все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве

[Утундрий]

Ну-с, начнем с двумерия.

Рассмотрим в $\mathbb{R}^{1,1}$ времениподобную кривую, заданную уравнениями $t = t\left( s \right),x = x\left( s \right)$, где $s$ - длина дуги.

Реализуем ориентацию сопутствующего репера гиперболическим поворотом.
Тогда вектор касательной есть $\left( {\begin{array}{*{20}c} {\tau _t } \\ {\tau _x } \\ \end{array} } \right) = M\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)$, а вектор нормали суть $\left( {\begin{array}{*{20}c} {n_t } \\ {n_x } \\ \end{array} } \right) = M\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$, где $M$ имеет быть $M = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta } \\ {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta } \\ \end{array} } \right)$.

Угловая переменная $\theta$ зависит от точки на кривой, т.е. $\theta = \theta \left( s \right)$.

Как известно, $\vec \tau = \vec x'$ (штрихом будет обозначаться дифференцирование по $s$). Откуда

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {t'\left( s \right) = \operatorname{ch} \theta \left( s \right)} \\ {x'\left( s \right) = \operatorname{sh} \theta \left( s \right)} \\ \end{array} } \right.$$

Вычислим теперь произведения вида $\vec n \cdot \vec \tau ' = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ \end{array} } \right)M^T \cdot \sigma \cdot M'\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)$.

Здесь $\sigma = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right)$ и её появлению мы обязаны псевдоэвклидовости.

Очевидно, для вычисления всех таких произведений достаточно вычислить внутреннюю матрицу $\Omega \equiv M^T \cdot \sigma \cdot M'$ и обложить ее по-всякому единичковыми векторами слева и справа. То есть, означенная омега представляет из себя $\left( {\begin{array}{*{20}c} {\vec \tau \cdot \vec \tau '} & {\vec \tau \cdot \vec n'} \\ {\vec n \cdot \vec \tau '} & {\vec n \cdot \vec n'} \\ \end{array} } \right)$.

Вычисляем и имеем $\Omega = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {\theta '\left( s \right)} \\ { - \theta '\left( s \right)} & 0 \\ \end{array} } \right)$. Отсюда не трудно сообразить уравнения Френе:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\vec \tau ' = \theta '\vec n} \\ {\vec n' = \theta '\vec \tau } \\ \end{array} } \right.$$

В случае постоянной кривизны $\Omega = const$, $\theta ' = \kappa = const$, $\theta = \kappa s$ и $\begin{gathered} t = \frac{1}{\kappa }\operatorname{sh} \kappa s \hfill \\ x = \frac{1}{\kappa }\operatorname{ch} \kappa s \hfill \\ \end{gathered}$, то есть - псевдоокружность.

Ну, как-бы логично. Едем дальше...

Случай $\mathbb{R}^{1,2} $

$$\vec \tau = M\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right),\vec n_1 = M\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right),\vec n_2 = M\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$$

$\[ M \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \varphi } & { - \sin \varphi } \\ 0 & {\sin \varphi } & {\cos \varphi } \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta } & 0 \\ {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ 0 & {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{array} } \right) \] $

$\[ \Omega \equiv M^T \cdot \sigma \cdot M' \] $, где теперь $\[ \sigma = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & { - 1} & 0 \\ 0 & 0 & { - 1} \\ \end{array} } \right) \] $.

После несколько нудноватых (или отданных кумпутеру) вычислёвываний, поимеем

$\[ \Omega = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {\kappa _1 } & \delta \\ { - \kappa _1 } & 0 & {\kappa _2 } \\ { - \delta } & { - \kappa _2 } & 0 \\ \end{array} } \right) \] $,
где

$$\[ \begin{gathered} \kappa _1 = \cos \psi \cdot \theta ' + \sin \psi \cdot \operatorname{sh} \theta \cdot \varphi ' \hfill \\ \kappa _2 = \operatorname{ch} \theta \cdot \varphi ' + \psi ' \hfill \\ \delta = - \sin \psi \cdot \theta ' + \cos \psi \cdot \operatorname{sh} \theta \cdot \varphi ' \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Пару слов о $\delta$. Приблуда сия образовалась оттого, что в общем случае мы не совсем попали первой нормалью в направление производной касательной. Чтобы попасть совсем, надобно эту дельту обнулить. Что даст нам связь и оставит из трех только два параметра, определяющих направление касательной. Собственно, как и должно быть.

