Непрерывность и предел

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #443625 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443620 писал(а):

Про шляпу промолчу. Эту «бестелесную» бесконечность рассматривайте сами. А по существующим определениям окрестность имеет место быть у точек и множеств.

В принципе, никто не мешает определить предел в бесконечности с помощью сети или фильтра, точка для этого не нужна.

Конечно. Но речь-то шла о том, что точки "бесконечность" нет, а её окрестность есть.

-- Вс май 08, 2011 11:10:16 --

Joker_vD в сообщении #443628 писал(а):

Хорошо, беру назад свои слова про "окрестность бесконечности". Даже если мы не можем такие окрестности ввести (хотя почему? Любую вещь можно назвать окрестностью, надо лишь договориться об этом)

Уже договорились. В современной математике существуют понятия окрестность точки и множества. Если Вы хотите ввести новое понятие это прекрасно, но термин «окрестность» уже занят.

-- Вс май 08, 2011 11:17:08 --

Joker_vD! Что касается Ваших определений, то мне не совсем понятно чем Вас не устраивают уже существующие определения предела функции.

[gris]

Вот в упор не пойму, о чём спор. Расширенная числовая прямая получается после добавления двух "бесконечно удалённых точек" с определением эпсилон-окрестности для каждой. Определяется и окрестность бесконечности без знака. Псё! Больше ничего не говорится, никаких особых топологических свойств не рассматривается. Формально определение предела последовательности в терминах окрестностей совершенно эквивалентно определению в терминах эпсилон-эн. Ну хотя бы взять достаточно известный курс Кудрявцева. И всем понятно и хорошо. Определили вот так в курсе и никаких противоречий. Уже сильно дальше начали про компактификацию говорить.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #443629 писал(а):

Joker_vD! Что касается Ваших определений, то мне не совсем понятно чем Вас не устраивают уже существующие определения предела функции.

Так эти определения и не мои, я их перепечатал из Ильин, Позняк "Основы математического анализа", глава 4 "Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность", параграф 2 "Понятие предельного значения функции", пункт 1 "Определение предельного значения функции".

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #443635 писал(а):

Вот в упор не пойму, о чём спор.

Вот о чём:

Виктор Викторов в сообщении #443261 писал(а):

gris в сообщении #443254 писал(а):

И я отвечу по теме про окрестность бесконечности на действительной прямой. Интервал ${(-\infty;a)$ будет окрестностью минус бесконечности, интервал $(a;\infty)$ — плюс бесконечности.

Либо туда, либо сюда. А мешать всё в одну кучу не надо. Либо у нас числовая прямая и нет точек $-\infty$ и $+\infty{.}$ И соответственно нет и их окрестностей. И вполне работает Ваше

gris в сообщении #443254 писал(а):

Определение: $\lim \{a_n\}=+\infty \Leftrightarrow \forall A \,\,\exists N: \forall n>N \,a_n>A$

Либо у нас расширенная числовая прямая. И, пожалуйста, не говорите, что это одно и тоже. Расширенная числовая прямая компактное пространство, а числовая прямая – нет.

[gris]

Вот даже и Зорич вводит понятие окрестности бесконечности(тей) и не морочится тем, что понятие "окрестности" уже кто-то застолбил. Он даже говорит: "разумно принять следующие соглашения". Разумно, удобно. Если подходить конкретно к нашему разговору и чисто формально, то я вообще не употреблял слов "числовая прямая" или "расширенная числовая прямая". Вам это привиделось. И не пойму, почему это одно из определений предела не рабтает. Оба работают.
У некоторых появится любимый учебник или любимый профессор и всё, уж никак не могите отступить.

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #443637 писал(а):

Так эти определения и не мои, я их перепечатал из Ильин, Позняк "Основы математического анализа

Хорошо. Я изменю вопрос: Чем Вас не устраивают определения, данные в других известных учебниках? Каждый учебник мат. анализа вводит понятие бесконечного предела. Но для этого совсем необязательно вводить точку «бесконечность». Что касается, приведенных Вами определений Ильина и Позняка, то возникают ряд вопросов. Например, почему бесконечный предел функции рассматривается только при $x \to \infty$? А как быть с гиперболой в точке $0$?

