Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Someone в сообщении #435945 писал(а):

При том, что конкретная формальная теория обязана иметь модель, если она непротиворечива,

Дык не соблаговолит ли почтенный Someone показать, почему я кому-то что-то обязан. У меня есть аксиомы ... и правила вывода. И ежу понятно, как и что можно вывести в моей формальной теории. И что ... Вы где-то ... как-то ... можете показать мне противоречие в моей формальной системе?

Да и зачем мне Ваши модели?

ИМХО ситуация следующая. Я говорю нечто не так, как по мнению Someone должен говорить. Но, надеюсь, и ежу ясно, что я не обязан говорить так, как это считает нужным кто-то.

Я уже давно сказал, что претензии принимаю:
- либо в случае некорректности моих высказываний;
- либо в случае непонятности.
Остальное я игнорирую ... три раза. В частности, игнорирую несоответствие чьему-то мнению.

Короче, если кто-то имеет что-то мне сказать дельного, предъявите пжст мне противоречие, следующее из моих слов. Разумеется, с понятным доказательством. А ндравится/не ндравится ... это можно говорить ... но не с таким важным видом.

И напоминаю, что это математика! Здесь все надо доказывать. А разговоры про должен/не должен, ндравится/не ндравится - это вы дома ... на кухне ... обсуждайте. А на математический форум с этим пжст не надо суваться.

С уважением,
vek88

[Someone]

vek88 в сообщении #435971 писал(а):

Дык не соблаговолит ли почтенный Someone показать, почему я кому-то что-то обязан.

Вы что-то утверждаете. Согласно правилам форума, относящимся к дискуссионным темам, Вы обязаны обосновывать свои утверждения. Да и вообще в математике так принято.
Но я говорил не о Вас, а о том, что непротиворечивая теория обязана иметь модель. Это такая теорема есть в теории моделей. Теория, не имеющая вообще никакой модели, есть теория вообще ни о чём, Вы же говорите о натуральном ряде и об аксиомах индукции. Поэтому модель должна быть.

vek88 в сообщении #435971 писал(а):

И ежу понятно, как и что можно вывести в моей формальной теории.

Ежу, может быть, и понятно, но Вы-то явно не ёж.

vek88 в сообщении #435971 писал(а):

И что ... Вы где-то ... как-то ... можете показать мне противоречие в моей формальной системе?

Я что-нибудь говорил о противоречиях? Я говорил о другом: существует модель Вашей теории, в которой Ваше утверждение неверно, поэтому оно (утверждение) недоказуемо. Построение модели - обычный способ демонстрации недоказуемости.

vek88 в сообщении #435971 писал(а):

Да и зачем мне Ваши модели?

ИМХО ситуация следующая. Я говорю нечто не так, как по мнению Someone должен говорить. Но, надеюсь, и ежу ясно, что я не обязан говорить так, как это считает нужным кто-то.

А я Вас не заставляю говорить каким-то определённым образом. Я Вам демонстрирую недоказуемость аксиом индукции в Вашей теории.

vek88 в сообщении #435971 писал(а):

И напоминаю, что это математика! Здесь все надо доказывать. А разговоры про должен/не должен, ндравится/не ндравится - это вы дома ... на кухне ... обсуждайте. А на математический форум с этим пжст не надо суваться.

Ну что же, на этом обсуждение и закончим.

[vek88]

Someone в сообщении #435989 писал(а):

Теория, не имеющая вообще никакой модели, есть теория вообще ни о чём

Моя теория имеет модель.

Someone в сообщении #435989 писал(а):

Вы же говорите о натуральном ряде и об аксиомах индукции. Поэтому модель должна быть.

Ничего поэтому тут нет.

Someone в сообщении #435989 писал(а):

Ежу, может быть, и понятно, но Вы-то явно не ёж.

См. понятие выводимости в каноническом исчислении.

Someone в сообщении #435989 писал(а):

Ну что же, на этом обсуждение и закончим.

А вот с этим я согласен. Мы остались при своих. Я считаю, что доказал принцип математической индукции. А для Вас он остается аксиомой, не требующей доказателства.

[EvgenyGR]

vek88 в сообщении #435912 писал(а):

EvgenyGR

Ну Вы сначала хоть посмотрите, о чем идет речь. А потом пишите.

ЗЫ. Я, конечно, понимаю, что сейчас воскресенье - и мы все расслабляемся ... кто как может. Я вот пиво допиваю.

«Обидно, клянусь, обидно, ну. Ничего не сделал, да. Только вошел» (тов. Саахов).

vek88 опираясь на Ваше же «ЗЫ. Ребята, давайте жить дружно.», рискну спросить еще раз.
А да забыл

«А ндравится/не ндравится ... это можно говорить ... но не с таким важным видом.»

