Потому что категорию можно полностью описать в терминах морфизмов, или глубже? :)
Ну типа да. Просто вчера зачем-то (уже не помню зачем) обратился к Хелемскому "Лекции по функану". И опять встретил: "морфизмы важнее объектов". Потом вечером, перед сном стал размышлять над этим и... постепенно приходило понимание и осознание того факта. Я не стал писать в прошлом сообщении все мои вчерашние мысли, это очень долго и пространно и в двух словах не уложишь.
(Выдержки мыслей)
Когда мы решаем какую-то задачу, нас интересуют фигурирующие в ней объекты. Но мы всегда оговариваем, насколько мы к этим объектам будем присматриваться (то есть насколько объекты должны различаться, чтобы мы их считали различными). Основой для этого всего может служить категория из этих объектов. Так вот,
морфизмы этой категории как раз и определяют степень присматривания*. Морфизмы категории определяют разбиение его объектов на классы изоморфных, объекты которых мы (в данной задаче) не различаем. В категории важны не сами объекты, а эти классы "существенно различных" объектов.**
Но эти классы однозначно определяются своими морфизмами! То есть именно морфизмы определяют категорию, а объекты -- это так, бантики.
Пример. Пусть мы работаем в теории полей. Для нас разные модели поля вещественных чисел (напр. точки на прямой или беск. последовательности нулей и единиц) одинаковы. Как же нам абстрагироваться от этих мелких деталей. Мы хотим иметь какое-то "абстрактное поле вещественных чисел", а всё то -- просто его модели. Так вот, это абстрактное поле
однозначно определяется своими связями (тут: гомоморфизмы полей) с другими полями. То есть в некотором смысле, важней не то, что
можно понимать как точки на прямой или последовательности 0 и 1, а то, как это поле связано с другими полями.
Морфизмы объекта важнее самого объекта.Кстати, понятие категории можно вообще определить без объектов (в какой-то книжке я это видел). Так менее наглядно, но более фундаментально.
_____________
* Ну то бишь, если если что-то выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то это утка.
** Именно эти классы определяют истинное "содержание" категории. Все категории с таким содержанием (в том числе скелет категории: категории, получающейся, если мы оставим по одному объекту из каждого класса изоморфности) эквиваленты.(Что-то мне подсказывает...)
...что рано или поздно основания математики с теории множеств перекачуют на теорию категорий. Даже Манин в "Математике как метафора" писал, что, возможно, следует не теорию категорий строить на теории множеств*, а наоборот.
_____________
* Получается это, насколько я понимаю, плохо: при наивном изложении постоянно натыкаются на а-ля "парадокс Рассела". Приходится придумывать какие-то "малые категории" и т. п.