Итак, Ферма утверждал, что уравнение
не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.
1.1. Предположим, что такое решение существует, при
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимнопростые числа,
, пусть
,
Тогда
.
1.2.
, где
- целое положительное число.***
, где
-целое положительное число.***
1.3.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
,
,
.***
1.4.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
Левая часть равенства представляет собой значение функции
при
, а правая - при
, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при
и
равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть
,
, тогда
,
, (
,
,
(п.1.3)), следовательно,
1.6. Исследуем функцию
.
,
,
-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
.
или
,
,
Так как на сегменте
существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках
и
. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте
, принимающие значения разных знаков.
Найдем критические точки функции:
при
,
,
,
Критические точки функции
будут
.
***1.2.1
,
=>
,
,
, где
- целое положительное число.
***1.2.2.
, где
- целое число.
,
,
.
=>
- целое положительное число,
- целое положительное число.
3.2.Точка симметрии функции
, где
и
- критические точки функции.
.
Поскольку точка симметрии рациональна, значение функции в этой точке будет рациональным и будет равно сумме значений функции в критических точках.
3.3. Выполним параллельный перенос графика функции
на
.
В результате переноса бОльшая критическая точка будет рациональной. Сумма значений функции в критических точках будет рациональной ( п.3.2.), следовательно, значение функции в меньшей критической точке минус
будет рациональным, то есть, значения первоначальной функции в критических точках рациональны, а значит, разница значений тоже рациональна .
3.4.
Тогда
- рациональное число.
И поскольку
- рациональное число, следовательно
- рациональное число (доказывается путем возведения в квадрат), получаем, что
- рациональное число. А следовательно, критические точки рациональны.
-- Вт авг 30, 2011 15:47:23 --4.1. Для дальнейшего доказательства необходимо несколько важных положений:
=>
,
,
отсюда
=>
делится на
=>
делится на
,
делится на
, а из этого следует, что либо
, либо
, либо
делится на
(поскольку
).
.
,
Если
делится на
, то либо
, либо
делится на
.
Если
делится на
, то
делится на
,
делится на
Аналогично с делимостью
на
.
. Если
делится на
, то
должно делиться на
, но тогда
должно делиться на
, а это невозможно.
Если
делится на
, то т.к.
и
делится на на
, следовательно,
делится на
. Аналогично с
.
4.2. Поскольку критические точки рациональны,
не может делится на
, тогда корень будет иррациональным, поскольку в этом случае
делится только на
Пусть
, где
- критическая точка функции,
и
- целые положительные числа.
Тогда
отсюда
Действительно, если
не делится на
, правая часть будет делится на
, если
делится на
, при этом левая будет делится только на
. Если же
не делится на
, правая часть вообще не будет делится на
.
Если
и
не делятся на
, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на
,а левая - на
.
Если
делится на
, то
должно делиться на
, поскольку
делится на
, а если
делится на
, то это выражение должно делится на
. Но преобразовав, получаем:
, делится на
. Следовательно,
-- Вт авг 30, 2011 15:52:53 --либо
, либо
делится на
.