Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Никак не определяю. Мне не важны фактические величины самих таких чисел, а то, как они количественно расположены на различных участках от $1$ до $p_i\#$; можно ли, поделив этот интервал на $m$ частей, утверждать, что в каждом их них, расположено $\frac{\varphi (p_i\#)}{m}$ чисел, взаимнопростых примориалу? И если можно, то какова максимальная величина $m$? По крайней мере, похоже, что $m=2^{i-1}$ вполне может быть.

[vorvalm]

Меня немного коробит от применяемых вами определений. Я буду переводить ваши определения на нормальный язык теории чисел.
Праймориал- произведение простых чисел. Вы применяете его в качестве модуля приведенной системы вычетов (ПСВ). Под этим же определением вы понимаете и совокупность взаимно простых чисел с праймориалом, т.е. ПСВ. Говоря "праймориал" - надо понимать и все числа, взаимно простые с ним и не превосходящие его.
К чему такие сложности?
Надо все-таки уважать наших предков. Великий Эйлер ввел понятие приведенной системы вычетов и вывел формулы для вычисления числа элементов этой системы по простому и составному модулю.
Вы задаете странный вопрос, поделить весь интервал праймориала на m частей, а сами делите функцию Эйлера на m частей.Что касается величины m , то нет никаких сомнений, что $m=2p_i$ (это относится к делению праймориала).
Выражение "похоже" в теории чисел не применяется.
Совет. Скачайте из интернета учебник А.А.Бухштаба "Теория чисел", а лучше найдите монографию К.Прахара "Распределение простых чисел", и у вас все встанет на место.

[Батороев]

Чтобы не коробило, возьмите себя в руки и тщательно вдумайтесь в то, о чем Вам пишут, а уж затем пытайтесь переводить... и тем более поучать!

-- 12 июл 2011 10:04 --

Наверное, Вас смутило название темы, в котором подразумевается интервал, равный примориалу. Примерно так, как говорят: "в тысяче 500 нечетных чисел", при этом не имея в виду то, что у числа 1000 пятьсот нечетных делителей.

[vorvalm]

Батороев
Спасибо за совет. Больше не "коробит".
Меня смутило не название темы, а то, как эта тема раскрывается. По К.Прахару под распределением каких-либо чисел в заданном интервале в первую очередь понимают распределение их по разностям между соседними числами, определение мин. и мах. разностей между числами и как они раположены относительно границ интервала, все ли разности существуют в интервале между мин. и мах. и т.д. А вы даже не хотите определять эти числа. Тогда о чем речь? Простой пример.
Буду пристраиваться к вам. В праймориале 30 (т.е. в ПСВ по модулю 30) 8 чисел (вычетов). Из них близнецов - 3,разностей 4 тоже 3, и две разности 6. Число близнецов и разностей 4 определяет функция Эйлера второго порядка $\varphi_2(M)=\prod_3^p (p-2)$. А какая функция определяет число разностей 6?

[Батороев]

vorvalm

Почему бы Вам не открыть новую тему и не подсчитать "по-своему" там?
Если у Вас есть какие-то вопросы, кроме того существует раздел "Помогите решить\разобраться".
Я открывал данную тему в качестве площадки, на которой хотел бы провести дискуссию исключительно по предложенным мной схемам.

[vorvalm]

Батороев
Почему вы так нетерпимы к оппонентам? Нельзя же замыкаться в своей скорлупе. Ваша тема мне очень близка, но наши методы различны.Это не повод, чтобы отвергать их. Можно же найти консенсус. Название вашей темы многообещающее-распределение взаимно простых чисел в праймориалах, но пока никакого распределения не видно.

[Батороев]

Если я занимаюсь данным рассмотрением, почему я должен все бросить и заняться Вашим?
Кроме того, я привык к довольно компактным темам и не хотел бы, чтобы одно сообщение по существу рассматриваемого вопроса разделялось от другого десятью страницами сторонних рассуждений.