-- Вс май 08, 2011 11:46:46 --

gris в сообщении #443641 писал(а):

Вот даже и Зорич вводит понятие окрестности бесконечности(тей) и не морочится тем, что понятие "окрестности" уже кто-то застолбил. Он даже говорит: "разумно принять следующие соглашения". Разумно, удобно.

Если можно ссылочку.

gris в сообщении #443641 писал(а):

Если подходить конкретно к нашему разговору и чисто формально, то я вообще не употреблял слов "числовая прямая" или "расширенная числовая прямая".

Вот в этом-то и проблема. В каком пространстве разговариваем. По умолчанию имелась в виду "числовая прямая" .

[Munin]

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Поэтому давайте изменим вопрос так: Какое топологическое пространство мы рассматриваем?

А что нам мешает рассматривать два пространства? Скажем, числовую прямую и расширенную числовую прямую?

Не забывайте, на этом этапе изучения понятий точек разрыва и договорённостей о доопределении функции по пределу ещё не давалось.

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Что касается макроуровня, то я совсем даже «за», но только с добавлением слов: для того, чтобы разговаривать на макроуровне давайте рассмотрим такое топологическое пространство и дальше описание пространства и причины почему мы хотим его рассмотреть.

Давайте рассмотрим, только между собой, студентов-то зачем этим грузить? Рано ещё.

[Виктор Викторов]

Munin в сообщении #443716 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Поэтому давайте изменим вопрос так: Какое топологическое пространство мы рассматриваем?

А что нам мешает рассматривать два пространства? Скажем, числовую прямую и расширенную числовую прямую?

Правильно. Единство взглядов. Только так и говорим: Рассматриваем два пространства. В первом так-то и так-то, во-втором слегка иначе. Вот в этом сходство, а вот в этом различие.

Munin в сообщении #443716 писал(а):

Не забывайте, на этом этапе изучения понятий точек разрыва и договорённостей о доопределении функции по пределу ещё не давалось.

Точки разрыва, я бы назвал точками недоразумения. Разговор-то может быть только один. Если функция в некоторой точке не непрерывна, то можно ли доопределить (или переопределить) нашу функцию так, чтобы она стала непрерывной в этой точке.

Munin в сообщении #443716 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Что касается макроуровня, то я совсем даже «за», но только с добавлением слов: для того, чтобы разговаривать на макроуровне давайте рассмотрим такое топологическое пространство и дальше описание пространства и причины почему мы хотим его рассмотреть.

Давайте рассмотрим, только между собой, студентов-то зачем этим грузить? Рано ещё.

По этому поводу существуют различные мнения.

[caxap]

(Оффтоп)

У топикстартера вы своими рассуждениями, наверное, окончательно убили энтузиазм к науке.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #443729 писал(а):

У топикстартера вы своими рассуждениями, наверное, окончательно убили энтузиазм к науке.

Читать можно выборочно. Да ещё и вопросы задавать.

[gris]

Ссылочку на Зорича? Пожалуйста: "Математический анализ" Гл. III "Предел", §2 "Предел функции", п.3-b "Предел по базе"; (Часть 1, стр. 127)

Вы же вот определяете "точки недоразумения" . Кстати, разве не важно поведение функций в окрестности точек разрыва и сама их классификация? И вот вопрос: считать ли функцию, имеющую в конечной точке правый и левый предел $+\infty$ непрерывной по доопределению значением $+\infty$? И разве плохо выделить тип точек разрыва, в которых предел не существует?

[Munin]

Виктор Викторов в сообщении #443723 писал(а):

Правильно. Единство взглядов. Только так и говорим: Рассматриваем два пространства. В первом так-то и так-то, во-втором слегка иначе. Вот в этом сходство, а вот в этом различие.

И чего вы этим добились? Только удовлетворения своего педантизма? Студентам-то только труднее. До общей топологии многие не доживут ещё.

