Попытка доказательства Теоремы Ферма

[AKM]

Kallikanzarid в сообщении #477025 писал(а):

Гаджимурат
Так в чем ваша проблема, я не понял?

Здесь обсуждается проблема топикстартера, natalya_1. Не надо раздувать и уветвлять тему излишними ля-ля.

[Коровьев]

natalya_1 в сообщении #475855 писал(а):

Я уверена, что доказательство существует. Потому что в мире все логично. Если формулировка простая, то и доказательство должно быть не таким сложным.

Контропример.
Любая арифметическая прогрессия $c_n=an+b$, где $a,b,n$ целые и (a,b)=1, содержит бесконечно много простых чисел.

Говорят, что элементарное доказательство (без теории рядов Дирихле для числовых характеров) было найдено и содержит несколько сотен страниц.

[Батороев]

(Оффтоп)

Коровьев в сообщении #477057 писал(а):

Контропример.
Любая арифметическая прогрессия $c_n=an+b$, где $a,b,n$ целые и (a,b)=1, содержит бесконечно много простых чисел.

Говорят, что элементарное доказательство (без теории рядов Дирихле для числовых характеров) было найдено и содержит несколько сотен страниц.

Для того, чтобы доказательства подобных вещей были немногостраничными, в теории чисел чуть-чуть чего-то не хватает.
Любую арифметическую прогрессию можно просеять через "решето" Эратосфена. При просеивании на любом простом $p_i$ из $p_i$ чисел будет вычеркиваться лишь одно число. Т.е любая арифметическая прогрессия в этом смысле практически ничем не отличается от натурального ряда (а с учетом выбранных $a$ и $b$ еще и "выигрывает"), в котором, как мы знаем, число простых бесконечно.
Вот эта увязка сравнения натурального ряда и любой другой арифметической прогрессии, по-видимому, и может составлять то самое "чуть-чуть".

[natalya_1]

Все-таки мне не дает покоя рациональность критических точек.
В данный момент я расписывала доказательство Теоремы для степени $3$, но пытаясь доказать тем же способом для других степеней, обнаружилась интересная закономерность: если $a$, $b$, $c$ - целые числа, точка симметрии функции всегда рациональна. Точки пересечения функции с осью абсцисс- рациональны. Я понимаю, что мне "очень хочется", чтобы и критические точки были рациональными, потому что тогда Теорема будет доказана, но если они иррациональны, это уж слишком выбивается из общего разумного порядка, уж слишком это некрасиво...

[natalya_1]

кажется, у меня все получилось.
То есть, получилось доказать, что критические точки рациональны в результате параллельного переноса графика функции $y=x^3(cd-p)-x^2c^2d+xc^2p$ на $\frac{c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$. Тогда значение большей критической точки будет рациональным, значение меньшей критической точки будет $\frac{c^2d-2c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$, и значение первоначальной функции в этой точке будет рациональным.
В результате преобразований получается, что корень должен быть рациональным.
Мне не нравится, что получается достаточно сложно, может, можно все это объяснить как-то проще?
А так, похоже, мне удалось доказать Теорему...

[Sonic86]

Может все-таки напишите текст целиком? Вам же станет яснее + вообще приятно записать результат целиком и посмотреть на него.

[natalya_1]

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c=d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^{2}(cd-p)=c^{2}(ad-p)$,$b^{2}(cd-p)=c^{2}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}}=\frac{b^2}{bd-p}}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках $0$и $c$. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте $]0;c]$, принимающие значения разных знаков.

Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$.


***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.


3.2.Точка симметрии функции $k=\frac{x+x_1}{2}$, где $x$ и $x_1$- критические точки функции.$k=\frac{c^2d}{3(cd-p)}$.
Поскольку точка симметрии рациональна, значение функции в этой точке будет рациональным и будет равно сумме значений функции в критических точках.
3.3. Выполним параллельный перенос графика функции $y=x^3(cd-p)-x^2c^2d+xc^2p$ на $-\frac{с\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$.
В результате переноса бОльшая критическая точка будет рациональной. Сумма значений функции в критических точках будет рациональной ( п.3.2.), следовательно, значение функции в меньшей критической точке минус $\frac{c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$ будет рациональным, то есть, значения первоначальной функции в критических точках рациональны, а значит, разница значений тоже рациональна .
3.4.
Тогда $(x-x_1)((x^2+xx_1+x_1^2)(cd-p)-(x+x_1)c^2d+c^2p)$- рациональное число.
И поскольку $x+x_1$- рациональное число, следовательно $xx_1$- рациональное число (доказывается путем возведения в квадрат), получаем, что $x-x_1$- рациональное число. А следовательно, критические точки рациональны.

-- Вт авг 30, 2011 15:47:23 --

4.1. Для дальнейшего доказательства необходимо несколько важных положений:
$a+b=c+d$=>
$(a+b)^3=(c+d)^3$,
$a^3+3a^2b+3b^2a+b^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3$,
отсюда $d^3=3(a^2b+b^2a-c^2d-cd^2)$=>
$d$ делится на $3$ =>
$a^2b+b^2a$ делится на $3$,
$ab(a+b)$ делится на $3$, а из этого следует, что либо $a$, либо $b$, либо $c$ делится на $3$ (поскольку $ c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$).

