2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 18:33 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #444695 писал(а):
"С заданной стороны" -- это ровно и означает, что мы рассматриваем именно две бесконечности

Вы мне открыли глаза! Оказывается, мы рассматриваем вдвое больше чисел, чем я думал до этого! Вместо числа 2 мы рассматриваем числа 2-0 и 2+0, и т. п.! Фтопку Кантора и Дедекинда! Осталось только с арифметикой дело прояснить... Обязательно постараюсь сегодня же в магазине купить 1+0 литра молока за 50-0 рублей.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 18:44 
Munin в сообщении #444766 писал(а):
Вы мне открыли глаза!

Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 18:46 
Joker_vD в сообщении #444697 писал(а):
И это вот прыганье между двумя пространствами проще?

Да, проще. Прыганья, заметьте, никакого нет, мы только рассматриваем $\mathbb{R}$ как подмножество своей одноточечной компактификации. Преимущество такого подхода - все нужные пределы вводятся естественно, без произвола. Недостатки вы мне скажите :)

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 18:56 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #444777 писал(а):
Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

А что, это повлияет на то, сколько у нас точек: одна или две?

Kallikanzarid в сообщении #444779 писал(а):
Недостатки вы мне скажите :)

Ну вот некоторые функции там себя непонятно как ведут. $e^x$ при $x=\infty,$ например, чему равна?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 19:00 
ewert в сообщении #444777 писал(а):
Откройте ещё шире: что такое односторонний предел с сугубо топологической точки зрения?...

1) Пределом в точке $x \in \mathbb{R}$ называем предел по фильтру $\uparrow\!x \setminus \{x\}$.
2) Пределом в точке $x$ слева называем предел по фильтру $\uparrow\!x \cap \{y \in \mathbb{R}: y < x\}$.
3) Пределом в точке $x$ справа называем предел по фильтру $\uparrow\!x \cap \{y \in \mathbb{R}: y > x\}$.

-- Ср май 11, 2011 23:13:17 --

В случае с бесконечностью порядок для нее не определен, поэтому нужно либо вводить-таки $+\infty$ и $-\infty$, либо принимать за предел слева и предел справа предел по фильтру, определенному в некоторой карте в окрестности бесконечности.

-- Ср май 11, 2011 23:15:19 --

Munin в сообщении #444786 писал(а):
Ну вот некоторые функции там себя непонятно как ведут. $e^x$ при $x=\infty,$ например, чему равна?

А зачем ее в этой точке определять?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 19:58 
Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):
А зачем ее в этой точке определять?

А хотя бы для того, чтобы она была всюду непрерывна.

Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):
В случае с бесконечностью порядок для нее не определен, поэтому нужно либо вводить-таки $+\infty$ и $-\infty$, либо принимать за предел слева и предел справа предел по фильтру, определенному в некоторой карте в окрестности бесконечности.

Короче, вам придется все равно руками ввести окрестности, так же, как и мне. Вот только я не произвожу компактификацию, а потому сил и времени трачу меньше с теми же результатами.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 20:31 
Аватара пользователя
Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):
фильтру $\uparrow\!x \setminus \{x\}$
Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 20:41 
Виктор Викторов в сообщении #444838 писал(а):
Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

http://en.wikipedia.org/wiki/Filter_%28topology%29
Здесь я имел ввиду минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$. Далее я немного погрешил с нотацией, имея ввиду теоретико-множественную разность каждого множества из фильтра с $\{x\}$ :oops:

Joker_vD
У меня намного меньший произвол, чем у вас :) Можно и не пользоваться порядком, кстати, у нас проколотые окрестности в любом случае имеют две связных компоненты, поэтому фильтр естественным образом разделяется на два, которые нам нужно просто последовательным образом обозначить.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 20:55 
Аватара пользователя
Kallikanzarid в сообщении #444844 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #444838 писал(а):
Что oзначает эта стрелочка вверх? Я не знаком с этим обозначением. О каком фильтре речь? Фильтре проколотых окрестностей?

http://en.wikipedia.org/wiki/Filter_%28topology%29
Здесь я имел ввиду минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$. Далее я немного погрешил с нотацией, имея ввиду теоретико-множественную разность каждого множества из фильтра с $\{x\}$ :oops:

«Минимальный фильтр, состоящий из открытых множеств, содержащий $x$» называется фильтром окрестностей точки $x{.}$ Весьма рекомендую по этому поводу первый том бурбаковской общей топологии. Так же посмотрите здесь topic22459.html

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 21:28 
Аватара пользователя
Kallikanzarid в сообщении #444790 писал(а):
А зачем ее в этой точке определять?

Затем, что мы пока ещё не ввели понятие и классификацию точек разрыва. Мы можем сделать это только уже после пределов.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 21:40 
Munin
Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством? Мы вполне можем работать с функциями, определенными на $\mathbb{R}$, считая $\mathbb{R}$ подмножеством своей одноточечной компактификации $\overline{\mathbb{R}}$.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 21:48 
Kallikanzarid
Вообще-то я во время всего нашего разговора считал, что $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty;+\infty\}$. Компактификация Александрова $\mathbb R$ для меня — это $\dot{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{\infty\}$.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 22:02 
Joker_vD
Не суть важно, как обозначать :)

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 23:35 
Аватара пользователя
Kallikanzarid в сообщении #444872 писал(а):
Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством?

Потому что точки разрыва вводятся в понятийную систему ученика после пределов.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение12.05.2011, 00:28 
Munin в сообщении #444916 писал(а):
Kallikanzarid в сообщении #444872 писал(а):
Я имею ввиду, почему область определения функции обязательно должна совпадать со всем пространством?

Потому что точки разрыва вводятся в понятийную систему ученика после пределов.

Я не вижу никакой связи.

 
 
 [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group