[vorvalm]

Батороев
Вы меня неправильно поняли. Мне ваша помощь не нужна.
Мне хотелось бы взаимопонимания. Ведь наши темы очень близки и отличаются только обозначением принятых определений, но суть то одна - распределение взаимно простых чисел в заданном интервале. Но ведь это не самоцель. Очевидно каждый из нас видит в распределении взаимно простых чисел что-то другое, связанное с проблемами простых чисел. Не так ли?

[Sonic86]

Можно я обозначу праймориал как $P_n:=p_1 \cdot ... \cdot p_n$
Я так понял, что можно определить плотность $\rho (x,P_n) = \rho _n (x)$ чисел, не превосходящих $x$ и взаимно простых с $P_n$. Ясно, что среднее значение $\rho (x,P_n)$ равно $x\varphi (P_n)$, причем $\rho (x,P_n) - x\varphi (P_n)$ - периодическая функция с периодом $P_n$ (и с антипериодом $\frac{P_n}{2}$). Периодические функции мы любим раскладывать в ряды Фурье. Может вычислить их для небольших $n$? Возможно, что следует взять частичную сумму ряда Фурье с погрешностью $\epsilon : |\epsilon| \leq \frac{1}{2}$ - очевидно, что для вычисления $\rho (x,P_n)$ этого хватило бы.

Ну самое простое: $\rho _2 (x)=\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \cos (\pi x)+ \epsilon _n (x)$

(Оффтоп)

это я для натуральных подсчитал. Может быть что-то криво нашел. Завтра точнее подсчитаю.

upd 14.06.2011 14:00 MSK: я наврал, а никто и не заметил :
$\rho _2 (x)=\frac{x}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{\pi k} \sin (\pi k x)$
Здесь для $\epsilon < \frac{1}{2}$ достаточно взять лишь 1-е слагаемое суммы. (естественно - исключая значения в точках разрыва ряда Фурье - это как раз все целые нечетные $x$).

[vorvalm]

Sonic86
Это очень интересное направление, но оно выходит за рамки элементарной теории чисел.

[Батороев]

Какая разница, выходит направление поиска за рамки элементарной теории чисел или относится просто к теории чисел, или относится к другим разделам математики?!
Главное, доказать, что на интервале от $p_i$ до $p_{i+1}^2$ в предложенном мной рассмотрении бесконечности пар простых-близнецов и интервале от $p_i$ до $p_i^2$ - в рассмотрении гипотезы Гольдбаха при указанной мной ранее средней плотности "взаимнопростых" чисел $b_s$ и $h_s$, не может находиться менее, чем одно (!!!) "взаимнопростое" число.
И тогда можно будет считать эти две проблемы решенными!

-- 14 июл 2011 16:44 --

Поправка: для гипотезы Гольдбаха - не менее, чем два "взаимнопростых" числа, т.к. возможная пара $1+(N-1)=N$ не считается.

[Sonic86]

Я уже разложил все
$\rho (x,P_n) = \sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \left[ \frac{x+r}{P_n} \right]$
$[y]=y- \{ y\}$
$\{ y\} = \frac{y}{2} - \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{\pi k} \sin (2 \pi k y)$
Подставляем и получаем:
$\rho (x,P_n) = \frac{\varphi (P_n)}{P_n}x + \sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{\pi k} \sin (2 \pi k \frac{x+r}{P_n})$.
Теперь его надо как-то свернуть (или даже так оставить) и подумать, что с ним дальше делать...

-- Чт июл 14, 2011 16:18:08 --

Во всяком случае имеем как минимум одну интересную задачку: найти $\sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \sin (2 \pi \frac{k}{P_n} (x+r))$.

З.Ы. $a \perp b \Leftrightarrow \text{НОД}(a,b)=1$ по определению.

[vorvalm]

Батороев
Мое замечание никакого отношения к вам не имеет и адвокат здесь не нужен.

Sonic86
Это напоминает тригонометрические суммы И.М.Виноградова.

-- Чт июл 14, 2011 14:44:53 --

[whitefox]

vorvalm в сообщении #468280 писал(а):

Это напоминает тригонометрические суммы И.М.Виноградова.

Ну не зря же Виноградов использовал тригонометрические суммы для решения проблемы Гольдбаха.

[vorvalm]

whitefox
Да, но этим методом была доказана проблема Гольдбаха только для нечетных чисел.