Таким образом, нужно решить систему $\[ \kappa _1 = const,\kappa _2 = const,\delta = 0 \] $, получить из нее $\[ \varphi = \varphi \left( s \right),\theta = \theta \left( s \right),\psi = \psi \left( s \right) \] $, подставить сие в $\[ t'\left( s \right) = \operatorname{ch} \theta \left( s \right),x'\left( s \right) = \cos \varphi \left( s \right) \cdot \operatorname{sh} \theta \left( s \right),y'\left( s \right) = \sin \varphi \left( s \right) \cdot \operatorname{sh} \theta \left( s \right) \] $ (пси, кстати, выпало) и, проинтегрировав еще раз, получить наконец кривулю.

Этого я пока не добил. Нашел только интеграл $\[ \sin \psi = \frac{{c_1 + \kappa \operatorname{ch} \theta }} {{\operatorname{sh} \theta }} \] $, где $\[ \kappa \equiv \frac{{\kappa _2 }} {{\kappa _1 }} \] $, а $\[ {c_1 } \] $ - еще одна постоянная. Да свёл её к более простому виду $\[ \varphi ' = \kappa _1 \frac{{\sin \psi }} {{\operatorname{sh} \theta }},\theta ' = \kappa _1 \cos \psi \] $.

Вот примерно как-то вот так вот.

P.S. Чтобы двинуть далее с песнями на $\mathbb{R}^{1,3} $, надо как-то обобщить на четырехмерие углы Эйлера. Кто-то знает за такое стандартное или отсебятину тулить?

[PSP]

Утундрий в сообщении #477957 писал(а):

P.S. Чтобы двинуть далее с песнями на $\mathbb{R}^{1,3} $, надо как-то обобщить на четырехмерие углы Эйлера. Кто-то знает за такое стандартное или отсебятину тулить?

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет...

(Оффтоп)

Уважаемый Утундрий!Очень благодарен Вам за проделанную работу.Если продолжим, то я смогу проверить правильность своих расчётов. Их пока не выкладываю, чтоб не сбивать народ.Вдруг я что неправильно делаю...

И мне кажется, что для $\mathbb{R}^{1,2} $ решением будет какая-то линия на цилиндре.Но не уверен...
Для случая $\mathbb{R}^{1,1} $ вот такое у меня решение :
x(s) = c * exp(k * s) + c1 * exp(-k * s);
t(s) = c * exp(k * s) - c1 * exp(-k * s);

(Вообще,для случаев $\mathbb{R}^{1,2} $ , $\mathbb{R}^{1,3} $ у меня есть уже аналитические решения такого же типа,хотя и более громоздкие, но боюсь ошибиться,поэтому хорошо бы независимо проверить)

[Утундрий]

(Оффтоп)

Зачем же всю простыню-то цитировать...

Ну, может подскажет кто. А не подскажет - тоже не беда. Сам придумаю.

Скажем, два 3-поворота на фи да тэта, потом буст на хи вдоль выставленной этими фи и тэтой направлении и еще три 3-поворота. Всего, таким образом, шесть. Дельт будет три. Шесть минус три вроде как три, так что похоже на правду.

[alcoholist]

PSP в сообщении #477961 писал(а):

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет

есть же какие-то стандартные координаты на $SO_n\mathbb{R}$

[PSP]

alcoholist в сообщении #477995 писал(а):

PSP в сообщении #477961 писал(а):

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет

есть же какие-то стандартные координаты на $SO_n\mathbb{R}$

Вот именно "какие-то стандартные координаты "... А какие ? Где описаны ??

[Bulinator]

PSP в сообщении #477961 писал(а):

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет..

