Попытка доказательства Теоремы Ферма

[natalya_1]

В предыдущем посте равенства, если $c$не делится на $3$.
Если $c$ делится на $3$, то
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =24$ (если с-четное)
или
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =3$ (если с- нечетное)

[natalya_1]

natalya_1 в сообщении #378554 писал(а):

Проверила, но дальше это ничего не дает, кроме
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =8$ (если с-четное)
или
$8(a^2-ab+b^2) -12c^2 +6c(a+b) -(a+b)^2 =1$ (если с- нечетное)

Вывела я это из
$8(a+b)=(c-d)^3$, при $c$ - четном,
или
$(a+b)=(c-d)^3$, при $c$- не четном.
Соответственно,в случае делимости $c$ на$3$,
$24(a+b)=(c-d)^3$ ,при $c$ четном ,или
$3(a+b)=(c-d)^3$,при $c$ - не четном.

[natalya_1]

Попробую все-таки расписать, потому что сама не могу найти ошибку.
Итак, существует точка $h=\frac{cp}{cd-p}$.
$\frac{cp}{cd-p}=\frac{ca^2+cb^2-a^3-b^3}{ca+cb-a^2-b^2}$.
$\frac{cp}{cd-p}=a+\frac{cb^2-b^3-cab+ab^2}{ca+cb-a^2-b^2}=a+b+\frac{ab(a+b-2c)}{cd-p}$, следовательно
$\frac{cp-(a+b)cd+(a+b)p}{cd-p}=\frac{ab(a+b-2c)}{cd-p}$, отсюда
$cd(a+b-2c)+2c^2d-p(a+b-2c)-3cp=-ab(a+b-2c)$,
$2c^2d-3cp$ не равно $0$т.к. $cd>2p$, следовательно
$\frac{2c^2d-3cp}{c-d}$- целое число.
$\frac{2cd-3p}{c-d}$ можно сократить только на 2 (если $c$- четное и на $3$ , если $c$ делится на $3$, следовательно
$\frac{2c}{c-d}$- целое число.

Если здесь нет ошибки, я напишу дальше.
Посмотрите, пожалуйста!

[natalya_1]

Можно не проверять. Я нашла ошибку в рассуждениях.

[natalya_1]

dmd в сообщении #316091 писал(а):

Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$.

Всем добрый день!
Кажется, удалось продвинуться в доказательстве. Я доказала, что критические точки рациональны. Извините , не умею набирать корни, не знаю, как записать.

[dmd]

\sqrt{...}

Если навести мышку на картинку формулы в других постах и пару секунд не двигать мышку, то появляется всплывающая подсказка о коде формулы.
Либо подробно всё расписано: Как набирать формулы? и FAQ по тегу [math].

[natalya_1]

dmd, спасибо! Попробую.
Итак, имеем:
Критические точки функции (их две) $x=\frac{c(c^2d\pm \sqrt{cd^2-3cdp+3p^2})}{3(cd-p)}$,
Пусть $\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}=q$ , тогда
$x^2=\frac{2c^4d^2\pm \ 2c^3dq+3p^2-3cdp}{9(cd-p)^2}$, отсюда
$x^2\pm \frac{2c^3dq}{9(cd-p)^2}$ - рациональное число.
Тогда
$x^2\pm \frac{2cdqx^2}{3(cd-p)(2xd-p)}$ -рациональное число (поскольку $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, эта формула выведена при поиске критических точек).
И далее:
$\frac{x^2}{3(cd-p)(2xd-p)}(3(cd-p)(2xd-p)\pm \ 2cdq)$- рациональное число,
отсюда $6cxd^2-6xdp\pm \ 2cdq$- рациональное число,
$q(\pm \ 6c^2d^2\pm \ 6cdp\pm \ 2cd)$- рациональное число, $q$- рациональное число, а значит, критические точки рациональны.

[natalya_1]

Ой, у меня в тексте описка в первой формуле, а исправить уже не могу.
Я старалась, но набор мне дается очень тяжело.

[natalya_1]

Всем добрый вечер!
В общем, еще раз просмотрела свое доказательство и пришла к выводу, что для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.

Действительно, пусть$\frac{c}{x}=\frac{q}{l}=\frac{3(cd-p)}{cd\pm\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$.
Тогда
$\frac{3c^2l^2}{q(2cld-qp)}=\frac{c^2}{cd-p}$ отсюда
$3l^2(cd-p)=q(2cld-qp)$
Для того, чтобы равенство соблюдалось, необходимо, чтобы $p$ делилось на$3$ (то есть, $c$ не делилось на $3$)
Действительно, если $p$ не делится на $3$, правая часть будет делится на $3^2$, если $q$ делится на $3$, при этом левая будет делится только на $3$. Если же $q$ не делится на $3$, правая часть вообще не будет делится на $3$.

Если $q$ и $l$ не делятся на $3$, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на $3$,а левая - на $3^2$.

Если $l$ делится на $3$, то $(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})$ должно делиться на $3^6$, поскольку $9(cd-p)^2$ делится на $3^4$, а если $q$ делится на $3$, то это выражение должно делится на $3^2$. Но преобразовав, получаем:$3p(cd-p)$, делится на $3^4$. Следовательно, оба варианта невозможны.

-- Пт авг 12, 2011 22:45:53 --

С доказательством рациональности критических точек мне нужна помощь.
Вот есть вариант, но не знаю, насколько он правильный.
Рассмотрим график функции $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$
Должно выполняться соотношение
$\frac{c-x}{x_1}=\frac{x-h}{h-x_1}=\frac{c-h}{h}$ , где $x$ - большая критическая точка, $x_1$ - меньшая критическая точка.
Отсюда $\frac{c-x}{x_1}= \frac{3c(cd-p)-c^2d-c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{c^2d-c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}=1+\frac{cd-3p}{cd -\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$ - рациональное число. Отсюда корень рационален,
критические точки рациональны .

