Что Вас потрясло в математике?

[Руст]

От того, переставляются места коробок (не различимых) или нет обстановка не меняется, номера внутренние не переставляются (как сказано), на коробках отметки не делается.

[VAL]

Toucan в сообщении #429655 писал(а):

Пожалуйста, если хотите обсудить задачу про узников, откройте новую тему в олимпиадном разделе.

Там ее наверняка прочтут те, кто знает решение, и сломают весь кайф остальным

Впрочем, перенес.

[venco]

Munin в сообщении #429643 писал(а):

Someone в сообщении #429515 писал(а):

Ну, когда знаешь, как, оно совершенно очевидно. Надо всего лишь умножить этот интеграл на $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy$ и перейти к полярным координатам.

Да, до этого места я додумался, но не дальше. Как интегрирование в полярных координатах оказалось очевидным?

$\int\int e^{-y^2}e^{-x^2}dx dy = \int_0^{\infty} e^{-r^2} 2\pi r dr =\pi\int_0^{\infty}e^{-r^2}d(r^2)=\pi$
Может, Вы имели в виду именно "очевидность"?
Тогда на это намекает получившееся в в экспоненте $x^2+y^2$.

[zkutch]

Именно это преобразование я и приводил своим на кафедре и еще чирикал про объем "бесконечной шапочки" и т.д. ... Это пример 4175 из милого моему сердцу Демидовича

Но меня повернули фейсом как раз к слову "очевидность". Его субъективность и различает професионалов. Еще из истории: Лагранж писал, что разбирая монографии Лапласа он больше всего боялся слов "очевидно, что ..." так, как ему иногда месяц был нужен, чтобы доказать "очевидное".

Вообще грубоватым мужиком был этот Лаплас ...

[Munin]

venco в сообщении #429777 писал(а):

Может, Вы имели в виду именно "очевидность"?

Да, я имел в виду "очевидность". Для меня не очевидно было, что $\iint f(r)\,dS=\pi\int f(r)\,d(r^2).$ Разумеется, написав на бумажке, сразу внёс под дифференциал, но очевидным для меня это не было. Видно я, в отличие от Лапласа, с полярными координатами не так много дела имел.

[Padawan]

Вспомнил, меня поразило, что множество истинных (в естественной интерпретации) формул элементарной арифметики не является рекурсивно-перечислимым. В общем, теорема Гёделя о неполноте.
В книжке из серии "Популярные лекции по математике" В.А. Успенский "Теорема Гёделя о неполноте". И поразила и восхитила.

-- Пт апр 01, 2011 22:35:35 --

Ой, проэто уже, естественно, сказали

Xaositect в сообщении #428159 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #428156 писал(а):

Вот, кстати, ещё такой загадочный феномен, как неполнота.

К примеру, исчисление предикатов второго порядка не полно. И, в-принципе, не пополняемо разумным способом. Другими словами, как бы мы не выёживались, в математике всегда будет оставаться не познанная, и даже хуже, непознаваемая истина.

Да, еще есть такая интересная вещь, что арифметика действительных чисел полна и разрешима, а натуральных(целых, рациональных) - нет.

[Crutoy Pazan]

а еще понравились гиперболоидные преобразования Фурье для матриц Якоби

[Munin]

VAL в сообщении #429610 писал(а):

Другая же - относительно недавно. Здесь потрясение было двойным. Собственно задачкой. И тем, что я еще не утратил способности быть чем-то потрясенным

Да, задача действительно впечатляющая.

[vek88]

deep blue в сообщении #429314 писал(а):

Меня восхитил ряд Тейлора- по значениям производных в одной единственной точке мы получаем точное значение функции сколь угодно далекое от точки. Не мог поверить, что такое возможно (чего-то не догоняю, видимо). Оказывается, значение производных в одной единственной точке целиком задают поведение “правильной” функции на всем интервале. Не могу осмыслить на пальцах эту связь, как скажем теорему Ролля, у которой есть простая геометрическая интерпретация.
Еще удивило, что NP задача коммивояжера на плоскости решается для графов из 20000 точек. Какими методами ее только не решали раньше, но и плоская и произвольная задачи решались максимум для 200 точек (15 лет назад), а тут такой удивительный рывок. Очень интересно, что там за диковинный метод.