Wikipedia писал(а):

Higher dimensions
$\hline$

It is possible to define parameters analogous to the Euler angles in dimensions higher than three.
The number of degrees of freedom of a rotation matrix is always less than the dimension of the matrix squared. That is, the elements of a rotation matrix are not all completely independent. For example, the rotation matrix in dimension 2 has only one degree of freedom, since all four of its elements depend on a single angle of rotation. A rotation matrix in dimension 3 (which has nine elements) has three degrees of freedom, corresponding to each independent rotation, for example by its three Euler angles or a magnitude one (unit) quaternion.
In $SO(4)$ the rotation matrix is defined by two quaternions, and is therefore 6-parametric (three degrees of freedom for every quaternion). The $4\times4$ rotation matrices have therefore 6 out of 16 independent components.
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.
In general, the number of euler angles in dimension $D$ is quadratic in $D$; since any one rotation consists of choosing two dimensions to rotate between, the total number of rotations available in dimension $D$ is , $N_{rot}=\left(\begin{array}{c}D \\ 2\end{array}\right)=D(D-1)/2)$ which for $D=2,3,4$ yields $N_{rot} = 1,3,6$.

[PSP]

Bulinator в сообщении #478034 писал(а):

PSP в сообщении #477961 писал(а):

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет..

Wikipedia писал(а):

Higher dimensions
$\hline$

It is possible to define parameters analogous to the Euler angles in dimensions higher than three.
The number of degrees of freedom of a rotation matrix is always less than the dimension of the matrix squared. That is, the elements of a rotation matrix are not all completely independent. For example, the rotation matrix in dimension 2 has only one degree of freedom, since all four of its elements depend on a single angle of rotation. A rotation matrix in dimension 3 (which has nine elements) has three degrees of freedom, corresponding to each independent rotation, for example by its three Euler angles or a magnitude one (unit) quaternion.
In $SO(4)$ the rotation matrix is defined by two quaternions, and is therefore 6-parametric (three degrees of freedom for every quaternion). The $4\times4$ rotation matrices have therefore 6 out of 16 independent components.
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.
In general, the number of euler angles in dimension $D$ is quadratic in $D$; since any one rotation consists of choosing two dimensions to rotate between, the total number of rotations available in dimension $D$ is , $N_{rot}=\left(\begin{array}{c}D \\ 2\end{array}\right)=D(D-1)/2)$ which for $D=2,3,4$ yields $N_{rot} = 1,3,6$.

Вот перевод (машинный):

Цитата:

Более высокие измерения


Возможно определить параметры, аналогичные углам Euler в измерениях выше чем три.
Количество степеней свободы матрицы вращения всегда - меньше чем измерение согласованной матрицы. Таким образом, элементы матрицы вращения не все абсолютно независимы. Например, у матрицы вращения в измерении 2 есть только одна степень свободы, так как все четыре из ее элементов зависят от единственного угла вращения. У матрицы вращения в измерении 3 (у которого есть девять элементов) есть три степени свободы, соответствуя каждому независимому вращению, например его тремя углами Euler или величиной один (единица) кватернион.
Во вращении матрица определена двумя кватернионами, и поэтому 6-параметрическая (три степени свободы для каждого кватерниона). Вращение matrices имеет поэтому 6 из 16 независимых компонентов.
Любой набор 6 параметров, которые определяют матрицу вращения, можно было считать расширением углов Euler, чтобы проставить размеры 4.
Вообще, число углов euler в измерении является квадратным в; так как любое вращение состоит из выбора двух измерений, чтобы вращаться между, общее количество вращений, доступных в измерении, который для урожаев.

Хорошо бы подкорректировать...И в русской Вики выставить...

[Утундрий]

(Оффтоп)

Цитата:

Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.

Крайне содержательно!

[PSP]

Утундрий в сообщении #478041 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:

Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.

Крайне содержательно!

(Оффтоп)

Я согласен - эта инфа только для смеха...

[Утундрий]

(Оффтоп)

PSP в сообщении #478043 писал(а):

Я согласен - эта инфа только для смеха...

Ну, еще можно считать это как бы "благословением" от Вики. Просто выберите любые шесть параметров - и в путь.

Так и сделаю, пожалуй...

[PSP]

Утундрий в сообщении #478044 писал(а):

(Оффтоп)

PSP в сообщении #478043 писал(а):

Я согласен - эта инфа только для смеха...

Ну, еще можно считать это как бы "благословением" от Вики. Просто выберите любые шесть параметров - и в путь.

Так и сделаю, пожалуй...

(Оффтоп)

Благославляю.И в качестве морального стимула - задача это не просто так, а с физическим значением...
Если нужно, могу выложить свои результаты по ней, но может, для независимой сверки погодить ?

