См. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ
.
Там выведены формулы Френе для кривой в (псевдо)евклидовом пространстве
Здесь,
-- орты сопровождающего репера,
-- кривизны,
-- натуральный параметр. Знак
в уравнениях выбирается в зависимости от того одноименные реперы
,
или нет. Если один из них единичный, а другой -- мнимоединичный, то берётся
; в противном случае берется
.
Для описания
всех кривых постоянной кривизны, по-моему, достаточно решить эту систему при четырёх конкретных начальных условиях, соответствующих тому, какой из векторов репера лежит внутри светового конуса. Остальные кривые получатся из найденных при помощи движения.
≠0 , K не равного 0. Можно ли найти более общие уравнения ?Т.е. когда решением может быть и прямая линия ?
05.09.2011, 09:31 
.![$\[
\left\{ \begin{gathered}
\vec r'' = \kappa _1 \vec n_1 \hfill \\
\vec n_1 ^\prime = \kappa _1 \vec r' + \kappa _2 \vec n_2 \hfill \\
\vec n_2 ^\prime = - \kappa _2 \vec n_1 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/7/567637a47bcad7428a7b08a2d46ee8d682.png "$\[
\left\{ \begin{gathered}
\vec r'' = \kappa _1 \vec n_1 \hfill \\
\vec n_1 ^\prime = \kappa _1 \vec r' + \kappa _2 \vec n_2 \hfill \\
\vec n_2 ^\prime = - \kappa _2 \vec n_1 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$")
![$\[
\left| \begin{gathered}
\kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' \hfill \\
\kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f8b0650ec782aa2eaa3ebe6eda09c9482.png "$\[
\left| \begin{gathered}
\kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' \hfill \\
\kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$")
![$\[
\vec r^{(4)} + \left( {\kappa _2^2 - \kappa _1^2 } \right)\vec r^{(2)} = 0
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/6/a96f5951aa270da290a917bfc624684882.png "$\[
\vec r^{(4)} + \left( {\kappa _2^2 - \kappa _1^2 } \right)\vec r^{(2)} = 0
\]
$")
![$\[\left| {\kappa _1 } \right| > \left| {\kappa _2 } \right|\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5dea78e288f488c49ddedb7a586bc0e282.png "$\[\left| {\kappa _1 } \right| > \left| {\kappa _2 } \right|\]$")
.![$\[
\begin{gathered}
\vec r'' \propto e^{\omega s} ,\omega = \pm \sqrt {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 } \equiv \pm \kappa \hfill \\
\kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' = \vec C_1 \operatorname{ch} \kappa s + \vec C_2 \operatorname{sh} \kappa s \Rightarrow - \kappa _1^2 = C_{11} \operatorname{ch} ^2 \kappa s + C_{12} \operatorname{sh} 2\kappa s + C_{22} \operatorname{sh} ^2 \kappa s \Rightarrow \vec C_1 \equiv \kappa _1 \vec e_1 ,\vec C_2 \equiv \kappa _2 \vec e_0 \hfill \\
\end{gathered}
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/2/432016e8525186dbe360b7e40b620b5682.png "$\[
\begin{gathered}
\vec r'' \propto e^{\omega s} ,\omega = \pm \sqrt {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 } \equiv \pm \kappa \hfill \\
\kappa _1 \vec n_1 = \vec r'' = \vec C_1 \operatorname{ch} \kappa s + \vec C_2 \operatorname{sh} \kappa s \Rightarrow - \kappa _1^2 = C_{11} \operatorname{ch} ^2 \kappa s + C_{12} \operatorname{sh} 2\kappa s + C_{22} \operatorname{sh} ^2 \kappa s \Rightarrow \vec C_1 \equiv \kappa _1 \vec e_1 ,\vec C_2 \equiv \kappa _2 \vec e_0 \hfill \\
\end{gathered}
\]
$")
![$\[
\vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/5/2b571bd2e05500507dbef58b162fdf6082.png "$\[
\vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1
\]
$")
![$\[
\begin{gathered}
\vec r' = \frac{{\kappa _1 }}
{\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) + \vec C_3 \hfill \\
\kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' = - \frac{{\kappa _1 \kappa _2^2 }}
{\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) \Rightarrow C_{12} = C_{13} = 0,C_{33} = - \frac{{\kappa _2^2 }}
{{\kappa ^2 }} \hfill \\
\end{gathered}
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/b/97b97395ad328ab4537c9726c860ce4982.png "$\[
\begin{gathered}
\vec r' = \frac{{\kappa _1 }}
{\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) + \vec C_3 \hfill \\
\kappa _1 \kappa _2 \vec n_2 = \vec r''' - \kappa _1^2 \vec r' = - \frac{{\kappa _1 \kappa _2^2 }}
{\kappa }\left( {\vec e_0 \operatorname{ch} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{sh} \kappa s} \right) \Rightarrow C_{12} = C_{13} = 0,C_{33} = - \frac{{\kappa _2^2 }}
{{\kappa ^2 }} \hfill \\
\end{gathered}
\]
$")
![$$\[
\vec r = \vec r_o + \frac{{\kappa _1 }}
{{\kappa ^2 }}\left( {\vec e_0 \operatorname{sh} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{ch} \kappa s} \right) + \frac{{\kappa _2 s}}
{\kappa }\vec e_2
\]
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/e/c8e2729a1f7fbacdcc22a474b28fcabb82.png "$$\[
\vec r = \vec r_o + \frac{{\kappa _1 }}
{{\kappa ^2 }}\left( {\vec e_0 \operatorname{sh} \kappa s + \vec e_1 \operatorname{ch} \kappa s} \right) + \frac{{\kappa _2 s}}
{\kappa }\vec e_2
\]
$$")
![$\[
\vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_0 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1,\vec e_1 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_2 \cdot \vec e_2 = - 1
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/d/59d939739ece90bf40a9a4081308da9e82.png "$\[
\vec e_0 \cdot \vec e_0 = 1,\vec e_0 \cdot \vec e_1 = 0,\vec e_0 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_1 \cdot \vec e_1 = - 1,\vec e_1 \cdot \vec e_2 = 0,\vec e_2 \cdot \vec e_2 = - 1
\]
$")
![$\[\left| {\kappa _1 } \right| = \left| {\kappa _2 } \right|\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/c/38ca5dbd9b4915d12a34d2ebf001b0b682.png "$\[\left| {\kappa _1 } \right| = \left| {\kappa _2 } \right|\]$")
. Там интересный базис.
я такие преобразования нашёл.Они несложны,но в физическом смысле дьявольски интересны!
≠0 , K не равного 0. Можно ли найти более общие уравнения ?Т.е. когда решением может быть и прямая линия ?
. Если некоторые из 
окажется вдоль кривой равной нулю, то равны нулю и все 
И никак иначе.