2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 21  След.
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение11.07.2011, 10:00 


23/01/07
3476
Новосибирск
Никак не определяю. Мне не важны фактические величины самих таких чисел, а то, как они количественно расположены на различных участках от $1$ до $p_i\#$; можно ли, поделив этот интервал на $m$ частей, утверждать, что в каждом их них, расположено $\frac{\varphi (p_i\#)}{m}$ чисел, взаимнопростых примориалу? И если можно, то какова максимальная величина $m$? По крайней мере, похоже, что $m=2^{i-1}$ вполне может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение11.07.2011, 13:51 


31/12/10
1555
Меня немного коробит от применяемых вами определений. Я буду переводить ваши определения на нормальный язык теории чисел.
Праймориал- произведение простых чисел. Вы применяете его в качестве модуля приведенной системы вычетов (ПСВ). Под этим же определением вы понимаете и совокупность взаимно простых чисел с праймориалом, т.е. ПСВ. Говоря "праймориал" - надо понимать и все числа, взаимно простые с ним и не превосходящие его.
К чему такие сложности?
Надо все-таки уважать наших предков. Великий Эйлер ввел понятие приведенной системы вычетов и вывел формулы для вычисления числа элементов этой системы по простому и составному модулю.
Вы задаете странный вопрос, поделить весь интервал праймориала на m частей, а сами делите функцию Эйлера на m частей.Что касается величины m , то нет никаких сомнений, что $m=2p_i$ (это относится к делению праймориала).
Выражение "похоже" в теории чисел не применяется.
Совет. Скачайте из интернета учебник А.А.Бухштаба "Теория чисел", а лучше найдите монографию К.Прахара "Распределение простых чисел", и у вас все встанет на место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение12.07.2011, 05:23 


23/01/07
3476
Новосибирск
Чтобы не коробило, возьмите себя в руки и тщательно вдумайтесь в то, о чем Вам пишут, а уж затем пытайтесь переводить... и тем более поучать!

-- 12 июл 2011 10:04 --

Наверное, Вас смутило название темы, в котором подразумевается интервал, равный примориалу. Примерно так, как говорят: "в тысяче 500 нечетных чисел", при этом не имея в виду то, что у числа 1000 пятьсот нечетных делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение12.07.2011, 08:42 


31/12/10
1555
Батороев
Спасибо за совет. Больше не "коробит".
Меня смутило не название темы, а то, как эта тема раскрывается. По К.Прахару под распределением каких-либо чисел в заданном интервале в первую очередь понимают распределение их по разностям между соседними числами, определение мин. и мах. разностей между числами и как они раположены относительно границ интервала, все ли разности существуют в интервале между мин. и мах. и т.д. А вы даже не хотите определять эти числа. Тогда о чем речь? Простой пример.
Буду пристраиваться к вам. В праймориале 30 (т.е. в ПСВ по модулю 30) 8 чисел (вычетов). Из них близнецов - 3,разностей 4 тоже 3, и две разности 6. Число близнецов и разностей 4 определяет функция Эйлера второго порядка $\varphi_2(M)=\prod_3^p (p-2)$. А какая функция определяет число разностей 6?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение12.07.2011, 09:22 


23/01/07
3476
Новосибирск
vorvalm

Почему бы Вам не открыть новую тему и не подсчитать "по-своему" там?
Если у Вас есть какие-то вопросы, кроме того существует раздел "Помогите решить\разобраться".
Я открывал данную тему в качестве площадки, на которой хотел бы провести дискуссию исключительно по предложенным мной схемам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение12.07.2011, 09:59 


31/12/10
1555
Батороев
Почему вы так нетерпимы к оппонентам? Нельзя же замыкаться в своей скорлупе. Ваша тема мне очень близка, но наши методы различны.Это не повод, чтобы отвергать их. Можно же найти консенсус. Название вашей темы многообещающее-распределение взаимно простых чисел в праймориалах, но пока никакого распределения не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение12.07.2011, 19:42 


23/01/07
3476
Новосибирск
Если я занимаюсь данным рассмотрением, почему я должен все бросить и заняться Вашим?
Кроме того, я привык к довольно компактным темам и не хотел бы, чтобы одно сообщение по существу рассматриваемого вопроса разделялось от другого десятью страницами сторонних рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение13.07.2011, 09:16 