[Утундрий]

Итак $\mathbb{R}^{1,3} $

Предлагаю взять

$$\[ M = A_\alpha B_\beta C_\theta B_\varphi A_\psi B_\chi \] $$

где $\[ A_\alpha \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {c_\alpha } & { - s_\alpha } \\ 0 & 0 & {s_\alpha } & {c_\alpha } \\ \end{array} } \right),B_\beta \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {c_\beta } & { - s_\beta } & 0 \\ 0 & {s_\beta } & {c_\beta } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right),C_\theta \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c} {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta } & 0 & 0 \\ {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \] $, и $\[ s_\alpha \equiv \sin \alpha ,c_\alpha \equiv \cos \alpha \] $

Тогда $\[ \Omega = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - \kappa _1 } & { - \delta _1 } & { - \delta _2 } \\ {\kappa _1 } & 0 & { - \kappa _2 } & { - \delta _3 } \\ {\delta _1 } & {\kappa _2 } & 0 & { - \kappa _3 } \\ {\delta _2 } & {\delta _3 } & {\kappa _3 } & 0 \\ \end{array} } \right) \] $
где

$$\[ \begin{gathered} \kappa _1 = - \operatorname{sh} _\theta \left( {s_\beta s_\chi s_\psi \alpha ' + \left( {c_\varphi s_\chi c_\psi + s_\varphi c_\chi } \right)\beta '} \right) + \left( { - c_\varphi c_\chi + s_\varphi s_\chi c_\psi } \right)\theta ' \hfill \\ \kappa _2 = - s_\psi \left( {s_\beta c_\psi \operatorname{ch} _\theta + s_\varphi c_\beta } \right)\alpha ' - c_\psi \left( {\operatorname{ch} _\theta \beta ' + \varphi '} \right) - \chi ' \hfill \\ \kappa _3 = \left( {s_\beta \operatorname{ch} _\theta \left( {c_\varphi s_\chi c_\psi + s_\varphi c_\chi } \right) + c_\beta \left( { - c_\varphi c_\chi + s_\varphi s_\chi c_\psi } \right)} \right)\alpha ' - s_\chi s_\psi \left( {\operatorname{ch} _\theta \beta ' + \varphi '} \right) - c_\chi \psi ' \hfill \\ \delta _1 = - \operatorname{sh} _\theta \left( {s_\beta c_\chi s_\psi \alpha ' + \left( {c_\varphi c_\chi c_\psi + s_\varphi s_\chi } \right)\beta '} \right) + \left( {c_\varphi s_\chi + s_\varphi c_\chi c_\psi } \right)\theta ' \hfill \\ \delta _2 = - s_\beta c_\psi \operatorname{sh} _\theta \alpha ' + s_\psi \left( {c_\varphi \operatorname{sh} _\theta \beta ' - s_\varphi \theta '} \right) \hfill \\ \delta _3 = - \left( {s_\beta \operatorname{ch} _\theta \left( {c_\varphi c_\chi c_\psi - s_\varphi s_\chi } \right) + c_\beta \left( {c_\varphi s_\chi + s_\varphi c_\chi c_\psi } \right)} \right)\alpha ' + c_\chi s_\psi \left( {\operatorname{ch} _\theta \beta ' + \varphi '} \right) - s_\chi \psi ' \hfill \\ \end{gathered} \] $$

За правильность не ручаюсь, после двойного переписывания-то, но масштаб трагедии, надеюсь, виден?

Теперь нужно сперва решить систему

$$\kappa _{1,2,3} = const,\delta _{1,2,3} = 0$$

и затем систему

$$\[ \begin{gathered} t' = \operatorname{ch} _\theta \hfill \\ x' = \operatorname{sh} _\theta c_\beta \hfill \\ y' = \operatorname{sh} _\theta s_\beta c_\alpha \hfill \\ z = \operatorname{sh} _\theta s_\beta s_\alpha \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Может и есть там какая-то красивая аналитика, не знаю, не знаю... но меня все больше тянет тупо просчитать эти кривые численно.

PSP
Изложите сперва физическое значение. Может статься, весь этот нагороженный огород и не потребен вовсе.

[PSP]

Утундрий в сообщении #478205 писал(а):

Изложите сперва физическое значение. Может статься, весь этот нагороженный огород и не потребен вовсе.

