Непрерывность и предел

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):

Общую топологию пора изучать в школе

В какой конкретно школе-то?...

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #443791 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):

Общую топологию пора изучать в школе

В какой конкретно школе-то?...

Я говорю только о математической стороне бытия. Всем остальными сторонами бытия я занимался, когда был молодым.

[ewert]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #443792 писал(а):

Я говорю только о математической стороне бытия.

Так ведь и математичность тоже разная бывает. Если говорить о махровых школах, которые готовят махровых математиков -- то возможно. Но вообще-то в Союзе даже физматшколы готовили не только к сугубо математической деятельности, и даже не столько к ней (недаром же они так и назывались). Они прививали общематематическую культуру. А дальше уж каждый ученик мог спокойно выбирать то направление, которое ему лично интересно.

Так вот: ребёнку, которому эта культура нужна, и который всё-таки не собирается становиться чистым математиком -- все эти абстрактные экзерсисы противопоказаны абсолютно.

Ну сегодня, конечно, не Союз; сегодня, когда обучение стараниями тов. Фурсенко всё более вырождается в некую игру в бисер, оторванную от каких бы то ни было приложений -- сегодня, возможно, Вы и правы.

[Munin]

ewert в сообщении #443796 писал(а):

сегодня, когда обучение стараниями тов. Фурсенко всё более вырождается в некую игру в бисер, оторванную от каких бы то ни было приложений -- сегодня, возможно, Вы и правы.

В смысле, давайте убьём образование ещё больше?

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):

Общую топологию пора изучать в школе под названием «Свойства открытых множеств».

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):

Мне кажется, что нужно добиваться углублённого изучения непрерывности функции.

НА ХРЕ НА???

Зачем изучать непрерывность, если ученики ещё не знают, что такое мощность континуума, даже что такое вообще множество? Они и функций-то толком не видели, едва познакомились с модулем и синусом. На каких примерах вы будете эту непрерывность им показывать?

-- 09.05.2011 15:10:30 --

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):

Устраняя разрыв, мы создаем новую функцию непрерывную в этой самой точке. Так чего же стыдиться? Так давайте и говорить.

Ученику надо научиться переходить от $\dfrac{1-x^2}{1-x}$ к $1+x,$ он ещё этого не умеет, а вы его будете грузить тем, что он при этом "создаёт новую функцию"? Так он никогда задачи решать не научится.

[bigarcus]

Виктор Викторов, "грубый" переход от предела последовательности к пределу функции я понял, "официальный" - нет. (Не получается все слова удержать в голове, когда нет картинки. Именно поэтому пытаюсь сформулировать определение для себя сам, пусть и кривое.)

-- Пн май 09, 2011 15:04:42 --

Уважаемые! а предел по фильтру - это и есть самое общее понятие предела (верное и для последовательностей, и для функций, и для того чего не знаю ещё чего)?

В предисловии к учебнику Кудрявцева написано: "...понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функции одного действительного переменного, далее вводится понятие предела по множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных сумм и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия предела по фильтру в топологическом пространстве."

То есть, общее понятие предела все-таки есть?

-- Пн май 09, 2011 15:10:44 --

gris, до определения предела последовательности я дошел не сам просто переформулировал в своих словах то из встреченных мной определений, которое у меня в голове уложилось, то есть у меня возникла его "картинка", которую я уже не забыл.

Ваша переформулировка мне понравилась, спасибо. Я вот Вас разочаровал, с панамкой.

-- Пн май 09, 2011 15:14:12 --

Цитата:

В терминах ТС

А что такое ТС? Теория... систем?

-- Пн май 09, 2011 15:15:51 --

Цитата:

Чтобы понять, можно что-нибудь приближенно вычислить, например число - основание натурального логарифма.
После этого можно придумать определение...

Ales, можно, пожалуйста, поподробнее?

-- Пн май 09, 2011 15:23:15 --

Oleg Zubelevich, то есть, лекции Вербицкого лучше не читать?

Кстати, давно хотел спросить: есть какое-либо преимущество у использования лекций (в смысле кем-то другим записанными) перед учебником?

-- Пн май 09, 2011 15:33:20 --

Цитата:

Должно быть особое определение для той или иной бесконечности.

А какая существенная разница в их определениях и какие вообще определения бесконечностей есть? У меня только интуитивное.

