2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 02:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):
Общую топологию пора изучать в школе

В какой конкретно школе-то?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351

(Оффтоп)

ewert в сообщении #443791 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):
Общую топологию пора изучать в школе

В какой конкретно школе-то?...
Я говорю только о математической стороне бытия. Всем остальными сторонами бытия я занимался, когда был молодым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 02:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #443792 писал(а):
Я говорю только о математической стороне бытия.

Так ведь и математичность тоже разная бывает. Если говорить о махровых школах, которые готовят махровых математиков -- то возможно. Но вообще-то в Союзе даже физматшколы готовили не только к сугубо математической деятельности, и даже не столько к ней (недаром же они так и назывались). Они прививали общематематическую культуру. А дальше уж каждый ученик мог спокойно выбирать то направление, которое ему лично интересно.

Так вот: ребёнку, которому эта культура нужна, и который всё-таки не собирается становиться чистым математиком -- все эти абстрактные экзерсисы противопоказаны абсолютно.

Ну сегодня, конечно, не Союз; сегодня, когда обучение стараниями тов. Фурсенко всё более вырождается в некую игру в бисер, оторванную от каких бы то ни было приложений -- сегодня, возможно, Вы и правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #443796 писал(а):
сегодня, когда обучение стараниями тов. Фурсенко всё более вырождается в некую игру в бисер, оторванную от каких бы то ни было приложений -- сегодня, возможно, Вы и правы.

В смысле, давайте убьём образование ещё больше?

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):
Общую топологию пора изучать в школе под названием «Свойства открытых множеств».

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):
Мне кажется, что нужно добиваться углублённого изучения непрерывности функции.

НА ХРЕ НА???

Зачем изучать непрерывность, если ученики ещё не знают, что такое мощность континуума, даже что такое вообще множество? Они и функций-то толком не видели, едва познакомились с модулем и синусом. На каких примерах вы будете эту непрерывность им показывать?

-- 09.05.2011 15:10:30 --

Виктор Викторов в сообщении #443779 писал(а):
Устраняя разрыв, мы создаем новую функцию непрерывную в этой самой точке. Так чего же стыдиться? Так давайте и говорить.

Ученику надо научиться переходить от $\dfrac{1-x^2}{1-x}$ к $1+x,$ он ещё этого не умеет, а вы его будете грузить тем, что он при этом "создаёт новую функцию"? Так он никогда задачи решать не научится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 15:00 


25/03/10
590
Виктор Викторов, "грубый" переход от предела последовательности к пределу функции я понял, "официальный" - нет. (Не получается все слова удержать в голове, когда нет картинки. Именно поэтому пытаюсь сформулировать определение для себя сам, пусть и кривое.)

-- Пн май 09, 2011 15:04:42 --

Уважаемые! а предел по фильтру - это и есть самое общее понятие предела (верное и для последовательностей, и для функций, и для того чего не знаю ещё чего)?

В предисловии к учебнику Кудрявцева написано: "...понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функции одного действительного переменного, далее вводится понятие предела по множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных сумм и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия предела по фильтру в топологическом пространстве."

То есть, общее понятие предела все-таки есть?

-- Пн май 09, 2011 15:10:44 --

gris, до определения предела последовательности я дошел не сам :oops: просто переформулировал в своих словах то из встреченных мной определений, которое у меня в голове уложилось, то есть у меня возникла его "картинка", которую я уже не забыл.

Ваша переформулировка мне понравилась, спасибо. Я вот Вас разочаровал, с панамкой.

-- Пн май 09, 2011 15:14:12 --

Цитата:
В терминах ТС
А что такое ТС? Теория... систем?

-- Пн май 09, 2011 15:15:51 --

Цитата:
Чтобы понять, можно что-нибудь приближенно вычислить, например число - основание натурального логарифма.
После этого можно придумать определение...

Ales, можно, пожалуйста, поподробнее?

-- Пн май 09, 2011 15:23:15 --

Oleg Zubelevich, то есть, лекции Вербицкого лучше не читать?

Кстати, давно хотел спросить: есть какое-либо преимущество у использования лекций (в смысле кем-то другим записанными) перед учебником?

-- Пн май 09, 2011 15:33:20 --

Цитата:
Должно быть особое определение для той или иной бесконечности.

А какая существенная разница в их определениях и какие вообще определения бесконечностей есть? У меня только интуитивное.

