Именно это определение дает возможность «пощупать пальчиками» непрерывность,
Нет. Конкретный предел (когда мы пытаемся идти туды, а приходим, вот как интересно, сюды) -- это именно то, что можно пощупать пальчиками, во вполне конкретных приложениях. Топологическая же непрерывность -- это уже абстракция более высокого уровня. И, значит, должна идти позже.
В том-то и дело, что при минимальных знаниях можно пощупать топологическую непрерывность – «абстракцию более высокого уровня». Так же и со свойствами открытых множеств; рассказать об этих свойствах, не влезая в дебри топологии.
-- Ср май 11, 2011 13:18:14 --Сформулировать, конечно, можно, но боюсь, что это будет по выражению Зощенко маловысокохудожественно.
Так может, тогда, и не будем искусственно вводить перекосы в сложившуюся систему курса?
«Во-первых строках письма», я не против предела. Но я за введение сначала непрерывности, и только после этого предела. Причину весьма удачно назвал
ewert: рассмотреть непрерывность на топологическом уровне. Во-вторых, мне весьма мила Ваша идея «сформулировать без понятия предела (можно с использованием непрерывности):
- понятия горизонтальной, наклонной и вертикальной асимптоты;
- понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины
-го порядка;
- понятие производной от функции в точке;
- понятие интеграла Римана».
Это прекрасные темы для студенческих курсовых работ. Что же касается курса, то несомненно надо быть гибким, и введя и непрерывность и затем предел, использовать и то, и другое для дальнейшего разговора. Так же с моей точки зрения, подробного разговора заслуживает предел последовательности, учитывая его последующую карьеру (по крайней мере ординалы).
