golos писал(а):
В споре всегда прав каждый.
В философии или политике или еще какой-нибудь болтологии. Но не в математике. Привыкайте, что математическое утверждение или рассуждение не может быть более правильным или менее правильным, оно либо правильное, либо не правильное, либо не утверждение.
golos писал(а):
Обозначим позиции: я никак не математик, даже не дилетант. Прекрасно это понимаю, ни на что не претендую, великим уж никак себя не считаю, а считаю себя тем, что есть. Ничуть не больше.
Дело же имею с профессионалами. Которым со мной изъясняться весьма трудно. Как, кстати, и наоборот.
Кому это должно быть интересно? Вы пришли на математический форум. Любому сколько-нибудь грамотному в математическом отношении человеку станет ясен тип ваших "рассуждений" практически с первых постов... Сплошное "бла-бла-бла"...
golos писал(а):
Я нигде не утверждаю, что x,N,M такая же тройка, как в лемме.
Зачем тогда вообще "лемма"? Где она используется при доказательстве основного утверждения?
Или нигде, и мы можем спокойно о ней забыть?
golos писал(а):
Этого просто не требуется. Я утверждаю, что х в этой тройке тот же, что и в исходном кубическом уравнении. Потом говорю: пусть он,х, будет целым числом. Исходя из этого условия разберёмся с y и z.
В чём ошибка?
В том, что вам так и не удается "разобраться" с y,z.
golos писал(а):
dmitin писал(а):
"лемма" описывает не все целочисленные пифагоровы тройки, во-вторых,
Позвольте, сударь. Если лемма описывает не все целочисленные пифагоровы тройки, то это попросту не лемма, а "лемма". В этом случае полностью согласен с Вами о глупости разговора. Но я не понимаю, на каком основании Вы заявляете о не всех пифагоровых тройках?Лемма охватывает весь бесконечный натуральный ряд чисел.
То, что у вас переменная x (или y - в силу симметрии безразлично) в "лемме" пробегает все целые числа, еще не значит, что вы описали все пифагоровы тройки (x,y,z).
golos писал(а):
В чём претензии? Приведите пример, пожалуйста. Вполне возможно, я в самом деле ошибаюсь. Либо это просто недоразумение.
Известный факт заключается в том, что ВСЕ пифагоровы тройки описываются формулой:
((n^2-m^2)k)^2+(2nmk)^2=((n^2+m^2)k)^2 (*)
при n,m,k, пробегающих целые значения
(если вы этого не знали, поищите в литературе - похоже, вы не особо утруждали себя поисками и чтением математической литературы прежде, чем заявиться на математический форум).
А "ваша" "лемма" дает только такие пифагоровы тройки:
(n^2-1)^2+(2n)^2=(n^2+1)^2 (**)
(2n^2+2n)^2+(2n+1)^2=(2n^2+2n+1)^2 (***)
(соответственно четный (2n) и нечетный (2n+1) случаи из "леммы").
Они получаются из общей формулы (*) соответственно при k=1, m=1
и k=1, m=n+1.
Чтобы вам совсем стало ясно, что "лемма" дает только какие-то пифагоровы тройки, но не все, давайте возьмем какой-нибудь частный случай из общей формулы, не охваченный "леммой".
Для этого достаточно взять n и m, большие 1, так, чтобы они отличались больше, чем на 1. Ну, и, наверно, вам захочется, чтобы при этом x,y,z были взаимно-просты? Без проблем.
Берем k=1, n=2, m=5. Получаем пифагорову тройку:
21^2+20^2=29^2.
Легко проверяется, что "лемма" эту тройку дать не может. Действительно, если бы давала по (**), то это была бы тройка при n=10, т.к. 20=2*10, т.е. тройка 99^2+20^2=101^2;
если бы давала по (***), то это была бы тройка при n=10, т.к. 21=2*10+1, т.е. тройка 220^2+21^2=221^2.
golos писал(а):
Впрочем, вполне возможно, что Вы имеете в виду случай, когда в доказательстве параметры заменяются не единицей, а другими подходящими числами. Я этот случай просто не рассматириваю, ибо, на мой взгляд, он просто не нужен. Леммой охватываются все числа натурального числового ряда, и этого достаточно.
