2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 10:17 


31/12/10
1555
Батороев
Я высказал свое мнение, а соглашаться с ним или нет ваше право.Но мультипликативность вашей функции надо все-таки доказать.
Разъясните,правильно ли я понимаю ваши определения.Число 18 - "простое", т.к.17 и 19 простые.
К какому праймориалу они относятся. Из ваших определений получается $p_i\leqslant \sqrt{18}$,т.е. 3.
Или я чего-то не понял?

-- Сб июл 02, 2011 10:18:54 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 11:46 


23/01/07
3415
Новосибирск
Я работаю только "по крупному". "Мелочами" типа "мульти-" не занимаюсь. :))
А если серьезно, то сегодня у меня метка на мониторе встала "колом". Думал "мышка сдохла", купил новую. Не помогло. Вот и маюсь кнопочками. На днях куплю новый ноутбук и подумаю над док-вом.
Насчет Вашего второго вопроса, то Вы все поняли правильно. Примориал в данном случае будет равен $p_i\#=2\cdot 3=6$. Поэтому для $n=18$ вовсе не требуется считать $b_s$. Достаточно того, что $\phi (18)=3\phi (6)=3(2-1)(3-2)=3$. Соответственно, имеем три числа $6;12;18$ "взаимнопростых" $3\#$. Т.к. $18<p_{i+1}^2=25$, то эти числа "простые", т.е. для них $n^2-1=(n-1)(n+1) $ является произведением простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 12:25 


31/12/10
1555
Батороев
В теории чисел нет "мелочей". Здесь каждая единица на учете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение06.07.2011, 10:44 


23/01/07
3415
Новосибирск
Вновь вернемся к рис. 1 и рассмотрим, что произойдет, если "включить" "решето" по гипотезе Гольдбаха.
Для удобства опишу его вновь:
Если четное число $N=2m$ имеет остатки по основанию простых чисел $N\equiv a_j\pmod p_j$, то из чисел, непревосходящих число $N$, вычеркиваем числа, имеющие остатки $0, a_j$ по основанию всех простых чисел, непревосходящих $\sqrt N$. При этом, если число $N$ кратно какому-либо простому числу из указанного ряда, то вычеркивается только нулевой остаток. Оставшиеся невычеркнутыми числа будут являться простыми и в паре с другим простым, симметричным относительно $m$, будут давать в в сумме само число $N$ (потому, что вычеркивались также симметричные числа, т.к. $N-a\equiv 0\pmod {p_i}$;$N-0\equiv a_i\pmod {p_i}$).
Таким образом, можно сделать промежуточный вывод о том, что меньшее количество пар простых, в сумме дающих четное число, может быть у четных чисел, являющихся степенями двойки, а также у четных чисел вида $2^kP$ (где $P$ - простое число, превышающее $\sqrt N$, $k$ - натуральное). Поэтому для простоты исследования рассмотрим только эти числа.

В соответствии с "работой решета" произойдут изменения и на рис. 1, связанные с тем, что наряду с нулевыми остатками в желтый цвет необходимо будет закрасить еще по одному остатку для каждого простого числа. Следовательно, уменьшится количество светло-коричневых клеток, а соответственно, и розовых.

Введем для данного рассмотрения новые определения:

Число $n$ назовем "взаимнопростым" по отношению к примориалу $p_j\#$, если число $n$ имеет только остатки, отличные от $0, a_j$ по основанию всех простых, от которых данный примориал получен.
Число $n$ назовем "простым" по отношению к примориалу $p_i\#$, полученному от произведения всех простых, непревосходящих $\sqrt N$, если число $n$ имеет только остатки, отличные от $0, a_i$ по основанию всех указанных простых чисел.
Количество чисел $n$, не больших натурального числа $s$ и "взаимнопростых" с ним, назовем "функцией Эйлера" $\phi (s)$.

Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_i\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Тогда среднее количество чисел $n$, "взаимнопростых" с примориалом $p_i\#$ и расположенных на интервалах длиной $p_i$, равно:

$h_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$.

После сокращения чисел в числителе и знаменателе, получим выражение, как произведение дробей: $ h_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$, каждая из которых за исключением первой больше единицы. Т.к. число простых чисел бесконечно, то бесконечно и число таких дробей. Следовательно, $h_s$ стремится к бесконечности.