И вот еще: почему иногда будто подразумевают что есть три(!) бесконечности, например, из Кудрявцева:
"Под бесконечно удаленной точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$". :shock:

О, только заметил: и Joker_vD
Цитата:
...отдельно на плюс бесконечности, отдельно на минус, и отдельно на просто бесконечности?


-- Пн май 09, 2011 15:47:44 --

Цитата:
У топикстартера вы своими рассуждениями, наверное, окончательно убили энтузиазм к науке.


Неа! :D Когда увидел, что уже семь страниц исписано - наоборот даже - проникся доверием к возможности помощи форума. Спасибо всем участникам!

Кстати, завтра пойду на лекцию филдсовского Смирнова в Москве. Популярно конечно, но дух, думаю, поднимет. Кто ещё? 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 16:06 


25/03/10
590
Цитата:
В курсе матанализа пределы - не самоцель. Это инструмент. Для анализа функций.


То есть, математический анализ - это анализ функций? И пределы нужны только для изучения функций?

Действительно, может кто-нибудь попытаться объяснить, откуда вообще необходимость вводить понятие предела? К этому пришли, изучая площади и разбивая на маленькие части (как Архимед)?

-- Пн май 09, 2011 16:08:07 --

"Предел по базе" и "предел по фильтру" - это одно и то же? Объяснений, думаю, лучше не надо; просто: да или нет?

-- Пн май 09, 2011 16:10:10 --

Цитата:
Общую топологию пора изучать в школе под названием «Свойства открытых множеств».

Есть такой курс написанный? Я бы прочитал.

-- Пн май 09, 2011 16:11:21 --

Цитата:
Мне кажется, что нужно добиваться углублённого изучения непрерывности функции.

Почему? Зачем? Почему понятие непрерывности такое сложное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953

(Оффтоп)

Цитата:
Почему понятие непрерывности такое сложное?

Хороший вопрос. Уже седьмую страницу мэтры меряются топологиями, пределами и фильтрами. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bigarcus в сообщении #443957 писал(а):
А что такое ТС? Теория... систем?

"Топикстартер".

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):
А какая существенная разница в их определениях и какие вообще определения бесконечностей есть? У меня только интуитивное.

Вообще определений бесконечности очень много. Конечные числа во всей математике одинаковые, по крайней мере, всем удобно иметь дело с одной и той же конструкцией $\mathbb{N},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{C}.$ А вот бесконечности в разных разделах математики разные, для разных нужд. Есть бесконечности в проективной геометрии, в действительном анализе, в комплексном анализе, в теории множеств - целых две башни бесконечностей, плюс ещё некоторые связанные понятия. Вы их будете изучать по мере изучения этих разделов математики.

bigarcus в сообщении #443957 писал(а):
И вот еще: почему иногда будто подразумевают что есть три(!) бесконечности, например, из Кудрявцева:"Под бесконечно удаленной точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$".

На самом деле их не есть. На самом деле их нет. Самый большой прогресс в изучении бесконечностей в математике произошёл, когда люди додумались перейти от идеи об актуальной бесконечности к идее о потенциальной бесконечности. Актуальная бесконечность - это какой-то существующий объект, не менее настоящий, чем число пять. А потенциальная бесконечность - это как рельсы, уходящие вдаль: мы видим, как они сходятся на горизонте, но не считаем это существующим объектом, существуют только сами рельсы. Актуальная бесконечность сложная и неудобная, чтобы о ней рассуждать, и античные математики к ней были не готовы, поэтому постоянно натыкались на проблемы и противоречия. А в потенциальной бесконечности рассуждать надо только о конечных объектах. Поэтому с ними быстро разобрались, в 18-19 вв. И тогда накопили достаточно сил и знаний, чтобы снова работать с актуальной бесконечностью, уже имея надёжный тыл для отступления при проблемах и для обхода противоречий. Это уже в основном 20 век.

Поэтому не существует трёх бесконечностей. Существуют три типа поведения конечных чисел (в последовательности, или в функции): когда они просто убегают на бесконечность, когда они это делают, оставаясь положительными, и когда они это делают, оставаясь отрицательными. Эти три типа и обозначают этими тремя символами. Существуют, конечно, и другие типы поведения, но они менее интересны.

Для вас сейчас вполне достаточно такого "потенциального" понимания бесконечностей. А "мэтры" рассуждают про "актуальное", которое на вашем этапе избыточно сложно.

-- 09.05.2011 17:42:31 --

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):
То есть, математический анализ - это анализ функций? И пределы нужны только для изучения функций?