И вот еще: почему иногда будто подразумевают что есть три(!) бесконечности, например, из Кудрявцева:
"Под бесконечно удаленной точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$".

О, только заметил: и Joker_vD

Цитата:

...отдельно на плюс бесконечности, отдельно на минус, и отдельно на просто бесконечности?

-- Пн май 09, 2011 15:47:44 --

Цитата:

У топикстартера вы своими рассуждениями, наверное, окончательно убили энтузиазм к науке.

Неа! Когда увидел, что уже семь страниц исписано - наоборот даже - проникся доверием к возможности помощи форума. Спасибо всем участникам!

Кстати, завтра пойду на лекцию филдсовского Смирнова в Москве. Популярно конечно, но дух, думаю, поднимет. Кто ещё?

[bigarcus]

Цитата:

В курсе матанализа пределы - не самоцель. Это инструмент. Для анализа функций.

То есть, математический анализ - это анализ функций? И пределы нужны только для изучения функций?

Действительно, может кто-нибудь попытаться объяснить, откуда вообще необходимость вводить понятие предела? К этому пришли, изучая площади и разбивая на маленькие части (как Архимед)?

-- Пн май 09, 2011 16:08:07 --

"Предел по базе" и "предел по фильтру" - это одно и то же? Объяснений, думаю, лучше не надо; просто: да или нет?

-- Пн май 09, 2011 16:10:10 --

Цитата:

Общую топологию пора изучать в школе под названием «Свойства открытых множеств».

Есть такой курс написанный? Я бы прочитал.

-- Пн май 09, 2011 16:11:21 --

Цитата:

Мне кажется, что нужно добиваться углублённого изучения непрерывности функции.

Почему? Зачем? Почему понятие непрерывности такое сложное?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Цитата:

Почему понятие непрерывности такое сложное?

Хороший вопрос. Уже седьмую страницу мэтры меряются топологиями, пределами и фильтрами.

[Munin]

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):

А что такое ТС? Теория... систем?

"Топикстартер".

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):

А какая существенная разница в их определениях и какие вообще определения бесконечностей есть? У меня только интуитивное.

Вообще определений бесконечности очень много. Конечные числа во всей математике одинаковые, по крайней мере, всем удобно иметь дело с одной и той же конструкцией $\mathbb{N},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{C}.$ А вот бесконечности в разных разделах математики разные, для разных нужд. Есть бесконечности в проективной геометрии, в действительном анализе, в комплексном анализе, в теории множеств - целых две башни бесконечностей, плюс ещё некоторые связанные понятия. Вы их будете изучать по мере изучения этих разделов математики.

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):

И вот еще: почему иногда будто подразумевают что есть три(!) бесконечности, например, из Кудрявцева:"Под бесконечно удаленной точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$".

На самом деле их не есть. На самом деле их нет. Самый большой прогресс в изучении бесконечностей в математике произошёл, когда люди додумались перейти от идеи об актуальной бесконечности к идее о потенциальной бесконечности. Актуальная бесконечность - это какой-то существующий объект, не менее настоящий, чем число пять. А потенциальная бесконечность - это как рельсы, уходящие вдаль: мы видим, как они сходятся на горизонте, но не считаем это существующим объектом, существуют только сами рельсы. Актуальная бесконечность сложная и неудобная, чтобы о ней рассуждать, и античные математики к ней были не готовы, поэтому постоянно натыкались на проблемы и противоречия. А в потенциальной бесконечности рассуждать надо только о конечных объектах. Поэтому с ними быстро разобрались, в 18-19 вв. И тогда накопили достаточно сил и знаний, чтобы снова работать с актуальной бесконечностью, уже имея надёжный тыл для отступления при проблемах и для обхода противоречий. Это уже в основном 20 век.

Поэтому не существует трёх бесконечностей. Существуют три типа поведения конечных чисел (в последовательности, или в функции): когда они просто убегают на бесконечность, когда они это делают, оставаясь положительными, и когда они это делают, оставаясь отрицательными. Эти три типа и обозначают этими тремя символами. Существуют, конечно, и другие типы поведения, но они менее интересны.

Для вас сейчас вполне достаточно такого "потенциального" понимания бесконечностей. А "мэтры" рассуждают про "актуальное", которое на вашем этапе избыточно сложно.