Ряд Тейлора сам по себе - это, конефно, интересно. Но еще более интересно попробовать это "руками". Вот конкретная инженерная задача полувековой давности (светлой памяти моего отца).

Дана бесконечная "телефонная линия". Это значит, что в двухпроводной линии "в основном" присутствуют распределенные емкость и активное сопротивление. Как следствие, если правильно помню, на входе такой линии импеданс равен (с точностью до действительной константы)

$$Z=\sqrt{i \omega}.$$

Где-то в конце 40-х была найдена "эквивалентная" схема из 2-х резисторов и 2-х конденсаторов, аппроксимирующая этот импеданс (из не очень понятно каких соображений).

А я, поступив на физтех в 60-м, и услышав про ряд Тейлора, приравнял в точке сами значения (где-то в середине диапазона звуковых частот), и первые и вторые копмплексные производные. В результате получил более точную аппроксимацию из трех резисторов и трех конденсаторов. Мой отец - царство ему Небесное - ну очень удивился, когда я ему показал это. Причем я нарисовал график на комплексной плоскости для импеданса линии и этой схемы в диапазоне $\omega$ звуковых частот (задача была из области проводной телефонии, в которой работал мой отец - тогда мобильниками ессесвенно и не пахло).

Тут потрясало, что это не абстрактный математический пример, а - бери паяльник и проверяй - т.е. живой и вполне материальный пример.

[vek88]

Блин - ляпнул. На самом деле для этой линии с точностью до действительной константы

$$Z=\frac{1}{\sqrt{i \omega}}.$$

Припоминаю, что в общем случае для длинной линии импеданс равен квадратному корню из "сопротивления на единицу длины", умноженного на сопротивление "утечки на единицу длины".

В случае идеальной линии (активным сопротивлением потерь в проводах пренебрегаем) это волновое сопротивление

$$Z = \sqrt{\frac{i\omega L}{i \omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

А в случае "телефонной линии" (частоты малы, поэтому пренебрегаем индуктивностью, а активное сопротивление потерь существенно)

$$Z=\sqrt{\frac{R}{i \omega C}}.$$

Хотя, подозреваю, что физикам и математикам, не имевшим дела с "технической стороной" уравнений типа одномерного волнового или аналогичных, все сказанное мной - темный лес. Это я не в обиду говорю, а в пользу потрясающих моментов математики. В самом деле - можно писать нудные урматы, а можно сделать все элементарно в частотном представлении.

[Munin]

Вообще урматы и сами по себе отнюдь не нудны, и в частотном представлении изучены не менее подробно, чем в координатном.

[vek88]

vek88 в сообщении #430928 писал(а):

Хотя, подозреваю, что физикам и математикам, не имевшим дела с "технической стороной" уравнений типа одномерного волнового или аналогичных, все сказанное мной - темный лес. Это я не в обиду говорю, а в пользу потрясающих моментов математики. В самом деле - можно писать нудные урматы, а можно сделать все элементарно в частотном представлении.

Munin в сообщении #430944 писал(а):

Вообще урматы и сами по себе отнюдь не нудны, и в частотном представлении изучены не менее подробно, чем в координатном.

Все-таки эта тема об очаровательном и удивительном в математике, а не о степени изученности различных математических вопросов. Да и разве Вы сможете показать нам общеизвестный раздел в математике, который бы не был изучен вдоль и поперек?

Соответственно, прилагательное нудный у меня противопоставлялось прилагательному очаровательный (=потрясающий). И все это применительно к конкретному контексту длинной линии. И в самом деле. Рассмотрим длинную линию совсем по рабоче-крестьянски, не зная никаких волновых уравнений, а исключительно в терминах теории линейных электрических цепей.

Итак, начнем с "инфинитезимального" кусочка линии длиной $dx$. Дано комплексное сопротивление $Zdx$ этого кусочка и комплексная проводимость утечки этого кусочка $Ydx$. Пишем соответствующую передаточную матрицу, связывающую напряжение и ток на одном конце линии с напряжением и током на другом. Очевидным образом переходим к матрице для линии длины $x$.

Padawan ИМХО в данном месте скажет: "Ага, имеем две одномерных группы Ли - одна для бегущей волны влево, другая для волны вправо".

И все это вообще без ураматов - разве это не восхитительно?