Математический анализ - шире анализа функций, хотя в центре посвящён именно ему. (Ну, и понятие анализа функций иногда вылезает за рамки матанализа.)

Пределы изначально были предназначены для изучения функций, но оказались более широким и мощным инструментом. Впрочем, пока вы изучаете матанализ, вам беспокоиться об этом рано.

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):
Почему понятие непрерывности такое сложное?

Исторически сначала математики могли себе представить только достаточно "хорошие" объекты, и понятия были простые. Потом, освоившись с "хорошими", математики стали придумывать "плохие" объекты, и пытаться расширить на них прежние понятия. Это получалось с разной степенью успешности, и в конце концов, наплодив целый зоопарк "совсем диких" объектов и контрпримеров, математики пришли к тем сложным формулировкам простых понятий, которыми в конечном счёте могут надёжно пользоваться.

Но изучать всё это надо тоже от простого к сложному. Если вы не потратите достаточно времени на изучение простых "хороших" объектов, вы так и не поймёте, чем "хорошие" объекты так уж хороши, и чем "плохие" так уж плохи. Так что вам сейчас вообще не надо обращать внимание на слова "предел по базе" и "предел по фильтру".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как понять что такое предел?
Сообщение09.05.2011, 16:56 


02/04/11
956
bigarcus в сообщении #443990 писал(а):
То есть, математический анализ - это анализ функций?

Математический анализ вырос из аналитической механики, он возник, когда с помощью предела были положены на строгую основу понятия, ранее обсуждавшиеся в терминах бесконечно малых величин.

Классический анализ изучал последовательности (и ряды) и функции и их свойства.

bigarcus в сообщении #443990 писал(а):
Почему понятие непрерывности такое сложное?

Оно не сложное, но его наиболее общее определение непрерывности требует введения понятия топологического пространства. Топологические пространства же - тема крайне нетривиальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 18:08 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Ушедшая в сторону дискуссия отделена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 19:34 


25/03/10
590
Munin, про актуальные и потенциальные бесконечности - очень интересно!

-- Пн май 09, 2011 19:38:15 --

Цитата:
Так что вам сейчас вообще не надо обращать внимание на слова "предел по базе" и "предел по фильтру".

Согласен конечно. Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет? :mrgreen:

-- Пн май 09, 2011 19:46:22 --

Цитата:
Существуют три типа поведения конечных чисел (в последовательности, или в функции): когда они просто убегают на бесконечность, когда они это делают, оставаясь положительными, и когда они это делают, оставаясь отрицательными.

А как можно "просто" убегать на бесконечность?
Число может быть или положительным, или отрицательным, а как оно может "просто" быть числом?

-- Пн май 09, 2011 19:51:32 --

Цитата:
с помощью предела были положены на строгую основу понятия, ранее обсуждавшиеся в терминах бесконечно малых величин

А теперь что - разве ушли от термина "бесконечные малые величины" и заменили его как-то с помощью термина "предел"? оО Новость для меня. :idea: Можно, пожалуйста, поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
bigarcus писал(а):
Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет?

Вот Зорич очень тактично и аккуратно этого вопроса касается. Посмотрите в учебнике. Вообще весь матанализ от пределов до рядов Фурье нужен всем — и на мехмате и в сугубо техническом ВУЗе. Но стоит ли инженеру забивать себе голову высокими рассуждениями о том, что есть неопределённый интеграл. Ему надо научиться его реш считать и использовать.
Вот и в Вашей теме. То Вы обнаруживаете математическую невинность, то собираетесь к Вербицкому на лекции.
То ли Вы не понимаете конкретных, "технических" вещей, то ли основания математики задумали поворошить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 20:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #443214 писал(а):
но раз Вам охота подупачиться,

Только сейчас заметил, и не могу не оффтопнуться. Поскольку забавно. Это у Вас просто обычная очепятка -- или так и впрямь было задумано?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 20:10 


25/03/10
590
Цитата:
Вот Зорич очень тактично и аккуратно этого вопроса касается.

Простите, какой именно вопрос Вы подразумеваете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про пределы
Сообщение09.05.2011, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
bigarcus писал(а):
Просто хотелось бы знать, все-таки часто встречаю, "предел по базе" и "предел по фильтру" - названия одного и того же или нет?

Пардон, пока сочинял сообщение, Вы много добавили. Не люблю цитировать и по умолчанию считаю, что отвечаю на предыдущее сообщение. Но бывают непонятки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group