[natalya_1]

natalya_1 в сообщении #475118 писал(а):

мне нужна помощь

Уважаемые форумчане! Это конечно большая авантюра пытаться доказать Теорему, не обладая необходимыми знаниями. Мне действительно не хватает знаний.
Интуитивно я по-прежнему чувствую, что все очень рядом (извините за наглость и самонадеянность)...

natalya_1 в сообщении #475118 писал(а):

]
Рассмотрим график функции $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$
Должно выполняться соотношение
$\frac{c-x}{x_1}=\frac{x-h}{h-x_1}=\frac{c-h}{h}$ , где $x$ - большая критическая точка, $x_1$ - меньшая критическая точка.

Если выполняются указанные соотншения (исходя из симметричности функции), то необязательно даже доказывать рациональность критический точек.
Но я не могу доказать, почему должны выполняться эти соотношения. (хотя подстановками и преобразованиями вроде все получается).
На данном этапе мне нужно либо

1. Доказать, что эти соотношения выполняются/не выполняются

либо

2. Доказать рациональность критических точек каким-то другим способом.
Буду благодарна за любую помощь и участие в доказательстве , в том числе на указание, где можно посмотреть материалы по теме.

[AKM]

Я бы Вам посоветовал переписать Ваше доказательство в нынешней версии цельно, от начала до конца,
без каких-либо ссылок на прошлое. Оно слишком разбросано по сообщениям, и не только мне лень листать взад, чтобы узнать, кто такая критическая точка, и кто такие $a,b,c,d,e,f,g,\ldots$
Возможно, Ваш постоянный собеседник dmd (его давно не видно) и помнит какие-то детали, но для остальных это, наверное, трудная работёнка.

[natalya_1]

AKM, спасибо за поддержку. Попробую.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c=d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^{2}(cd-p)=c^{2}(ad-p)$,$b^{2}(cd-p)=c^{2}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}}=\frac{b^2}{bd-p}}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, между точками $a$ и $b$ найдется такая точка ( назовем ее $h$), что значение функции в этой точке будет равно $0$ и тогда $h^3+h^3=c^3$.
$(cd-p)h^3-c^{2}dh^2+c^{2}ph=0 $ $c\not=0$ $h\not=0$, т.к.$b<h<a$. Следовательно,

2.2 $(cd-p)h^2-c^2dh+c^2p=0$
$D=c^4d^2-4c^2p(cd-p)$
$D=c^2(cd-2p)^2$
$h=\frac{c^2d+c(cd-2p)}{2(cd-p)}$ или $h=\frac{c^2d-c(cd-2p)}{2(cd-p)} $, отсюда $h=c$ или $h=\frac{cp}{cd-p}$. Т.к. $h<c$, то $h=\frac{cp}{cd-p}$, $h$- рациональное число.



3.1. Рассмотрим функцию $y=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$.
Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$.



4.1. Для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.
Действительно, если критические точки рациональны: пусть$\frac{c}{x}=\frac{q}{l}=\frac{3(cd-p)}{cd\pm\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}$.
Тогда
$\frac{3c^2l^2}{q(2cld-qp)}=\frac{c^2}{cd-p}$ отсюда
$3l^2(cd-p)=q(2cld-qp)$
Для того, чтобы равенство соблюдалось, необходимо, чтобы $p$ делилось на$3$ (то есть, $c$ не делилось на $3$)
Действительно, если $p$ не делится на $3$, правая часть будет делится на $3^2$, если $q$ делится на $3$, при этом левая будет делится только на $3$. Если же $q$ не делится на $3$, правая часть вообще не будет делится на $3$.

Если $q$ и $l$ не делятся на $3$, равенство не выполняется, поскольку в этом случае правая часть делится на $3$,а левая - на $3^2$.

Если $l$ делится на $3$, то $(cd+\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})(cd-\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2})$ должно делиться на $3^6$, поскольку $9(cd-p)^2$ делится на $3^4$, а если $q$ делится на $3$, то это выражение должно делится на $3^2$. Но преобразовав, получаем:$3p(cd-p)$, делится на $3^4$. Следовательно, оба варианта невозможны, и критические точки не могут быть рациональными.

-- Пн авг 15, 2011 23:04:18 --

***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.

[venco]

Пытаюсь понять логику, пока не вникая в детали.

natalya_1 в сообщении #475507 писал(а):

4.1. Для того, чтобы доказать Теорему, необходимо доказать,что критические точки рациональны.
...
Следовательно, оба варианта невозможны, и критические точки не могут быть рациональными.

Т.е. вы не доказали, что критические точки рациональны, а значит, не доказали Теорему.
Или вы что-то другое хотели сказать?

[natalya_1]

venco в сообщении #475522 писал(а):

Т.е. вы не доказали, что критические точки рациональны, а значит, не доказали Теорему.
Или вы что-то другое хотели сказать?

Да, я обратилась с просьбой поучаствовать в доказательстве и помочь мне доказать рациональность критических точек.
В свое время мне точно так же нужно было доказать рациональность $h$ (для случаев $n>3$. Это мне удалось.
Просто я очень многого не знаю и приходится заниматься изобретением велосипеда.

[nnosipov]

А я вообще не вижу связи между рациональностью критических точек и доказательством теоремы. В п. 2.1 утверждение "... и тогда $h^3+h^3=c^3$" ниоткуда не следует. Вообще, идея доказательства совершенно не ясна. В частности, зачем нужны эти лишние $d=a+b-c$ и $p=a^2+b^2-c^2$?