Первый замечательный предел - так ли замечателен?

[olenellus]

Gortaur в сообщении #473112 писал(а):

2. какой из них конструктивен?

Полагаю, что конструктивный - через ряды. Может быть, через интегралы. Но я в конструктивной математике ничего не понимаю

[ewert]

Синус приходится по необходимости вводить геометрически, как отношение катета к гипотенузе. И ни в коем случае не через ряды, интегралы и т.п. Уж слишком много фактов элементарной геометрии на синус завязано, через ряды к ним за разумное время точно не продерёшся.

Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности. При этом существенны два обстоятельства. Во-первых, что понятие длины кривой интуитивно понятно всем, безо всяких изысканных теорий. Во-вторых, что и точную теорию выстроить тут (учитывая, что речь идёт исключительно об окружности) тоже совсем нетрудно. Во всяком случае, матшкольникам (т.е. знакомым хоть в какой-то степени с точным понятием вещественного числа) определить строго длину дуги окружности можно за вполне разумное время.

Немат школьникам же, т.е. тоже имеющим о вещественных числах некоторое представление, но весьма смутное -- всё равно никакой строгой теории не толкнёшь. Да им этого и не нужно; свои задачки они могут решать вполне уверенно, основываясь лишь на интуитивных соображениях. И когда они потом приходят в ВУЗ (где, как правило, до наведения марафета руки тоже не доходят: в школе было слишком рано, а теперь уж слишком поздно) -- никаких проблем для них это не создаёт, настолько сильно за время школьной дрессировки въелось в них понятие длины. И неважно, что оно не было обосновано строго. Вполне достаточно того, что такое обоснование возможно в принципе, и что потенциальную возможность этого они чуют.

[_hum_]

ewert в сообщении #473172 писал(а):

Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности.

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

[Maslov]

ewert в сообщении #473172 писал(а):

Уж слишком много фактов элементарной геометрии на синус завязано, через ряды к ним за разумное время точно не продерёшся.

Это какие, например, факты?
Через те же ряды довольно просто доказывается, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, затем рисуем единичный круг и получаем факты элементарной геометрии про отношения катетов и гипотенузы.

[ewert]

_hum_ в сообщении #473181 писал(а):

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы. Правда, можно определить любую длину, определяемую конечной двоичной дробью, и этого вроде и было б достаточно, коли б были в нашем распоряжении вещественные числа; да вот ведь нет их в элементарной геометрии.

-- Ср авг 03, 2011 16:23:29 --

Maslov в сообщении #473183 писал(а):

Через те же ряды довольно просто доказывается, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, затем рисуем единичный круг

Ничего не доказывается. Нет никаких рядов как класса. Вообще ни одного ряда нет. К моменту возникновения геометрии. И никогда (к тому моменту) не будет.

Потому что при изучении любой теории (даже и математиками, не говоря уж обо всех прочих) важна мотивация. Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может. В отличие от вполне наглядного (и, следовательно, даже неважно насколько строгого) геометрического определения.

[Maslov]

ewert в сообщении #473191 писал(а):

Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может.

А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гопотенузы, может?
И в чем же мотивация?

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.

[olenellus]

ewert в сообщении #473191 писал(а):

Потому что при изучении любой теории (даже и математиками, не говоря уж обо всех прочих) важна мотивация. Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может. В отличие от вполне наглядного (и, следовательно, даже неважно насколько строгого) геометрического определения.

Наглядность и внутреннее чутьё проистекают не из геометрических определений, и не из аксиоматики эвклидовой геометрии (это уже попытка осмыслить эмпирические данные), а из свойств пространства, а именно, из понятий вращения и переноса, и длины с углами, как свойств, при этом не меняющихся. А синусы-косинусы появляются, когда мы следим за тем, что происходит с проекциями (катеты-гипотенузы). Так что реальная мотивация нас приведёт к группам, к чему-нибудь вроде подхода Бурбаки. Кстати, если так подходить к геометрии, то СТО потом пойдёт как по маслу. Может, сразу с группы Пуанкаре начать, а всю это элементарную геометрию из её подгрупп получить? Впрочем, знание анализа нам всё равно понадобится...

А вообще, Пуанкаре не надо... Мы эволюционно привыкли только к трёхмерным вращениям и переносам. Группа Пуанкаре для нас, хоть и родная, но чуждая, прошу прощения за каламбур.

[_hum_]

ewert в сообщении #473191 писал(а):

_hum_ в сообщении #473181 писал(а):

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Цитата:

Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы.

Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

Цитата:

Правда, можно определить любую длину, определяемую конечной двоичной дробью, и этого вроде и было б достаточно, коли б были в нашем распоряжении вещественные числа; да вот ведь нет их в элементарной геометрии.

Это как? А длина диагонали квадрата?

[worm2]

Maslov писал(а):

А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, может?
И в чем же мотивация?

Да, чувствуется школа
К началу обучения в вузе ученикам хорошо известны тригонометрические функции, которые хочется изучать так же, как изучаются остальные функции. Вот и вся мотивация.
А в принципе чистым математикам тригонометрические функции можно вообще не давать. Миша Вербицкий будет в восторге

[Azog]

Maslov в сообщении #473200 писал(а):

ewert в сообщении #473191 писал(а):

Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может.