31/12/10
1555
Батороев
Вы меня неправильно поняли. Мне ваша помощь не нужна.
Мне хотелось бы взаимопонимания. Ведь наши темы очень близки и отличаются только обозначением принятых определений, но суть то одна - распределение взаимно простых чисел в заданном интервале. Но ведь это не самоцель. Очевидно каждый из нас видит в распределении взаимно простых чисел что-то другое, связанное с проблемами простых чисел. Не так ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимно простых чисел в примориалах.
Сообщение13.07.2011, 21:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
Можно я обозначу праймориал как $P_n:=p_1 \cdot ... \cdot p_n$
Я так понял, что можно определить плотность $\rho (x,P_n) = \rho _n (x)$ чисел, не превосходящих $x$ и взаимно простых с $P_n$. Ясно, что среднее значение $\rho (x,P_n)$ равно $x\varphi (P_n)$, причем $\rho (x,P_n) - x\varphi (P_n)$ - периодическая функция с периодом $P_n$ (и с антипериодом $\frac{P_n}{2}$). Периодические функции мы любим раскладывать в ряды Фурье. Может вычислить их для небольших $n$? Возможно, что следует взять частичную сумму ряда Фурье с погрешностью $\epsilon : |\epsilon| \leq \frac{1}{2}$ - очевидно, что для вычисления $\rho (x,P_n)$ этого хватило бы.

Ну самое простое: $\rho _2 (x)=\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \cos (\pi x)+ \epsilon _n (x)$ :-)

(Оффтоп)

это я для натуральных подсчитал. Может быть что-то криво нашел. Завтра точнее подсчитаю.

upd 14.06.2011 14:00 MSK: я наврал, а никто и не заметил :P :
$\rho _2 (x)=\frac{x}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{\pi k} \sin (\pi k x)$
Здесь для $\epsilon < \frac{1}{2}$ достаточно взять лишь 1-е слагаемое суммы. (естественно - исключая значения в точках разрыва ряда Фурье - это как раз все целые нечетные $x$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 09:25 


31/12/10
1555
Sonic86
Это очень интересное направление, но оно выходит за рамки элементарной теории чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 12:36 


23/01/07
3476
Новосибирск
Какая разница, выходит направление поиска за рамки элементарной теории чисел или относится просто к теории чисел, или относится к другим разделам математики?!
Главное, доказать, что на интервале от $p_i$ до $p_{i+1}^2$ в предложенном мной рассмотрении бесконечности пар простых-близнецов и интервале от $p_i$ до $p_i^2$ - в рассмотрении гипотезы Гольдбаха при указанной мной ранее средней плотности "взаимнопростых" чисел $b_s$ и $h_s$, не может находиться менее, чем одно (!!!) "взаимнопростое" число.
И тогда можно будет считать эти две проблемы решенными!

-- 14 июл 2011 16:44 --

Поправка: для гипотезы Гольдбаха - не менее, чем два "взаимнопростых" числа, т.к. возможная пара $1+(N-1)=N$ не считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 13:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8558
Я уже разложил все :roll:
$\rho (x,P_n) = \sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \left[ \frac{x+r}{P_n} \right]$
$[y]=y- \{ y\}$
$\{ y\} = \frac{y}{2} - \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{\pi k} \sin (2 \pi k y)$
Подставляем и получаем:
$\rho (x,P_n) = \frac{\varphi (P_n)}{P_n}x + \sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{\pi k} \sin (2 \pi k \frac{x+r}{P_n})$.
Теперь его надо как-то свернуть (или даже так оставить) и подумать, что с ним дальше делать...

-- Чт июл 14, 2011 16:18:08 --

Во всяком случае имеем как минимум одну интересную задачку: найти $\sum\limits_{1 \leq r < P_n, r \perp P_n} \sin (2 \pi \frac{k}{P_n} (x+r))$.

З.Ы. $a \perp b \Leftrightarrow \text{НОД}(a,b)=1$ по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 14:43 


31/12/10
1555
Батороев
Мое замечание никакого отношения к вам не имеет и адвокат здесь не нужен.

Sonic86
Это напоминает тригонометрические суммы И.М.Виноградова.

-- Чт июл 14, 2011 14:44:53 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
vorvalm в сообщении #468280 писал(а):
Это напоминает тригонометрические суммы И.М.Виноградова.
Ну не зря же Виноградов использовал тригонометрические суммы для решения проблемы Гольдбаха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение14.07.2011, 16:48 


31/12/10
1555
whitefox
Да, но этим методом была доказана проблема Гольдбаха только для нечетных чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 302 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 21  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group