2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 20:11 
Kallikanzarid в сообщении #444420 писал(а):
Просто взять одноточечную компактификацию числовой прямой религия не позволяет?

А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:
$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$
1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$
$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$
Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 20:39 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #444409 писал(а):
Кстати, а в проективной прямой же тоже одна бесконечность.

Я тормоз. Joker_vD, тоже извиняюсь.

Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

Joker_vD в сообщении #444412 писал(а):
Чтобы унифицировать четыре разных определения предела (в точке и в трех бесконечностях) в одно.

Шестнадцать разных определений: по четыре для аргумента и по четыре для значения. Плюс ещё для последовательностей. Такая прорва никому не нужна.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение10.05.2011, 22:08 
Munin
Я ведь даже не то пытаюсь доказать, что компактификация числовой прямой вообще ненужна. Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов. Даже в тех учебниках матанализа, где прямо вводят $\overline{\mathbb R}$, ее нигде больше не используют, кроме как для введения "несобственных" пределов. Отсюда у меня напрашивается вывод, что она там и не нужна.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 00:57 
Munin в сообщении #444458 писал(а):
Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

А я тоже тормоз, несколько страниц пропустил, перечитывать же лень.

Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 01:08 
Аватара пользователя
Joker_vD в сообщении #444498 писал(а):
Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов.

Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

Или давайте говорить о более конкретных методических, педагогических и дидактических преимуществах и недостатках. Вот я один назвал: хорошо бы вместо двадцати разных (однообразных и скучных) определений дать одно. Ну два. Но не двадцать: это сколько же надо к экзамену каждому экзаменатору учить! :-)

-- 11.05.2011 02:12:31 --

ewert в сообщении #444538 писал(а):
Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

Конечно, и вообще без бесконечности - тоже. Вопрос в том, что они нафиг не нужны (до курса общей топологии), а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны. Причём последнее - вообще очень редко.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 01:23 
Munin в сообщении #444541 писал(а):
Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

У-у-у-у, какой вы бяка :-) Я не такой уж и умный и подкованный в этих вопросах, так что пас.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 04:28 
Joker_vD в сообщении #444447 писал(а):
А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:
$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$
1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$
$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$
Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя :wink:

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 11:54 
Munin в сообщении #444541 писал(а):
а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны.

Это как раз не одна, а две бесконечности. А одна бесконечность нужна в ТФКП, и очень нужна.

Однако и в начальном курсе эти окрестности тоже очень полезны -- чтобы осознать, в чём смысл понятия предела вообще. Но, разумеется, только после того, как все частные случаи уже пощупаны пальчиками. И, естественно, без никакой топологической аксиоматики.

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 13:25 
Kallikanzarid в сообщении #444556 писал(а):
Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя

Продемонстрируйте?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:03 
Joker_vD в сообщении #444649 писал(а):
Продемонстрируйте?

Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа. Так зачем делать сложно, когда можно легко?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:47 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #444612 писал(а):
Это как раз не одна, а две бесконечности.

Какие именно две?

Kallikanzarid в сообщении #444662 писал(а):
Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа.

Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 14:52 
Munin в сообщении #444687 писал(а):
Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

Никто не запрещает рассматривать функции, определенные на $\mathbb{R}$, т.к. $\mathbb{R}$ - подпространство своей одноточечной компактификации :)

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:00 
Munin в сообщении #444687 писал(а):
Какие именно две?

Munin в сообщении #444541 писал(а):
нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны

"С заданной стороны" -- это ровно и означает, что мы рассматриваем именно две бесконечности: одну плюс, другую минус. (понятие одностороннего предела не задаётся только топологией.)

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:03 
Kallikanzarid
И это вот прыганье между двумя пространствами проще?

 
 
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение11.05.2011, 15:17 
Чтобы имело смысл понятия предела отображения $f\colon X\to Y$, на множестве $Y$ должна быть задана структура топологического пространства, а на множестве $X$ -- одна из (в общем-то эквивалентных) структур: база, фильтр, направление.

Случай, когда $X$ - топологическое пространство, и рассматривается предел $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ (предел функции в точке) -- частный случай. База -- база (проколотых) окрестностей точки $x_0$.

 
 
 [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group