На интервалах длиной $p_i$ на участке от $p_i$ до $p_{i}^2$ все числа, "взаимнопростые" с примориалом $p_i\#$, являются "простыми". Количество таких интервалов с ростом простого $p_i$, а соответственно, и с ростом числа $N$, увеличивается и также стремится к бесконечности.

Таким образом, показано, что при бесконечном росте четных чисел бесконечно растет и количество пар простых, в сумме дающих эти четные числа.

В некоторый момент это количество становится больше 1. :wink:

p.s. При данном рассмотрении не учитываются пары, в которых могут участвовать простые, непревышающие $\sqrt N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.07.2011, 08:10 


31/12/10
1555
Батороев
Давайте вернемся к истокам. Вы не определили, какие числа считать принадлежащими праймориалу. Дайте четкое определение этим числам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.07.2011, 10:07 


23/01/07
3415
Новосибирск
Как определен примориал, так я его и использовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.07.2011, 11:55 


31/12/10
1555
Праймориал- произведение простых чисел. А что дальше?
Вы же используете в рамках праймориала какие-то другие числа, кроме тех , которые составляют праймориал.
Что это за числа? Как их определить? Вот в чем вопрс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.07.2011, 12:11 


23/01/07
3415
Новосибирск
vorvalm в сообщении #466036 писал(а):
Праймориал- произведение простых чисел. А что дальше?
Вы же используете в рамках праймориала какие-то другие числа, кроме тех , которые составляют праймориал.
Что это за числа? Как их определить? Вот в чем вопрс.

И я использую примориал, как произведение простых чисел.
Допустим $p_i\#=11\#=2310$. Рассчитываем количество чисел до $2310$, взаимнопростых всем простым до $11$. Затем определяем сколько в среднем приходится таких чисел на каждый интервал, равный $11$. Далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.07.2011, 12:52 


31/12/10
1555
Но это же приведенная система вычетов по модулю 2310.
Зачем изобретать велосипед?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.07.2011, 15:32 


23/01/07
3415
Новосибирск
Я книг по математике не читаю (это нарушает принцип моего увлечения математикой (хобби) - дойти до чего-нибудь своим умом, т.е. "изобрести велосипед"). Какие понятия почерпнул из обсуждений на форуме, те и применяю. Теперь буду применять и понятие "приведенная система вычетов". Мерси! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.07.2011, 19:45 


31/12/10
1555
Батороев
А праймориал тоже придумали сами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение09.07.2011, 08:31 


23/01/07
3415
Новосибирск
vorvalm в сообщении #466582 писал(а):
Батороев
А праймориал тоже придумали сами?

Батороев в сообщении #466459 писал(а):
Какие понятия почерпнул из обсуждений на форуме, те и применяю.

В чем суть Ваших вопросов?! Мне уже начинает напоминать сказку про белого бычка. :?
В дальнейшем буду отвечать только на вопросы, касающиеся непосредственно выкладок данной темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение09.07.2011, 10:25 


31/12/10
1555
Батороев
Извините.Это у меня такие шутки (идиотские). Хотя, если вспомнить Янковского-Мюнхаузена, то он говорил:"улыбайтесь, господа, улыбайтесь"...и т.д.
А если серьезно, то меня заинтриговала постановка вопроса в названии темы. Что входит по вашему в понятие распределение взаимно простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение10.07.2011, 11:09 


23/01/07
3415
Новосибирск
Кое-что о распределении взаимнопростых чисел в пределах примориала (от 1 до примориала) я попытался отразить в своем пилотном сообщении данной темы.
Помимо этого, также хотелось бы найти ответы и на другие вопросы, в частности, на какое максимальное количество интервалов можно разбить числа от 1 до примориала, чтобы в каждом из этих интервалов было равное количество взаимнопростых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение10.07.2011, 11:43 


31/12/10
1555
Батороев
Как вы определяете взаимно простые числа (по теории чисел - вычеты ПСВ) с праймориалом? Ведь если праймориал достатачно большой, то это представляет определенные трудности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 302 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group