Или вот конкретный "бытовой" вопрос. Имеется обычный телевизионный кабель с волновым сопротивлением 75 ом. А все ли знают, что это значит? И попробуйте это объяснить на уровне урматов. ИМХО запотеете.

А у нас все просто. Что такое волновое сопротивление? Это - отношение напряжения к току в собственных векторах передаточной матрицы. А это, очевидно,

$$\sqrt{\frac{Z}{Y}}.$$

Пренебрегая активной составляющей в обычном коаксиальном кабеле, получим для волнового сопротивления телевизионного кабеля

$$\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

А смысл волнового сопротивления? Очень просто. Чтобы была только бегущая волна в линии и ничего не отражалось от "приемного конца", надо на конце линии подключить в качестве нагрузки волновое сопротивление. В этом случае напряжение и ток в любом месте линии будет собственным вектором передаточной матрицы.

Обращаю внимание, что это математические чудеса, а вовсе не электротехнические. И всего то делов - покопались с матрицей 2 на 2. И, как уже многие отмечали, из ни фига получили до фига. В том числе, косвенно получили и формулу Д'Аламбера.

Для кого это все не является удивительным? Поднимите руки пжст.

[Munin]

vek88 в сообщении #431030 писал(а):

Все-таки эта тема об очаровательном и удивительном в математике

И как можно в такой теме обзывать одну из центральных жемчужин математики "нудной"?

vek88 в сообщении #431030 писал(а):

И все это вообще без ураматов - разве это не восхитительно?

Это не "без урматов". Это с урматами и про урматы, просто слова самого не произносится. Просто сценический приём, сам по себе не более интересный, чем выступление мима.

vek88 в сообщении #431030 писал(а):

Чтобы была только бегущая волна в линии и ничего не отражалось от "приемного конца"

Мне непонятно, как можно произносить такие слова, и пребывать в иллюзии, что это "без урматов". Сама по себе волна бежит в урмате. Без урмата самого понятия волны нет. И тем более понятия бегущей волны и отражённой.

vek88 в сообщении #431030 писал(а):

Для кого это все не является удивительным? Поднимите руки пжст.

Ну, я за него.

[vek88]

Munin в сообщении #431072 писал(а):

И как можно в такой теме обзывать одну из центральных жемчужин математики "нудной"?

Это Вы передернули мои слова - выдернули их из контекста.

Munin в сообщении #431072 писал(а):

Это не "без урматов". Это с урматами и про урматы, просто слова самого не произносится.

Не только слово не произносится, но и уравнение не пишется. Более того, в этой части все объясняемо даже человеку, понятия не имеющему о волновом уравнении. Достаточно лишь знаний комплексных чисел и азов электротехники. Даже про собственные числа и векторы можно опустить ... заменив готовыми формулами.

Munin в сообщении #431072 писал(а):

Мне непонятно, как можно произносить такие слова, и пребывать в иллюзии, что это "без урматов". Сама по себе волна бежит в урмате. Без урмата самого понятия волны нет. И тем более понятия бегущей волны и отражённой.

Это ведь элементарно. Волна имеет свое собственное мнение, как ей бежать и отражаться. И ей при этом глубоко начихать и на нас, и на урматы.

А мы, в свою очередь, тоже можем иметь собственное мнение, причем каждый свое. И каждый имеет право описывать движение волны так, как ему заблагорассудится - лишь бы описание было правильным и достаточно понятным. Вот я и привел описание, которое мне в свое время показалось удивительным и интересным. При этом, естественно, я не ожидал, что оно будет интересно и удивительно для Вас.

Более того, догадываюсь почему конкретно Вам это не интересно. Судя по поверхностному стилю Вашего поста, Вы ИМХО вообще ничего не поняли из сказанного мной о длинной линии, в частности, о физическом и математическом смысле волнового сопротивления. Поэтому Вы и не нашли в этом ничего удивительного.

Впрочем, даю Вам шанс реабилитировать себя. Если приведете общий вид передаточной матрицы длинной линии, то я возьму свои слова обратно. Вывести ее можете из урматов или по моему - как хотите. $Z, Y$ на единицу длины линии считать заданными.

[AKM]

Просьба к собеседникам перечитать название темы и не углубляться (в данной теме) в детализацию конкретного потрясения.