Отправил в личку коротко.Если заинтересует - дальше работать можно.Работа то поисковая.
Аналитику я в Мапле сделал.Могу выложить.Единственно, что не успел - проанализировать, упростить и анимацию сделать...(плюс, чтобы избавиться от мнимостей,ухитриться как-то применить функцию Губермана..)
Вот для случая $\mathbb{R}^{1,2} $ :
$ \[{\it sys}\, := \,[{\frac {d}{ds}}x \left( s \right) =k_{{1}}y \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =-k_{{1}}x \left( s \right) +k_{{2}}z \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}z \left( s \right) =k_{{2}}\\\mbox{}y \left( s \right) ]\] $
Решения получаются громоздкие, сюда не влазят:
$ {x(s) = (-k[1]*_C2*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+k[1]*_C3*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+_C1*sqrt(-k[2]^2+k[1]^2))/sqrt(-k[2]^2+k[1]^2), z(s) = (-_C2*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)*k[2]^2+_C3*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)*k[2]^2+k[1]*_C1*sqrt(-k[2]^2+k[1]^2))/(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*k[2]), $
$ y(s) = _C2*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+_C3*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)}}{\[{\it ans0}\, := \, \left\{ x \left( s \right) ={\frac {-k_{{1}}{\it \_C2}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\ \mbox{}+k_{{1}}{\it \_C3}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\ \mbox{}+{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }{{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }},z \left( s \right) ={\frac {-{\it \_C2}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) {k_{{2}}}^{2}+{\it \_C3}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) {k_{{2}}}^{2}\\ \mbox{}+k_{{1}}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }{{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) k_{{2}}}},y \left( s \right) \\ \mbox{}={\it \_C2}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) +{\it \_C3}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\ \mbox{} \right\} \]} $

[Утундрий]

Нашел до смешного простой путь решения. К чеrту углы Эйлера! Они нужны только для общего случая восстановления кривой по произвольному натуральному уравнению. А в случае постоянных кривизн достаточно векторных уравнений Френе.

Итак, сразу $\mathbb{R}^{1,3}$, времениподобная кривая.

$$\[ \left\{ \begin{gathered} {\mathbf{r''}} = \kappa _1 {\mathbf{n}}_1 \hfill \\ {\mathbf{n}}_1 ^\prime = \kappa _1 {\mathbf{r'}} + \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 \hfill \\ {\mathbf{n}}_2 ^\prime = - \kappa _2 {\mathbf{n}}_1 + \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 \hfill \\ {\mathbf{n}}_3 ^\prime = - \kappa _3 {\mathbf{n}}_2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

Базис $\[ \left\{ {{\mathbf{r'}},{\mathbf{n}}_1 ,{\mathbf{n}}_2 ,{\mathbf{n}}_3 } \right\} \] $ ортонормирован ($\[ {{\mathbf{r'}}} \] $ времениподобный вектор, остальные - пространственноподобные).

Нас по большому счёту интересует только ${\mathbf{r}}$, поэтому получим для нее уравнение. Выразим все нормали через производные от ${\mathbf{r}}$:

$$\[ \left\{ \begin{gathered} \kappa _1 {\mathbf{n}}_1 = {\mathbf{r''}} \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 = {\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 {\mathbf{r'}} \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 = {\mathbf{r}}^{(4)} - \left( {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 } \right){\mathbf{r''}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

И поскольку $\[ \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 ^\prime = - \kappa _3^2 \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 \] $, то

$$\[ {\mathbf{r}}^{(5)} - \left( {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 - \kappa _3^2 } \right){\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 \kappa _3^2 {\mathbf{r'}} = 0 \] $$

Далее стандартно.

P.S. Только не забывать об ортонормированности базиса. Общее решение ${\mathbf{r}}$, содержащее набор постоянных векторов, нужно будет еще подвергнуть надругательству путём вычисления по нему квадратов длин касательной и нормалей и приведении их к кошерному виду.

[PSP]

Утундрий в сообщении #478399 писал(а):

Нашел до смешного простой путь решения. К чеrту углы Эйлера! Они нужны только для общего случая восстановления кривой по произвольному натуральному уравнению. А в случае постоянных кривизн достаточно векторных уравнений Френе.

