2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 60  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.07.2011, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Kallikanzarid в сообщении #467715 писал(а):
Давно дело было, но вроде если бы она существовала, то сама функция Дирихле была бы интегрируема по Риману, что не так.
Не существует, но по другой причине: если функция $f(x)$ дифференцируема на $[a,b]$, то $f'(x)$ принимает на $[a,b]$ все значения, промежуточные между $f'(a)$ и $f'(b)$. А функция Дирихле этим свойством не обладает.
Однако существует строго возрастающая на $\mathbb R$ дифференцируемая функция, производная которой равна $0$ на всюду плотном множестве. И эта производная, очевидно, не интегрируема по Риману.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.07.2011, 22:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Someone в сообщении #467769 писал(а):
Однако существует строго возрастающая на $\mathbb R$ дифференцируемая функция, производная которой равна $0$ на всюду плотном множестве.

Какая?... (так, чтоб её производная существовала именно буквально всюду, а не на каком-то там плотном?...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение12.07.2011, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Всюду, всюду, не сомневайтесь. Мне даже кажется, что я когда-то давно-давно здесь на форуме построение излагал. Но как теперь это найти - не представляю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение13.07.2011, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Someone в сообщении #467790 писал(а):
Всюду, всюду, не сомневайтесь.

То есть для $[a,b]$ на множестве меры $b-a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение13.07.2011, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Munin в сообщении #467844 писал(а):
То есть для $[a,b]$ на множестве меры $b-a$?
На всём $\mathbb R$ во всех точках. А то, что Вы говорите, называется "почти всюду".

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.07.2011, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

(Оффтоп)

Много где читал про это в лирических отступлениях в разных книжках, но душой не признавал. А сегодня дошло, что они имели в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.07.2011, 11:52 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
caxap в сообщении #469074 писал(а):
У меня очередное потрясение было сегодня: я кажись осознал, почему морфизмы важнее объектов (в смысле теории категорий).

Извольте поделиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение17.07.2011, 14:18 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Господа, давайте не углублять оффтопик.

Обсуждение категорий отделено сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 13:07 


07/08/08
39
Всегда ошалевал от сверхъестественной связи математики с реальным миром (или вдруг отсутствия таковой).

Вот два таких примера (первый на связь, а второй на отсутствие) из анализа

1) Теорема Римана о перестановке членов рядов и связь этой теоремы с экономикой нашего мира (деньги-кредиты-депозиты это переставленные члены ряда, меряющего общее счастье).

2) Существование неаналитических, но гладких функций. Я о ненулевой функции, имеющей нулевой ряд Тейлора. Что ж это могут быть за силы, которые заставляют функцию равную нулю при $t \leqslant t_0$ гладко оторваться от оси абсцисс!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 13:52 


02/04/11
956
ДДмитрий в сообщении #470724 писал(а):
Я о ненулевой функции, имеющей нулевой ряд Тейлора.

Такой не бывает хотя бы потому, что значение функции в точке входит в ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Kallikanzarid в сообщении #470732 писал(а):
Такой не бывает хотя бы потому, что значение функции в точке входит в ряд Тейлора.

...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже. Классический пример: $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2},\ x\neq 0,\\0,\ x=0.\end{cases}$$

-- 23 июл 2011, 16:24 --

Странно, что пока ещё никто не упомянул (или я не видел?) "Контрпримеры в анализе" Гелбаума--Олмстеда. Там много шокирующей истины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Более того, существуют функции, бесконечно дифференцируемые всюду, но не разлагающиеся в степенной ряд ни на каком интервале. Такую функцию можно сконструировать, используя функцию из предыдущего сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 19:01 


02/04/11
956
caxap в сообщении #470747 писал(а):
...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже.

Это я знаю, но речь-то идет о "равенстве нулю ряда Тейлора", надо полагать, тождественное для любой точки :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение23.07.2011, 22:25 


07/08/08
39
Kallikanzarid в сообщении #470770 писал(а):
caxap в сообщении #470747 писал(а):
...значение функции в точке, в окрестности которой мы функцию раскладываем. В этой точке функция может равняться нулю. И все последующие производные тоже.

Это я знаю, но речь-то идет о "равенстве нулю ряда Тейлора", надо полагать, тождественное для любой точки :P

Функция ненулевая (в смысле тождественного равенства), а ее ряд Маклорена (или Тейлора в некоторой точке) нулевой (в смысле тождественного равенства). Я писал про "ряд Тейлора", а Bы, наверное, -- про "рядЫ Тейлора" (для каждой точки $t_0$ свой ряд :P).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение25.07.2011, 05:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Вот буквально только что набрел на формулу произведения Эйлера:
$$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^s}}}}  = \prod\limits_{p{\text{ }}prime} {\frac{1}{{1 - {p^{ - s}}}}} \]$$

Она очень легко доказывается, хотя не очевидна. У меня даже мурашки по коже пошли :-) Бывает же... Уж до чего мне теория чисел не нравится со всеми ее делителями и простыми числами, но вот это меня поразило.
А еще только что узнал, что оказывается ряд из обратных простых чисел расходится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 889 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 60  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group