"На мой взгляд" - это, конечно, мощный аргумент.
golos писал(а):
dmitin писал(а):
golos писал(а):
Простите, но что я утверждаю? Вы хоть прочли? Я утверждаю, что если N не равно х, то произведение x*N^2 в случае целого х не может быть представлено как произведение трёх одинаковых ЦЕЛЫХ чисел.
Вот именно это НИГДЕ И НЕ ДОКАЗАНО!
N может быть иррациональным. Пример я уже приводил: y=2, x=3, N=sqrt(8/3). Тогда x*N^2=y^3, x,y-целые. Так что в общем случае это неверно. Почему такого типа ситуации у нас не может быть? Где доказательство?
Право, мне трудно понимать Вас. Пусть N будет хоть чёртом, стоящим на рогах, главное, что оно не равно х. Тогда возможны три случая:
1. число иррациональное. Тогла квадрат N вполне может быть целым числом, не равным x^2-такой случай рассмотрен. Не может квадрат N быть числом иррациональным:произведение трёх целых чисел не даёт в итоге иррационального значения. Вывод: квадрат N должен быть целым числом, не равным и не кратным х.
Почему целым должен N^2, пока из ваших рассуждений не вижу. Видно только, что рациональным.
golos писал(а):
То есть по х он просто не раскладывается. Но произведение квадрата N на х должно раскладываться на три целых сомножителя? Вы полагаете, что такое возможно? Простите, но если такое возможно, то докажите.
Вы ничего не путаете? С какой стати мне доказывать, что что-то возможно? Вы же утверждаете, что у вас есть доказательство от противного. Вот и доказывайте, что что-то невозможно. Пока что такого доказательства не видно.
Вы ничего не ответили по поводу моего примера:
y=2, x=3, N=sqrt(8/3). Тогда x*N^2=y^3, x,y-целые.
Для данных конкретнывх чисел можно проверить, что так не бывает. Но где доказательство, что такой ситуации не может возникнуть НИКОГДА?
golos писал(а):
Повторяю условия: N всегда не равно х. Оно может быть целым, но в ЭТОМ случае с х они взаимнопросты. Вывод: их произведение ни в каком случае не возможно представить как произведение трёх целых чисел.
В чём ошибка?
Так ничего ж не доказано. Вы действительно не понимаете, чем отличаются в математике доказанное и недоказанное утверждение?
Начинаете доказывать от противного, потом просто говорите в какой-то момент, что вот всё именно так, потому что если не так, то докажите мне, что не так может быть.
golos писал(а):
Да почему плохо то? Мы вообще говорим только о целых числах. По умолчанию. Ибо иррациональные ведут к иррациональности. Которая не интересует по определению. Ну не понимаю я: требуем целочисленности и упираемся в иррациональность. Зачем она здесь?
Затем, что N может быть иррационально. В этом случае вы пока к противоречию не пришли. Так что ничего от противного и не доказано.
golos писал(а):
Цитата:
p-простое. Может ли p^4+4^p быть простым?
Я такое спрашивал? Или это Вы спрашиваете?
Это была моя иллюстрация того, что a^2+b^2=(...)(...) является давно известным фактом. Настолько известным, что используется в математических олимпиадах школьников.
golos писал(а):
Предложенное выражение вполне может быть разложено на целочисленные сомножители. В каком случае они просты, судить не берусь.
То есть вы понимаете, за счет чего именно в данном случае они будут целочисленными? Потому что общем случае не целочисленные.
И при чем тут простота сомножителей??
golos писал(а):
Во-вторых,2ab вовсе не обязательно должен быть квадратом. Например, 3^2+7^2=2*29
Формула вполне описывает и этот случай.
Тогда не понимаю, о какой формуле речь. Мне казалось, что вы говорите о формуле:
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a+b-sqrt(2ab))(a+b+sqrt(2ab)).
Ну, так из нее
непосредственно получается лишь, что:
3^2+7^2=(10+sqrt(42))(10-sqrt(42)).
Или вы говорили о чем-то другом?
(****)