Что Вас потрясло в математике?

[Someone]

Kallikanzarid в сообщении #467715 писал(а):

Давно дело было, но вроде если бы она существовала, то сама функция Дирихле была бы интегрируема по Риману, что не так.

Не существует, но по другой причине: если функция $f(x)$ дифференцируема на $[a,b]$, то $f'(x)$ принимает на $[a,b]$ все значения, промежуточные между $f'(a)$ и $f'(b)$. А функция Дирихле этим свойством не обладает.
Однако существует строго возрастающая на $\mathbb R$ дифференцируемая функция, производная которой равна $0$ на всюду плотном множестве. И эта производная, очевидно, не интегрируема по Риману.

[ewert]

Someone в сообщении #467769 писал(а):

Однако существует строго возрастающая на $\mathbb R$ дифференцируемая функция, производная которой равна $0$ на всюду плотном множестве.

Какая?... (так, чтоб её производная существовала именно буквально всюду, а не на каком-то там плотном?...)

[Someone]

Всюду, всюду, не сомневайтесь. Мне даже кажется, что я когда-то давно-давно здесь на форуме построение излагал. Но как теперь это найти - не представляю.

[Munin]

Someone в сообщении #467790 писал(а):

Всюду, всюду, не сомневайтесь.

То есть для $[a,b]$ на множестве меры $b-a$?

[Someone]

Munin в сообщении #467844 писал(а):

То есть для $[a,b]$ на множестве меры $b-a$?

На всём $\mathbb R$ во всех точках. А то, что Вы говорите, называется "почти всюду".

[caxap]

У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

(Оффтоп)

Много где читал про это в лирических отступлениях в разных книжках, но душой не признавал. А сегодня дошло, что они имели в виду.

[Xenia1996]

caxap в сообщении #469074 писал(а):

У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

Извольте поделиться.

[AKM]

Господа, давайте не углублять оффтопик.

Обсуждение категорий отделено сюда.

[ДДмитрий]

Всегда ошалевал от сверхъестественной связи математики с реальным миром (или вдруг отсутствия таковой).

Вот два таких примера (первый на связь, а второй на отсутствие) из анализа

1) Теорема Римана о перестановке членов рядов и связь этой теоремы с экономикой нашего мира (деньги-кредиты-депозиты это переставленные члены ряда, меряющего общее счастье).

2) Существование неаналитических, но гладких функций. Я о ненулевой функции, имеющей нулевой ряд Тейлора. Что ж это могут быть за силы, которые заставляют функцию равную нулю при $t \leqslant t_0$ гладко оторваться от оси абсцисс!

[Kallikanzarid]

ДДмитрий в сообщении #470724 писал(а):

Я о ненулевой функции, имеющей нулевой ряд Тейлора.

Такой не бывает хотя бы потому, что значение функции в точке входит в ряд Тейлора.

[caxap]

Kallikanzarid в сообщении #470732 писал(а):

Такой не бывает хотя бы потому, что значение функции в точке входит в ряд Тейлора.

...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже. Классический пример:

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2},\ x\neq 0,\\0,\ x=0.\end{cases}$$

-- 23 июл 2011, 16:24 --

Странно, что пока ещё никто не упомянул (или я не видел?) "Контрпримеры в анализе" Гелбаума--Олмстеда. Там много шокирующей истины.

[Someone]

Более того, существуют функции, бесконечно дифференцируемые всюду, но не разлагающиеся в степенной ряд ни на каком интервале. Такую функцию можно сконструировать, используя функцию из предыдущего сообщения.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #470747 писал(а):

...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже.

Это я знаю, но речь-то идет о "равенстве нулю ряда Тейлора", надо полагать, тождественное для любой точки

[ДДмитрий]

Kallikanzarid в сообщении #470770 писал(а):

caxap в сообщении #470747 писал(а):

...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже.

Это я знаю, но речь-то идет о "равенстве нулю ряда Тейлора", надо полагать, тождественное для любой точки

Функция ненулевая (в смысле тождественного равенства), а ее ряд Маклорена (или Тейлора в некоторой точке) нулевой (в смысле тождественного равенства). Я писал про "ряд Тейлора", а Bы, наверное, -- про "рядЫ Тейлора" (для каждой точки $t_0$ свой ряд ).

[ShMaxG]

Вот буквально только что набрел на формулу произведения Эйлера:

$$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^s}}}} = \prod\limits_{p{\text{ }}prime} {\frac{1}{{1 - {p^{ - s}}}}} \]$$

Она очень легко доказывается, хотя не очевидна. У меня даже мурашки по коже пошли Бывает же... Уж до чего мне теория чисел не нравится со всеми ее делителями и простыми числами, но вот это меня поразило.
А еще только что узнал, что оказывается ряд из обратных простых чисел расходится.