Поэтому Два раза «Ку» (надеюсь у Вас только желтые штаны, с малиновыми штанами я общаться побаиваюсь).

А теперь вот такие интуитивные рассуждения (Вы же, насколько я помню не против интуиции).

И так есть множество натуральных чисел. Есть некие утверждения относительно натуральных чисел (предикаты, по Вашему). И вопрос стоит в выводимости этих самых предикатов. Переведу это все на понятный мне язык. Каждое натуральное число можно перевести в двоичный код (сопоставить ему последовательность из нулей и единиц). Предикат в этом случае это просто функция, заданная на множестве таких последовательностей.

Если бы такие последовательности были бы конечны, то тогда каждый предикат заданный на такой конечной последовательности, мог быть выражен через три логических операции.
Однако натуральный ряд бесконечен. И что бы перевести все на понятный мне язык, мне надо действовать аккуратно. Натуральному ряду мне надо сопоставить не множество все бесконечных последовательностей (их мощность континуум), а только те которые можно получить по некоторому правилу, чтобы множество последовательностей из нулей и единиц было счетно.

Теперь предикаты, если их понимать как функции на неком множестве, то нет проблем задать предикат, и на множестве мощности континуум. Однако в этом случае выразить такой предикат через набор трех логических операций, пусть даже логическая цепочка (ДНФ или КНФ) будет бесконечно длинной нельзя. Значит предикаты могут быть тоже не любые, а те которые удовлетворяют неким свойствам, например аксиоме индукции.

[vek88]

vek88 в сообщении #431911 писал(а):

Так что сейчас мы рассматриваем произвольные полные К-системы, содержащие стандартные определения логических связок, кванторов и натуральных чисел. И озабочены построением всех "законов" таких К-систем (программа максимум), или хотя бы доказательством того, что принцип математической индукции является метатеоремой над классом таких К-систем (программа минимум).

Итак, программу-минимум мы выполнили - мы доказали, что принцип математической индукции является метатеоремой над классом полных К-систем, содержащих стандартные определения логических связок, кванторов и натуральных чисел.

EvgenyGR

Теперь я готов обсудить Ваши вопросы. Но прежде хочу уточнить - Вы заметили, что я работаю в классе полных К-систем, а метатеории строю над классом таких систем?

Это я спрашиваю для того, чтобы Вы не пытались вытянуть меня из полных К-систем в область "математики вообще", как это пытался сделать уважаемый Someone. Я заранее опять отвечаю словами Высоцкого

Цитата:

Там хорошо, но мне туда не надо.

[vek88]

EvgenyGR в сообщении #435910 писал(а):

vek88 в сообщении #435895 писал(а):

В содержательном (=интуитивном, наивном) доказательстве мы имеем право использовать все, что нам понравится - лишь бы это было очевидно и понятно всем.

Интуитивно сума ряда не зависит от порядка суммирования, а вот для условно сходящихся рядов это не так. Или вот еще «обман» интуиции. Определим многомерное Булево пространство двумя способами.

Первый – элементами булевого пространства размерности N являются всевозможные последовательности из нулей и единиц длинны N.

Второй способ – пусть определенно булево пространство размерности N-1, тогда элементами булево пространство размерности N являются элементы получаемые из булевого пространства размерности N-1 сначала дописыванием ко всем элементам «0», а потом «1».

Понятно что для любого конечного N эти определения совпадают, причем можно для доказательства использовать метод индукции, однако при переходе к бесконечности мощность первого булевого пространства континуум, второго счетно. Вопрос, как корректно применить метод индукции, чтобы не получить этого противоречия?

Итак, начал заниматься Вашими вопросами.

От рассмотрения условно сходящихся рядов, надеюсь Вы меня освободите, поскольку это хорошо рассмотрено в учебниках. А К-системы, при всей их полезности, нового здесь ничего не дадут - мы только зря потратим время на представление проблемы в К-системе, а ответ будет тот же, что и в "наивном" матане.

Так что давайте рассмотрим Ваш второй прикол. А поскольку я агитирую за К-системы, как адекватный аппарт для представления нашей интуиции, то далее мы и рассмотрим представление Ваших определений в полной К-системе.

Разумеется, по мере появления у меня свободного времени.

Ку ... уу ....у ....у ...
vek88

[vek88]

EvgenyGR в сообщении #435910 писал(а):

Первый – элементами булевого пространства размерности N являются всевозможные последовательности из нулей и единиц длинны N.

Второй способ – пусть определенно булево пространство размерности N-1, тогда элементами булево пространство размерности N являются элементы получаемые из булевого пространства размерности N-1 сначала дописыванием ко всем элементам «0», а потом «1».

