См. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ
![$\S 100$ $\S 100$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/e/48ef8aa35f0416eed3da9d4b5b9d2a8882.png)
.
Там выведены формулы Френе для кривой в (псевдо)евклидовом пространстве
![$$\begin{array}{llr} \dfrac{d\nu_0}{ds}=\quad \quad \quad\quad k_1\nu_1\\
\dfrac{d\nu_1}{ds}=\pm k_1\nu_0+k_2\nu_2\\
\dfrac{d\nu_2}{ds}=\pm k_2\nu_1+k_3\nu_3\\
\dfrac{d\nu_3}{ds}=\pm k_3\nu_2\end{array}$$ $$\begin{array}{llr} \dfrac{d\nu_0}{ds}=\quad \quad \quad\quad k_1\nu_1\\
\dfrac{d\nu_1}{ds}=\pm k_1\nu_0+k_2\nu_2\\
\dfrac{d\nu_2}{ds}=\pm k_2\nu_1+k_3\nu_3\\
\dfrac{d\nu_3}{ds}=\pm k_3\nu_2\end{array}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73153cef0b3737a2ad979622132568182.png)
Здесь,
![$\nu_0,\nu_1,\nu_2,\nu_3$ $\nu_0,\nu_1,\nu_2,\nu_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/5/d358d0ebcd2265b789ab317d65a00c3a82.png)
-- орты сопровождающего репера,
![$k_1,k_2,k_3$ $k_1,k_2,k_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/a/43a58a47525bb3971d0f6eb73edc542382.png)
-- кривизны,
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
-- натуральный параметр. Знак
![$\pm$ $\pm$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f62db12f95e34116f1f1e827b2c64ce582.png)
в уравнениях выбирается в зависимости от того одноименные реперы
![$\nu_p$ $\nu_p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/8/ab8cd0178b3a41c733f9e8934a0197d082.png)
,
![$\nu_{p-1}$ $\nu_{p-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60e1ace778fd7804020c9240aab8e5782.png)
или нет. Если один из них единичный, а другой -- мнимоединичный, то берётся
![$+$ $+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df33724455416439909c33a7db76b2bc82.png)
; в противном случае берется
![$-$ $-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a69f75630cce402c7c381036296bca982.png)
.
Для описания
всех кривых постоянной кривизны, по-моему, достаточно решить эту систему при четырёх конкретных начальных условиях, соответствующих тому, какой из векторов репера лежит внутри светового конуса. Остальные кривые получатся из найденных при помощи движения.
Решил эту систему в Мапле..Во тока наглядно представить те могу..как это выглядит....
Если кто Мапле владеет, может, поможет кто ?
Вот тут решение :
(Оффтоп)
restart;
sys := [diff(x(s),s) = k[1]*y(s),diff(y(s),s) = k[1]*x(s)+k[2]*z(s),diff(z(s),s) = k[2]*y(s)+k[3]*t(s),diff(t(s),s)=k[3]*z(s) ];
[ d d
[--- x(s) = k[1] y(s), --- y(s) = k[1] x(s) + k[2] z(s),
[ ds ds
d d ]
--- z(s) = k[2] y(s) + k[3] t(s), --- t(s) = k[3] z(s)]
ds ds ]
ans1 := dsolve(sys);
/
| / 1 /
< x(s) = _C1 exp|- - \
| \ 2
\
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ /1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C2 exp|- \
/ \2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ / 1 / // 2
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C3 exp|- - \2 \\k[2]
/ \ 2
2 2\ / 2 2 2\\
+ k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ \ /1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C4 exp|- \2 \\k[2] + k[1]
/ \2
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
/
2 2 2\ \ 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s|, z(s) = --------- |
/ k[1] k[2] \
/ / /
2 | | 1 |
-k[1] |_C1 exp|- - \
\ \ 2
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ / /
2 2 2| | |1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C2 exp|- \
/ \2
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ / /
2 2 2| | | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C3 exp|- - \2
/ \ 2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ / /
2 2 2| | |1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C4 exp|- \2
/ \2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \\ /
2 2 2| || 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s|| + - _C1 \
// 4
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ / /
2 2 2| | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] / exp|- - \
\ 2
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ /
2 2 2| | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + - _C2 \
/ 4
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ / /
2 2 2| |1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] / exp|- \
\2
-2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ /
2 2 2| | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + - _C3 \2
/ 4
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ / /
2 2 2| | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] / exp|- - \2
\ 2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \ /
2 2 2| | 1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + - _C4 \2
/ 4
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ / /
2 2 2| |1 |
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] / exp|- \2
\2
(1/2)
/ 4 2 2 2 2 4 2 2 4\
\k[3] + 2 k[3] k[2] - 2 k[3] k[1] + k[2] + 2 k[2] k[1] + k[1] /
\ \\
2 2 2| || 1 / 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s||, t(s) = ---------------- |4 k[2]
// 8 k[2] k[3] k[1] \
/
_C1 \
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ / 1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \
\ 2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ 2 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - 4 k[2] _C2 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ /1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \
\2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ 2 / // 2
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + 4 k[2] _C3 \2 \\k[2]
/
2 2\ / 2 2 2\\
+ k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ / 1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \2 \\k[2] + k[1]
\ 2
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ \ 2 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - 4 k[2] _C4 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ /1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3]
\2
2\ / 2 2 2\\ 2 2
+ k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2]
2\ \ 2 /
+ 2 k[1] /^(1/2) s| + 4 k[1] _C1 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ / 1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \
\ 2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ 2 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - 4 k[1] _C2 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ /1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \
\2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ 2 / // 2
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + 4 k[1] _C3 \2 \\k[2]
/
2 2\ / 2 2 2\\
+ k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ / 1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \2 \\k[2] + k[1]
\ 2
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ \ 2 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - 4 k[1] _C4 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ /1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3]
\2
2\ / 2 2 2\\ 2 2
+ k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2]
2\ \ /
+ 2 k[1] /^(1/2) s| - _C1 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ / 1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(3/2) exp|- - \
\ 2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C2 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ /1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(3/2) exp|- \
\2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ / // 2 2
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - _C3 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ / 1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(3/2) exp|- - \2 \\k[2] + k[1]
\ 2
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ \ / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C4 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ /1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(3/2) exp|- \2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3]
\2
2\ / 2 2 2\\ 2 2
+ k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2]
2\ \\ 1 / /
+ 2 k[1] /^(1/2) s||, y(s) = - ------ |_C1 \
// 2 k[1] \
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ / 1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \
\ 2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - _C2 \
/
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ /1 /
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \
\2
// 2 2 2\ / 2 2 2
-2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3]
\\ 2 2 2\ \ / // 2 2
//^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| + _C3 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ / 1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- - \2 \\k[2] + k[1]
\ 2
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ \ / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) s| - _C4 \2 \\k[2] + k[1]
/
2\ / 2 2 2\\
+ 2 k[1] k[3] + k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2)
2 2 2\ /1 / // 2 2
+ 2 k[3] + 2 k[2] + 2 k[1] /^(1/2) exp|- \2 \\k[2] + k[1] + 2 k[1] k[3]
\2
2\ / 2 2 2\\ 2 2
+ k[3] / \k[2] + k[1] - 2 k[1] k[3] + k[3] //^(1/2) + 2 k[3] + 2 k[2]
\
2\ \\|
+ 2 k[1] /^(1/2) s|| >
//|
/
>
>
>