Формула для производной.

[Dan B-Yallay]

Dan B-Yallay писал(а):

откуда берутся минусы.
И сделать соответствующий вывод.

В прошлом Вашем сообщении я даже побоялся копаться без поллитры.

[Gortaur]

Посмотрите, чем будут различаться производные $e^{x^2}$ и $e^{-x^2}$. Посчитайте 2-3 штуки.

[maxmatem]

Хорошо р-м первую ф-ию $f(x)=e^{x^{2}}$
то $f'(x)=2xe^{x^{2}}$
$f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}$
.....................

Теперь р-м $e^{-x^{2}}$
$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}$
$f''(x)=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}$

И какой вывод?

[Dan B-Yallay]

Вопрос: появятся ли в первом случае когда-либo отрицательные коэффициенты? Почему?

(Оффтоп)

Ну Вы блин даёте...

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Конечно не появляются, ведь в степени экспоненты нет минуса.

Цитата:

Ну Вы блин даёте...

устал наверное, вот и очевидное от глаз прыгает.

[Dan B-Yallay]

Ну так и берите полиномы Эрмита , переправляйте все минусы на плюсы, умножайте на $e^{x^2}$ и получите искомые производные.

-- Вт май 24, 2011 14:54:37 --

Ну не буквально все конечно, а те что $(-1)^k$

[maxmatem]

$$ H_k(x) = (-1)^k \mathrm{e}^{x^2}\frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2}. $$

А почему я все минусы имею права поменять(у экспонент.)? что обе части я умножу на $e^{x^{2}}$ оно понятно, но почему поменяю....

[Dan B-Yallay]

maxmatem: $\dfrac {d^k}{dx^k}e^{x^2}=?$

Цитата:

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^k \mathrm{e}^{-x^2}H_k(x). $$

$$\begin{align*} H_n(x) &= n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} && \qquad n=2k (\text{чет}) \\ H_n(x) & = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} && \qquad n=2k+1 (\text{нечет}) \end{align*}$$

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{\textcolor{blue}{+}x^2} = (\textcolor{blue}{+}1)^k \mathrm{e}^{\textcolor{blue}{+}x^2}H^{\textcolor{blue}{+}}_k(x). \quad \text{минусам взяться неоткуда!!}$$

$$\begin{align*} H^{\textcolor{blue}{+}}_n(x) &= n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(\textcolor{blue}{+}1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} && \qquad n=2k (\text{чет}) \\ H^{\textcolor{blue}{+}}_n(x) & = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(\textcolor{blue}{+}1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} && \qquad n=2k+1 (\text{нечет}) \end{align*}$$

(Оффтоп)

Кажется, Вам надо отдохнуть.

-- Вт май 24, 2011 15:21:37 --

Вот то что Вы сами же выводили:
$e^{-x^{2}}:$

$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}=(-1)^1 H_1e^{-x^{2}}$
$f''(x)=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}=(4x-2)e^{-x^2}=(-1)^2H_2e^{-x^{2}}$

$e^{x^2}:$
$f'(x)=2xe^{x^{2}}=H^+_1e^{x^{2}}$
$f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}=(4x+2)e^{x^2}=H^+_2e^{x^{2}}$
.....................

[maxmatem]

$\[ \frac{{d^k e^{x^2 } }} {{dx^k }} = e^{x^2 } k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{(2x)^{k - 2m} }} {{m!(k - 2m)!}}} \]$

Ура.
Dan B-Yallay

Мне очень стыдно, про эти минусы, ведь надо было просто здравый смысл включить. Спасибо.
Зато теперь какая милая формула.

-- Ср май 25, 2011 01:28:53 --

кстати умножать на $e^{x^{2}}$ то надо?

[Dan B-Yallay]

Не забудьте, что $\left\lfloor k/2 \right\rfloor $ - это округление вниз

Цитата:

Умножать надо?

А что у Вас перед $\ k!\ $ стоит?

[maxmatem]

да. Ну так как на счёт домножения....

[Dan B-Yallay]

См. выше.

[maxmatem]

да уже умножать не надо.(за это в двойне стыдно )
Огромное вам спасибо.
Теперь формула выведена, хотел вас спросить, а почему я нигде её в интернете не нашёл?она что такая бесполезная?

[Dan B-Yallay]

Наверное полезная, просто обычно затруднений с её выводом не возникает.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Я правильно понял что под $H^{+}$, вы понимаете полиномы Эрмита, где все знаки плюс?