s \Rightarrow \vec C_1 \equiv \kappa _1 \vec e_1 ,\vec C_2 \equiv \kappa _2 \vec e_0 \hfill \\ \end{gathered} \] $

где

$\[ \vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1 \] $

далее

$\[ \begin{gathered} \vec r' = \frac{{\kappa _1 }} {\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) + \vec C_3 \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' = - \frac{{\kappa _1 \kappa _2^2 }} {\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) \Rightarrow C_{12} = C_{13} = 0,C_{33} = - \frac{{\kappa _2^2 }} {{\kappa ^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \] $

и окончательно

$$\[ \vec r = \vec r_o + \frac{{\kappa _1 }} {{\kappa ^2 }}\left( {\vec e_0 \operatorname{sh} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{ch} \kappa s} \right) + \frac{{\kappa _2 s}} {\kappa }\vec e_2 \] $$

где

$\[ \vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_0 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1,\vec e_1 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_2 \cdot \vec e_2 = - 1 \] $

PSP, рассмотрите аналогичным образом случай $\[\left| {\kappa _1 } \right| = \left| {\kappa _2 } \right|\]$. Там интересный базис.

[Bulinator]

PSP в сообщении #483487 писал(а):

Похоже,полезно будет вот это :

Я конечно дико извиняюсь, но как Вам может помочь формула преобразования Лагранжиана при репараметризации времени для решения задачи восстановления Лагранжиана по заданным траекториям?

[PSP]

Bulinator в сообщении #484282 писал(а):

PSP в сообщении #483487 писал(а):

Похоже,полезно будет вот это :

Я конечно дико извиняюсь, но как Вам может помочь формула преобразования Лагранжиана при репараметризации времени для решения задачи восстановления Лагранжиана по заданным траекториям?

Есть одна идея...Правда,смутная.
Но прежле всего мне надо найти ,относительно каких дробно-линейных преобразований инвариантны д.у. кривых с постоянными кривизинами....Это,конечно, возможно, будет некая подгруппа группы дробно-линейных преобразований.Если такая подгруппа существует, то эта моя идея правильная...

[ИгорЪ]

(Оффтоп)

"Кибериада" Лем, проблема драконов:

"Тут-то гениальный Цереброн, атаковав проблему методами точных наук, установил, что имеется три типа драконов: нулевые, мнимые и отрицательные. Все они, как было сказано, не существуют, однако каждый тип - на свой особый манер. Мнимые и нулевые драконы, называемые на профессиональном языке мнимоконами и нульконами, не существуют значительно менее интересным способом, чем отрицательные."

[PSP]

ИгорЪ в сообщении #484647 писал(а):

(Оффтоп)

"Кибериада" Лем, проблема драконов:

"Тут-то гениальный Цереброн, атаковав проблему методами точных наук, установил, что имеется три типа драконов: нулевые, мнимые и отрицательные. Все они, как было сказано, не существуют, однако каждый тип - на свой особый манер. Мнимые и нулевые драконы, называемые на профессиональном языке мнимоконами и нульконами, не существуют значительно менее интересным способом, чем отрицательные."

Для случая $\mathbb{R}^{1,1}$ я такие преобразования нашёл.Они несложны,но в физическом смысле дьявольски интересны!
Бу думать...

(Оффтоп)

Нашлось слишком много рому, что даже стали являться драконы ??!!Сочувствую...

[Утундрий]

PSP в сообщении #484638 писал(а):

относительно каких дробно-линейных преобразований инвариантны д.у. кривых с постоянными кривизинами...

Чтобы не тыкаться вслепую, можно попробовать вломить групповым анализом дифференциальных уравнений.

[PSP]

Padawan в сообщении #477008 писал(а):

См. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ $\S 100$.
Там выведены формулы Френе для кривой в (псевдо)евклидовом пространстве

$$\begin{array}{llr} \dfrac{d\nu_0}{ds}=\quad \quad \quad\quad k_1\nu_1\\ \dfrac{d\nu_1}{ds}=\pm k_1\nu_0+k_2\nu_2\\ \dfrac{d\nu_2}{ds}=\pm k_2\nu_1+k_3\nu_3\\ \dfrac{d\nu_3}{ds}=\pm k_3\nu_2\end{array}$$

Здесь, $\nu_0,\nu_1,\nu_2,\nu_3$ -- орты сопровождающего репера, $k_1,k_2,k_3$ -- кривизны, $s$ -- натуральный параметр. Знак $\pm$ в уравнениях выбирается в зависимости от того одноименные реперы $\nu_p$, $\nu_{p-1}$ или нет. Если один из них единичный, а другой -- мнимоединичный, то берётся $+$; в противном случае берется $-$.

Для описания всех кривых постоянной кривизны, по-моему, достаточно решить эту систему при четырёх конкретных начальных условиях, соответствующих тому, какой из векторов репера лежит внутри светового конуса. Остальные кривые получатся из найденных при помощи движения.

Все эти уравнения указаны для случая $ k $≠0 , K не равного 0. Можно ли найти более общие уравнения ?Т.е. когда решением может быть и прямая линия ?

[Утундрий]

Все эти уравнения справедливы для случая произвольных $k$. Если некоторые из $k$ равны нулю, то это не более общий, а более частный случай. Хотите парочку занулить? Пожалуйста! Только учтите логику построения базиса Френе. Оное построение начинается с касательного вектора и если вдруг какая-то $k_i$ окажется вдоль кривой равной нулю, то равны нулю и все $k_{i+1}, k_{i+2},...$ И никак иначе.

[PSP]

Утундрий в сообщении #487014 писал(а):

Все эти уравнения справедливы для случая произвольных $k$. Если некоторые из $k$ равны нулю, то это не более общий, а более частный случай. Хотите парочку занулить? Пожалуйста! Только учтите логику построения базиса Френе. Оное построение начинается с касательного вектора и если вдруг какая-то $k_i$ окажется вдоль кривой равной нулю, то равны нулю и все $k_{i+1}, k_{i+2},...$ И никак иначе.

Проблема в том, что нужно теоретически занулять их все, ибо тогда они окажутся инвариантны относительно некоторой подгруппы группы дробно-линейных многомерных преобразований.А если занулять частично, возникают проблемы.Возможно, я ошибаюсь, но получается именно так...
Я проьовал вычислить такие преобразования, но при неучёте случая k=0 прихожу к линейным преобразованиям...
Не исключаю, что я где-то ошиься...

[Утундрий]

О которой из некоторых групп в данном случае идет речь?

[PSP]

Утундрий в сообщении #487023 писал(а):

О которой из некоторых групп в данном случае идет речь?

О группе Мебиуса в многомерных пространствах.
Попобуйте хотя бы найти подгрппу для двумерного случая....
В этом случае у нас псевдоокружность (гиперболоид) и преодразования Мебиума дают не только другие псевдоокружноси, но и прямые.Обратно тоже верно.Поэтому надо рассмвтривать и такие уравнения,когда все кривизны нулевые, а решение - прямая линия...