2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 20:11 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Kallikanzarid в сообщении #444420 писал(а):
Просто взять одноточечную компактификацию числовой прямой религия не позволяет?

А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:
$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$
1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$
$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$
Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #444409 писал(а):
Кстати, а в проективной прямой же тоже одна бесконечность.

Я тормоз. Joker_vD, тоже извиняюсь.

Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

Joker_vD в сообщении #444412 писал(а):
Чтобы унифицировать четыре разных определения предела (в точке и в трех бесконечностях) в одно.

Шестнадцать разных определений: по четыре для аргумента и по четыре для значения. Плюс ещё для последовательностей. Такая прорва никому не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 22:08 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Munin
Я ведь даже не то пытаюсь доказать, что компактификация числовой прямой вообще ненужна. Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов. Даже в тех учебниках матанализа, где прямо вводят $\overline{\mathbb R}$, ее нигде больше не используют, кроме как для введения "несобственных" пределов. Отсюда у меня напрашивается вывод, что она там и не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 00:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #444458 писал(а):
Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

А я тоже тормоз, несколько страниц пропустил, перечитывать же лень.

Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Joker_vD в сообщении #444498 писал(а):
Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов.

Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

Или давайте говорить о более конкретных методических, педагогических и дидактических преимуществах и недостатках. Вот я один назвал: хорошо бы вместо двадцати разных (однообразных и скучных) определений дать одно. Ну два. Но не двадцать: это сколько же надо к экзамену каждому экзаменатору учить! :-)

-- 11.05.2011 02:12:31 --

ewert в сообщении #444538 писал(а):
Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

Конечно, и вообще без бесконечности - тоже. Вопрос в том, что они нафиг не нужны (до курса общей топологии), а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны. Причём последнее - вообще очень редко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 01:23 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Munin в сообщении #444541 писал(а):
Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

У-у-у-у, какой вы бяка :-) Я не такой уж и умный и подкованный в этих вопросах, так что пас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 04:28 


02/04/11
956
Joker_vD в сообщении #444447 писал(а):
А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:
$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$
1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$
$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$
Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 11:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #444541 писал(а):
а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны.

Это как раз не одна, а две бесконечности. А одна бесконечность нужна в ТФКП, и очень нужна.

Однако и в начальном курсе эти окрестности тоже очень полезны -- чтобы осознать, в чём смысл понятия предела вообще. Но, разумеется, только после того, как все частные случаи уже пощупаны пальчиками. И, естественно, без никакой топологической аксиоматики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 13:25 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Kallikanzarid в сообщении #444556 писал(а):
Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя

Продемонстрируйте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:03 


02/04/11
956
Joker_vD в сообщении #444649 писал(а):
Продемонстрируйте?

Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа. Так зачем делать сложно, когда можно легко?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #444612 писал(а):
Это как раз не одна, а две бесконечности.

Какие именно две?

Kallikanzarid в сообщении #444662 писал(а):
Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа.

Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:52 


02/04/11
956
Munin в сообщении #444687 писал(а):
Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

Никто не запрещает рассматривать функции, определенные на $\mathbb{R}$, т.к. $\mathbb{R}$ - подпространство своей одноточечной компактификации :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #444687 писал(а):
Какие именно две?

Munin в сообщении #444541 писал(а):
нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны

"С заданной стороны" -- это ровно и означает, что мы рассматриваем именно две бесконечности: одну плюс, другую минус. (понятие одностороннего предела не задаётся только топологией.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:03 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Kallikanzarid
И это вот прыганье между двумя пространствами проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4580
Чтобы имело смысл понятия предела отображения $f\colon X\to Y$, на множестве $Y$ должна быть задана структура топологического пространства, а на множестве $X$ -- одна из (в общем-то эквивалентных) структур: база, фильтр, направление.

Случай, когда $X$ - топологическое пространство, и рассматривается предел $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ (предел функции в точке) -- частный случай. База -- база (проколотых) окрестностей точки $x_0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group