-- 09.05.2011 17:42:31 --

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):

То есть, математический анализ - это анализ функций? И пределы нужны только для изучения функций?

Математический анализ - шире анализа функций, хотя в центре посвящён именно ему. (Ну, и понятие анализа функций иногда вылезает за рамки матанализа.)

Пределы изначально были предназначены для изучения функций, но оказались более широким и мощным инструментом. Впрочем, пока вы изучаете матанализ, вам беспокоиться об этом рано.

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):

Почему понятие непрерывности такое сложное?

Исторически сначала математики могли себе представить только достаточно "хорошие" объекты, и понятия были простые. Потом, освоившись с "хорошими", математики стали придумывать "плохие" объекты, и пытаться расширить на них прежние понятия. Это получалось с разной степенью успешности, и в конце концов, наплодив целый зоопарк "совсем диких" объектов и контрпримеров, математики пришли к тем сложным формулировкам простых понятий, которыми в конечном счёте могут надёжно пользоваться.

Но изучать всё это надо тоже от простого к сложному. Если вы не потратите достаточно времени на изучение простых "хороших" объектов, вы так и не поймёте, чем "хорошие" объекты так уж хороши, и чем "плохие" так уж плохи. Так что вам сейчас вообще не надо обращать внимание на слова "предел по базе" и "предел по фильтру".

[Kallikanzarid]

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):

То есть, математический анализ - это анализ функций?

Математический анализ вырос из аналитической механики, он возник, когда с помощью предела были положены на строгую основу понятия, ранее обсуждавшиеся в терминах бесконечно малых величин.

Классический анализ изучал последовательности (и ряды) и функции и их свойства.

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):

Почему понятие непрерывности такое сложное?

Оно не сложное, но его наиболее общее определение непрерывности требует введения понятия топологического пространства. Топологические пространства же - тема крайне нетривиальная.

[zhoraster]

Ушедшая в сторону дискуссия отделена.

[bigarcus]

Munin, про актуальные и потенциальные бесконечности - очень интересно!

-- Пн май 09, 2011 19:38:15 --

Цитата:

Так что вам сейчас вообще не надо обращать внимание на слова "предел по базе" и "предел по фильтру".

Согласен конечно. Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет?

-- Пн май 09, 2011 19:46:22 --

Цитата:

Существуют три типа поведения конечных чисел (в последовательности, или в функции): когда они просто убегают на бесконечность, когда они это делают, оставаясь положительными, и когда они это делают, оставаясь отрицательными.

А как можно "просто" убегать на бесконечность?
Число может быть или положительным, или отрицательным, а как оно может "просто" быть числом?

-- Пн май 09, 2011 19:51:32 --

Цитата:

с помощью предела были положены на строгую основу понятия, ранее обсуждавшиеся в терминах бесконечно малых величин

А теперь что - разве ушли от термина "бесконечные малые величины" и заменили его как-то с помощью термина "предел"? оО Новость для меня. Можно, пожалуйста, поподробнее?

[gris]

bigarcus писал(а):

Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет?

Вот Зорич очень тактично и аккуратно этого вопроса касается. Посмотрите в учебнике. Вообще весь матанализ от пределов до рядов Фурье нужен всем — и на мехмате и в сугубо техническом ВУЗе. Но стоит ли инженеру забивать себе голову высокими рассуждениями о том, что есть неопределённый интеграл. Ему надо научиться его реш считать и использовать.
Вот и в Вашей теме. То Вы обнаруживаете математическую невинность, то собираетесь к Вербицкому на лекции.
То ли Вы не понимаете конкретных, "технических" вещей, то ли основания математики задумали поворошить.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #443214 писал(а):

но раз Вам охота подупачиться,

Только сейчас заметил, и не могу не оффтопнуться. Поскольку забавно. Это у Вас просто обычная очепятка -- или так и впрямь было задумано?...

[bigarcus]

Цитата:

Вот Зорич очень тактично и аккуратно этого вопроса касается.

Простите, какой именно вопрос Вы подразумеваете?

[gris]

bigarcus писал(а):

Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет?

Пардон, пока сочинял сообщение, Вы много добавили. Не люблю цитировать и по умолчанию считаю, что отвечаю на предыдущее сообщение. Но бывают непонятки.