А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гопотенузы, может?
И в чем же мотивация?

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.

Геометрическая мотивация загадочного синуса довольно проста: можно решать задачи. Ну первое что в голову приходит - как Вы без тригонометрии рассчитаете треугольник?

Последовательное и строго изложение математики должно начинаться со строгого введения натуральных чисел, вещественных чисел и тому подобного. А это, как Вы сами знаете, не самые простые вопросы. Строго говоря и физику от математики временами тяжело отличить, и химию. Так что же, упразднить предмет математика и ввести предмет "естествознание"?

[alcoholist]

Maslov в сообщении #473183 писал(а):

Через те же ряды довольно просто доказывается, что

синус периодичен... ога)))

[Maslov]

myra_panama в сообщении #473070 писал(а):

Padawan в сообщении #473054 писал(а):

Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями

Вопрос: Как можно доказывать 'при этих формулировок' первый замечательный предел? По моему основной вопрос состоит в этом. Товарищ olenellus без жульничество хочеть доказать это?Кстати этого (доказательство) я тоже хочу увидеть

Обозначим через $\sin x$ решение этого ДУ, удовлетворяющее начальным условиям $\sin(0) = 0, \sin'(0) = 1$, а через $\cos x$ -- решение, удовлетворяющее начальным условиям $\cos(0) = 1, \cos'(0) = 0$. Эти два решения исходного уравнения являются независимыми, а следовательно любое другое решение может быть представлено как их линейная комбинация.

Теперь докажем, что $\sin'(x) = \cos(x)$.

Пусть $y(x) = \sin'(x)$, тогда
$y'(x) = \sin''(x) = -\sin(x)$
$y''(x) = -\sin'(x) = -y(x)$
Другими словами, $y(x)$ удовлетворяет исходному уравнению с начальными условиями $y(0) = 1, y'(0) = 0$, откуда
$y(x) = 0 \cdot \sin(x) + 1 \cdot \cos(x) = \cos(x)$

Т.о., $\sin'(x) = \cos(x)$.

Ну а дальше по определению производной функции $\sin x$ в точке $x = 0$ получаем значение первого замечательного предела:
$\sin'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin (x)} {x} = \cos(0) = 1$

Azog в сообщении #473240 писал(а):

Геометрическая мотивация загадочного синуса довольно проста: можно решать задачи.

Ну так если те же свойства получить через интегралы, ряды или дифференциальные уравнения, то тоже можно решать задачи.

alcoholist в сообщении #473243 писал(а):

Maslov в сообщении #473183 писал(а):

Через те же ряды довольно просто доказывается, что

синус периодичен... ога)))

Да Вы почитайте Ландау (я выше давал ссылку); там все подробненько написано. И про сумму квадратов, и про периодичность.

[Azog]

Цитата:

Ну так если те же свойства получить через интегралы, ряды или дифференциальные уравнения, то тоже можно решать задачи.

Геометрическое определение хоть и не столь наукообразно, как прочие, не требует лишних знаний, а главное само по себе пригодно для решения задач. Из остальных определений основные свойства тригонометрических функций надо выводить. Пусть и не очень сложно, но весьма мутными методами. Если речь идет о студенте первого курса\школьнике, то он еще не видал ни дифуров, ни рядов. На кой ляд они нужны ему пока что невдомек.

[Maslov]

Azog в сообщении #473255 писал(а):

Если речь идет о студенте первого курса\школьнике, то он еще не видал ни дифуров, ни рядов. На кой ляд они нужны ему пока что невдомек.

Я же писал уже:

Maslov в сообщении #473200 писал(а):

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки

[ewert]

Maslov в сообщении #473200 писал(а):

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.

В том-то и дело, что очень условно. Потому и достоинства той или иной последовательности изложения -- очень условны. Говоря абстрактно.

Говоря же конкретно -- есть один неоспоримый факт. Есть некоторые базовые знания, которые необходимы здесь и сейчас. И опираться они могут лишь на интуицию (поскольку бурбакизм начиная с минус тринадцатого класса в школьную программу заведомо не втиснешь). И уж только потом, потом можно пытаться наводить формальный порядок (для особо продвинутых) -- лишь после того, как все даже и особо продвинутые прочувствуют всю пользу тех же синусов, уже заранее известных -- но не ранее.

(Оффтоп)

Боюсь, что даже и у Вас в 239-й танцы с саблями и арктангенсами демонстрировали только тем детишкам, которые уже к тому времени твёрдо знали, что такое синусы.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):

Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Неклассических доказательств этого предела не бывает. Любая попытка типа аксиоматического доказательства так или иначе будет паразитировать на классическом понимании предела как всё более и более точного приближения к реальности. "Данной нам в ощущениях", ога.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):

Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

Да, не видите. Я же специально оговорил этот Ваш пример как конечную двоичную дробь. И если у нас есть теория бесконечных дробей или неважно чего там эквивалентно-вещественного -- то и ладно. Если же нет -- длины на прямой с длинами на дуге невозможно согласовать, в принципе. А значит, и никакого практического значения понятие длины дуги (формально говоря) не имеет.