Первый способ. Определяем последовательность длины $N$ как функцию, (если хотите, полную К-функцию, но здесь ИМХО и без К-систем все понятно) отображающую множество натуральных чисел (или начальный отрезок натурального ряда в конечном случае) в множество $\{0,1\}$.

Второй способ. Определяем все конечные цепочки, построенные из нулей и единиц в каноническом исчислении Поста:

Знаки: $0,1$
Переменная: $x$
Аксиомы: $0, 1$
Правила:

$$\frac{x}{x 0},\qquad \frac{x}{x 1}.$$

Что мы видим? Первый способ работает одинаково хорошо и в конечном, и в бесконечном случае. А второй способ позволяет определить только конечные цепочки (последовательности) нулей и единиц.

Далее Вы спрашиваете

EvgenyGR в сообщении #435910 писал(а):

Вопрос, как корректно применить метод индукции, чтобы не получить этого противоречия?

Если честно, даже и не знаю, что Вам ответить. Да, согласен, что это некая "странность" для нашей интуиции. Но ведь это не противоречие.

Да и причем здесь метод индукции? Мы ведь не доказываем здесь ничего по индукции - здесь у нас индуктивное определение.

Короче, у меня к Вам встречный вопрос - а что два разных определения всегда обязаны быть эквивалентными, т.е. определять в точности одно и то же?

ЗЫ. Здесь ИМХО копать слишком глубоко и не нужно. Достаточно просто аккуратно формализовать нашу интуицию. А вот парадокс Карри - AlexDem подбросил - я бы не смог быстро разобрать без К-систем. См. post293151.html#p293151

[EvgenyGR]

vek88 в сообщении #436426 писал(а):

Короче, у меня к Вам встречный вопрос - а что два разных определения всегда обязаны быть эквивалентными, т.е. определять в точности одно и то же?

Мне кажется Вы не ответили на мой вопрос, а он был вот в чем. Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции. А потом выясняем, что мощность множества получаемого из первого определения может быть континуум, а второго всегда счетно. Я кажется догадываюсь, в чем тут подвох. Из первого и второго определения можно получить последовательность множеств (для каждого N), при получении этих последовательностей нам придется формализовать процесс получения последующего члена последовательности из предыдущего, как только мы ввели такой формализм, множество получаемое как по первому, так и по второму определению будут счетны. Но разве введение такого формализма не есть аксиома индукции?

[vek88]

EvgenyGR в сообщении #436549 писал(а):

Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции.

ИМХО здесь можно доказать лишь ровно следующее: для любой конечной длины последовательностей оба определения эквивалентны (=определяют одно и то же множество последовательностей данной длины).

Или Вы можете доказать это для любых последовательностей, в т.ч. бесконечных? Тогда докажите пжст.

[GagraTrol]

(Оффтоп)

vek88 в сообщении #277216 писал(а):

Lyosha в сообщении #277207 писал(а):

А у определения, как мне представляется, другая функция: короткое наименованее длинно описываемой ситуации(объекта).

Рад, что меня не втянули в какой-нибудь формализм. А если неформально, так ведь мы с Вами об одном и том же. Ведь если отвлечься от различных формализмов, определение содержит две части: (1) описание ситуации (объекта) и (2) и некоторую вновь определяемую ситуацию (свойство, объект, множество). Другими словами, посылки и следствие - если выполнены (истинны) посылки, то выполнено (истинно) и следствие (имеет место определяемая ситуация, некий элемент принадлежит определяемому множеству и т.д.).

Пример 1. Я определяю множество $A$ определением: $A \in A$ если $A \notin A$. Но оно не определяет множества, поскольку я не могу приписать значения истина/ложь выражению $A \in A$.

Пример 2. Предположим, что каким-то образом я уже определил некие множества (знак $R$ в этих определениях не использовался). И с этими множествами у меня все было в порядке в том смысле, что каждое высказывание об этих множествах было истинно или ложно. А потом пришел уважаемый Бертран Рассел и придумал себе трудность, т.е. определил еще одно множество $R$ определением: $x \in R$ если $x \notin R$. Но оно не определяет множества, поскольку мы не можем приписать значения истина/ложь выражению $R \in R$.

Таким образом, господа!
(1) Или уходите из классической логики, допустив неразрешимые утверждения, следовательно отказавшись от теории множеств в классическом понимании. С абстрактной точки зрения такая теория множеств имеет право на существование. Однако не думаю, что она интересна математикам. Хотя впрочем, кто ж это знает?
(2) Или пусть все будет как было в старой наивной теории множеств ... , но ограничьте себя корректными определениями вводимых Вами множеств (или полными в смысле либо ложь, либо истина и третьего не дано).