.
$c^3-a^3=b^3$, $(c-a)(c^2+ca+a^2)=b^3$ Если $b$ делится на $3$, то либо $(c-a)$, либо $c^2+ca+a^2$ делится на $3$.
Если $c^2+ca+a^2$ делится на $3$, то $c^2-2ca+a^2+3ca$ делится на $3$, $c-a$ делится на $3^2$ Аналогично с делимостью $a$ на $3$.
$p=(a^2+b^2)-c^2$. Если $c$ делится на $3$, то $a^2+b^2$ должно делиться на $3$, но тогда $(a+b)^2-2ab$ должно делиться на $3$ , а это невозможно.
Если $a$ делится на $3$ , то т.к.
$p=-(c^2-b^2) +a^2$ и $c-b$ делится на на $3^2$, следовательно, $p$ делится на $3^2$. Аналогично с $b$.

4.2. Поскольку критические точки рациональны, $c$не может делится на $3$, тогда корень будет иррациональным, поскольку в этом случае $c^2d^2-3cdp+3p^2$ делится только на $3$
Пусть$\frac{c}{x}=\frac{q}{l}=\frac{3(cd-p)}{cd\pm\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$, где $x$ - критическая точка функции, $q$ и $l$ - целые положительные числа.
Тогда
$\frac{3c^2l^2}{q(2cld-qp)}=\frac{c^2}{cd-p}$ отсюда
$3l^2(cd-p)=q(2cld-qp)$

Действительно, если $p$ не делится на $3$, правая часть будет делится на $3^2$, если $q$ делится на $3$, при этом левая будет делится только на $3$. Если же $q$ не делится на $3$, правая часть вообще не будет делится на $3$.

Если $q$ и $l$ не делятся на $3$, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на $3$,а левая - на $3^2$.

Если $l$ делится на $3$, то $(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})$ должно делиться на $3^6$, поскольку $9(cd-p)^2$ делится на $3^4$, а если $q$ делится на $3$, то это выражение должно делится на $3^2$. Но преобразовав, получаем:$3p(cd-p)$, делится на $3^4$. Следовательно,

-- Вт авг 30, 2011 15:52:53 --

либо$cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}$, либо $cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}$ делится на $3^3$.

[natalya_1]

Продолжаю.
5.1. Итак,
$(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})=3p(cd-p)$
Возводим в квадрат:

$(2c^2d^2-2cd\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}+3p(cd-p))(2c^2d^2+2cd\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}+3p(cd-p))=(3p(cd-p))^2$,

отсюда
$\frac{2cd(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2)}}{3p(cd-p)}$-целое число,
$\frac{2cd(cd+\cqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})}{3p(cd-p)}$-целое число, следовательно
$\frac{4c^2d^2}{3p(cd-p)}$-целое число, а это невозможно, поскольку

$cd$ делится на $3$, $p$ делится на $3^2$
Мы пришли к противоречию, значит, наше первоначальное предположение было неверным.
Уравнение $x^n+y^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах при n=3

Теорема доказана.
Схема доказательства распространяется на все остальные нечетные степени $n>3$

[Kallikanzarid]

natalya_1
Можете выписать полное доказательство для произвольного $n$? Я думаю, найдутся люди, которые захотят проверить его с помощью компьютера или вручную.

[natalya_1]

Конечно! Спасибо большое!
Единственно, набор занимает у меня очень много времени. Я постараюсь сделать это в ближайшее время.

[magistr07]

Коровьев в сообщении #477057 писал(а):

natalya_1 в сообщении #475855 писал(а):

Я уверена, что доказательство существует. Потому что в мире все логично. Если формулировка простая, то и доказательство должно быть не таким сложным.

Контропример.
Любая арифметическая прогрессия $c_n=an+b$, где $a,b,n$ целые и (a,b)=1, содержит бесконечно много простых чисел.

Говорят, что элементарное доказательство (без теории рядов Дирихле для числовых характеров) было найдено и содержит несколько сотен страниц.

Так уж и любая... пусть n это все нечётные числа... - вот в итоге и нет ни одного простого числа в прогрессии. Могу конечно ошибаться, так как не понятно что вот это (a,b)=1. Может это скалярное произведение?

[Kallikanzarid]

magistr07 в сообщении #479140 писал(а):

Могу конечно ошибаться, так как не понятно что вот это (a,b)=1.

Это НОД.

[Sonic86]

magistr07 в сообщении #479140 писал(а):

Так уж и любая.

Любая-любая. Попробуйте ручками поискать там простые.

[ananova]

Наталья!

Некоторые моменты Вы очень очень подробно доказываете, а некоторые приходиться читателям додумывать.

natalya_1 в сообщении #479136 писал(а):

Продолжаю.

.....
$(2c^2d^2-2cd\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}+3p(cd-p))(2c^2d^2+2cd\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}+3p(cd-p))=(3p(cd-p))^2$,

отсюда
$\frac{2cd(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2)}}{3p(cd-p)}$-целое число,
$\frac{2cd(cd+\cqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})}{3p(cd-p)}$-целое число,
.....

Могут быть эти числа такими рациональными, что их произведение будет целым числом? Это, по-моему, нужно указать в доказательстве, т.к. на подобных моментах многие доказательства рассыпаются.

[natalya_1]

ananova в сообщении #479155 писал(а):

Наталья!

Некоторые моменты Вы очень очень подробно доказываете, а некоторые приходиться читателям додумывать.

Мне тяжело подробно расписывать, я наверное что-то неправильно делаю, у меня большие тексты не получаются почему-то, пляшет окно.

Доказательство рациональности критических точек:

Выполним параллельный перенос графика функции $y=x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px$ на
$\frac{c\sqrt{c^2d^2-pcdp+3p^2}}{3(cd-p)}=k$. В результате переноса сумма значений фунуции в критических точках будет такой же, то есть рациональной.
Большая критическая точка будет равна $\frac{c^2d}{3(cd-p)}$, то есть тоже будет рациональной.
Тогда