Итак, сразу $\mathbb{R}^{1,3}$, времениподобная кривая.

$$\[ \left\{ \begin{gathered} {\mathbf{r''}} = \kappa _1 {\mathbf{n}}_1 \hfill \\ {\mathbf{n}}_1 ^\prime = \kappa _1 {\mathbf{r'}} + \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 \hfill \\ {\mathbf{n}}_2 ^\prime = - \kappa _2 {\mathbf{n}}_1 + \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 \hfill \\ {\mathbf{n}}_3 ^\prime = - \kappa _3 {\mathbf{n}}_2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

Базис $\[ \left\{ {{\mathbf{r'}},{\mathbf{n}}_1 ,{\mathbf{n}}_2 ,{\mathbf{n}}_3 } \right\} \] $ ортонормирован ($\[ {{\mathbf{r'}}} \] $ времениподобный вектор, остальные - пространственноподобные).

Нас по большому счёту интересует только ${\mathbf{r}}$, поэтому получим для нее уравнение. Выразим все нормали через производные от ${\mathbf{r}}$:

$$\[ \left\{ \begin{gathered} \kappa _1 {\mathbf{n}}_1 = {\mathbf{r''}} \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 = {\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 {\mathbf{r'}} \hfill \\ \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 = {\mathbf{r}}^{(4)} - \left( {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 } \right){\mathbf{r''}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

И поскольку $\[ \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 ^\prime = - \kappa _3^2 \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 \] $, то

$$\[ {\mathbf{r}}^{(5)} - \left( {\kappa _1^2 - \kappa _2^2 - \kappa _3^2 } \right){\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 \kappa _3^2 {\mathbf{r'}} = 0 \] $$

Далее стандартно.

P.S. Только не забывать об ортонормированности базиса. Общее решение ${\mathbf{r}}$, содержащее набор постоянных векторов, нужно будет еще подвергнуть надругательству путём вычисления по нему квадратов длин касательной и нормалей и приведении их к кошерному виду.

Прекрасно!
Только у меня результат в параметрическом виде, покомпонентно.Как сверить ?
Вот :


$ sys := [diff(x(s), s) = k[1]*y(s), diff(y(s), s) = -k[1]*x(s)+k[2]*z(s), diff(z(s), s) = -k[2]*y(s)+k[3]*t(s), diff(t(s), s) = k[3]*z(s)]}{\[{\it sys}\, := \,[{\frac {d}{ds}}x \left( s \right) =k_{{1}}y \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =-k_{{1}}x \left( s \right) +k_{{2}}z \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}z \left( s \right) =-k_{{2}}y \left( s \right) \\ \mbox{}+k_{{3}}t \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}t \left( s \right) =k_{{3}}z \left( s \right) ]\]} }{ans0 := {z(s) = (k[1]^2*(_C1*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C2*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C4*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))+(1/4)*_C1*(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C2*(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C3*(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C4*(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/(k[2]*k[1]), t(s) = -(1/8)*(4*k[2]^2*_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[2]^2*_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[2]^2*_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[2]^2*_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[1]^2*_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[1]^2*_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[1]^2*_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[1]^2*_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C1*(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C2*(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C4*(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/(k[2]*k[3]*k[1]), x(s) = _C1*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C2*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C4*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s), y(s) = -(1/2)*(_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/k[1]}}{\[{\it ans0}\, := \, \left\{ z \left( s \right) ={\frac {{k_{{1}}}^{2} \left( {\it \_C1}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+{\it \_C2}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+{\it \_C3}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}\\ \mbox{}+{\it \_C4}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}} \right) +1/4\,{\it \_C1}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\ \mbox{}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+1/4\,{\it \_C2}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}\\ \mbox{}+1/4\,{\it \_C3}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\ \mbox{}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+1/4\,{\it \_C4}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\ \mbox{}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}}{k_{{2}}k_{{1}}}},t \left( s \right) =-1/8\,{\frac {4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}-4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}-4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}-4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}-4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+{\it \_C1}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) ^{3/2}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}-{\it \_C2}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) ^{3/2}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) ^{3/2}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}-{\it \_C4}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) ^{3/2}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}}{k_{{2}}k_{{3}}k_{{1}}}},x \left( s \right) ={\it \_C1}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}+{\it \_C2}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+{\it \_C4}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}},y \left( s \right) =-1/2\,{\frac {{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}-{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}\\ \mbox{}-{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right) \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\ \mbox{} \right) s}}}{k_{{1}}}} \right\} \]} $