Кстати, наличие парадокса в некоторой системе определений, означает некорректность этой системы определений.

Большое заблуждение людей состояло в том, что здесь пытались и пытаются увидеть что-то другое, страшное и серьезное.

С уважением,
vek88

Не знаю , поможет ли вам, но мне достаточно неплохо помог Кант "Критика чистого разума"

[EvgenyGR]

vek88 в сообщении #436555 писал(а):

ИМХО здесь можно доказать лишь ровно следующее: для любой конечной длины последовательностей оба определения эквивалентны (=определяют одно и то же множество последовательностей данной длины).

Я не понимаю, что значит «любая конечная». Разве любой элемент натурального ряда не конечен?

vek88 в сообщении #436555 писал(а):

Или Вы можете доказать это для любых последовательностей, в т.ч. бесконечных? Тогда докажите пжст.

Опять же не понимаю, что значит в моем определение «бесконечная последовательность», как в первом, так и во втором определении. Однако я могу дать определение выполнения некого утверждения «на бесконечности». Будем говорить, что утверждение (относительно множества натурального ряда) выполняется (является истинным) «на бесконечности», если не существует элемента такого множества, для которого это утверждение не выполняется (является ложным).

[vek88]

EvgenyGR

У нас с Вами как в песне:

Цитата:

Я ж тебя не спрашиваю,
Что у тебя болит,
А я тебя спрашиваю,
Что ты будешь пить?

Дык вот, я же Вас не спрашиваю, что Вам непонятно.

EvgenyGR в сообщении #436706 писал(а):

Я не понимаю, что значит «любая конечная». Разве любой элемент натурального ряда не конечен?

А я Вас спрашиваю

vek88 в сообщении #436555 писал(а):

Или Вы можете доказать это для любых последовательностей, в т.ч. бесконечных? Тогда докажите пжст.

Короче, пжст докажите Ваше утверждение. По возможности, сделайте это общепонятным способом, соблюдая четкость и однозначность формулировок.

Напоминаю, какое Ваше утверждение я прошу Вас доказать. Вот оно:

EvgenyGR в сообщении #436549 писал(а):

Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции.

Вот и докажите, если хотите, методом математической индукции.

И покажите пжст нам Ваше доказательство.

[EvgenyGR]

Кроха сын пришел к отцу и спросила кроха «что такое хорошо и что такое плохо». Ну папа значит снял ремень и все значит объяснил – спасибо тебе папа.

Мы о чем говорили? О индукции. Я о чем спрашивал? О корректности применения индукции. Вот скажем формулу для суммы геометрической прогрессии можно доказать используя математическую индукцию, и сразу становиться понятным почему Ахилл догонит черепаху, как на этот процесс «догонялок» не смотри. Теперь я те же приемы применяю к тому о чем говорилось выше и вижу что что-то не то с переходом к бесконечности. Что не то и был вопрос.

[vek88]

Ну вежливо и обтекаемо Вам ничего говорить ИМХО нельзя - Вы, похоже, действительно понимаете только ремень. Тогда скажу прямо. Вот Ваше утверждение.

EvgenyGR в сообщении #436549 писал(а):

Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции.

Это утверждение не верно (=не имеет места, некорректно). На самом деле, первое и второе определение не эквивалентны, поскольку определяют различные множества.

Чтобы не было разночтений, отсылаю к текстам определений в post436426.html#p436426. Кстати, там я уже обратил Ваше внимание на то, что два определения не эквивалентны.

vek88 в сообщении #436426 писал(а):

Что мы видим? Первый способ работает одинаково хорошо и в конечном, и в бесконечном случае. А второй способ позволяет определить только конечные цепочки (последовательности) нулей и единиц.

EvgenyGR в сообщении #436722 писал(а):

Теперь я те же приемы применяю к тому о чем говорилось выше и вижу что что-то не то с переходом к бесконечности. Что не то и был вопрос.

Дык неправильно применяете. А я Вас уже два раза просил показать, как Вы математическую индукцию применяете.

Третий раз просить не буду. А просто рявкну, что Вы не умеете применять для доказательства своих утверждений метод математической индукции.

[EvgenyGR]

vek88 в сообщении #436729 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #436549 писал(а):
Берем утверждение, что первое и второе определение совпадают (определяют одно и то же множество). Доказываем это методом математической индукции.
Это утверждение не верно (=не имеет места, некорректно). На самом деле, первое и второе определение не эквивалентны, поскольку определяют различные множества.

vek88 в сообщении #436555 писал(а):

ИМХО здесь можно доказать лишь ровно следующее: для любой конечной длины последовательностей оба определения эквивалентны (=определяют одно и то же множество последовательностей данной длины).

???