В курсе матанализа пределы - не самоцель. Это инструмент. Для анализа функций. Поэтому их надо давать так, чтобы можно было использовать, а не чтобы посвятить все свои силы углублённому изучению инструмента.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #443744 писал(а):

Ссылочку на Зорича? Пожалуйста: "Математический анализ" Гл. III "Предел", §2 "Предел функции", п.3-b "Предел по базе"; (Часть 1, стр. 127)

Спасибо. Посмотрю. Но по названию "Предел по базе" просматривается предел по фильтру. Это очень интересная тема и я, весьма, уважаю Зорича за это. Он, мне кажется, первый, кто ввел предел по фильтру (простите по базе!) в учебники по мат. анализу.

gris в сообщении #443744 писал(а):

Кстати, разве не важно поведение функций в окрестности точек разрыва и сама их классификация?

Замечательный вопрос! Есть три варианта. Вариант 1. Можно доопределить (или переопределить) функцию так, что она станет непрерывной (если быть точным, то существует другая функция, совпадающая с первой во всех точках, кроме обсуждаемой точки, а в обсуждаемой точке эта новая функции получает значение, при котором она непрерывна). Это так называемый «устранимый» разрыв. Как известно, любую вещь можно назвать трамваем, но в данном случае вопрос-то ребром (точнее непрерывностью). Устраняя разрыв, мы создаем новую функцию непрерывную в этой самой точке. Так чего же стыдиться? Так давайте и говорить. Вариант 2 и 3 – разговор в условиях, когда такую непрерывную в обсуждаемой точке функцию создать нельзя. Вообще говоря, всё остальное зависит от наших дальнейших интересов. Вариант 2. Функция не определена в той самой точке. Обзовем её (точку) $x_0{.}$ Разговор распадается на поведение функции в окрестностях $(a,x_0)$ и $(x_0,b){.}$ Хотите это изучать? Так ведь никто не мешает. Только причём здесь точка $x_0{?}$ Функция в ней не определена. Какое мы к ней (точке) имеем отношение? Вариант 3. Функция определена в $x_0{,}$ но переопределить её так, чтобы новая функция стала непрерывной невозможно. Опять можно заняться любыми исследованиями (по желанию исследователя) включая все то, что делали в варианте 2. В обоих вариантах 2 и 3 самое интересное, конечно, если функция непрерывна на некотором открытом интервале $(a,x_0)$ или $(x_0,b){,}$ но опять тот же вопрос, а при чём здесь сама точка $x_0{?}$

gris в сообщении #443744 писал(а):

И вот вопрос: считать ли функцию, имеющую в конечной точке правый и левый предел $+\infty$ непрерывной по доопределению значением $+\infty$?

Ответ тот же. В множестве действительных чисел такое невозможно. Хотите это множество расширить? Так и скажите. Новая история: имеем расширенную числовую прямую. Разбираем всё отдельно и по новой. Договариваемся какую вводим топологию. Разбираем в каких точках в этой новой топологии наша функция непрерывна и т. д.

gris в сообщении #443744 писал(а):

И разве плохо выделить тип точек разрыва, в которых предел не существует?

Мне кажется лучше спросить в каких точках функция непрерывна, а в каких нет. Важна-то непрерывность, а не предел.

-- Вс май 08, 2011 18:13:21 --

Munin в сообщении #443754 писал(а):

До общей топологии многие не доживут ещё.

Общую топологию пора изучать в школе под названием «Свойства открытых множеств».

Munin в сообщении #443754 писал(а):

И чего вы этим добились?

Мне кажется, что нужно добиваться углублённого изучения непрерывности функции.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Виктор Викторов
Как вы относитесь к частично определенным функциям?

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #443780 писал(а):

Виктор Викторов
Как вы относитесь к частично определенным функциям?

А что это за зверь? Функция определённая только на подмножестве числовой прямой? Я влез в поиск и нашёл, что под частично определённой функцией понимается функция определенная не везде (правда, почему-то только для булевых функций). Причислим к этим функциям гиперболу? И если "да", то что Вы имели в виду под "Как вы относитесь"?