Что Вас потрясло в математике?

[Someone]

Drugoy в сообщении #448650 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #448619 писал(а):

$(-1) \cdot (-1) = 1$ Потому что если $-1$ симметрично отразить относительно нуля, то получится $1$

Ключевое слово симметрично.
Симметрий много разных, в то время мне это представлялось (смутно) комбинацией отражения, сдвига и поворота и неясно было почему именно эта комбинация выбрана. Я не мог понять, чем хуже, например, $(-1)\cdot (-1) = -1$. Тоже ведь симметрично.
Короче, выбор той или иной симметрии для меня представлялся загадкой, он был не мотивирован. Тогда размышляя над этим я пришел к выводу, что выбор был сделан из эстетических соображений, а это означало, что дальнейшие теоремы уже не являются общезначимыми, и что мои представления о красоте не всегда совпадают с общепризнанными.

Равенство $(-1)\cdot(-1)=1$ следует из аксиом кольца: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117, пункт VI. Поэтому считайте, что выбор был сделан совершенно независимо от эстетических соображений.

Исправление: ссылка http://dxdy.ru/post162288.html#p162288 была неправильной.

[Kallikanzarid]

Drugoy в сообщении #448716 писал(а):

а почему он должен соблюдаться ?

Без него две групповые операции никак не связаны.

Цитата:

Так же, как например, почему коммутативность должна соблюдаться?

Да не должна, просто в данном случае соблюдается.

Цитата:

В общем это такой период возрастной, когда познание происходит через отрицание.

Это не возраст такой, это самая что ни на есть правильная методология :)

[Drugoy]

Someone в сообщении #448717 писал(а):

Равенство $(-1)\cdot(-1)=1$ следует из аксиом кольца: http://dxdy.ru/post162288.html#p162288, пункт VI. Поэтому считайте, что выбор был сделан совершенно независимо от эстетических соображений.

Вряд ли отсылка к аксиоме показалась бы мне веским аргументом, ее ведь тоже приняли из каких-то соображений. По Вашей ссылке тема о делении на ноль, тоже волновала в свое время, хотя сейчас уже не актуально.

[cube4m]

Someone в сообщении #448717 писал(а):

Равенство следует из аксиом кольца

Каждая аксиома имеет свою мотивацию. Это не просто правило.

Kallikanzarid в сообщении #448728 писал(а):

Drugoy в сообщении #448716 писал(а):а почему он должен соблюдаться ?
Без него две групповые операции никак не связаны.

Единственна ли дистрибутивность как «взаимосвязь» групповых операций? Существуют ли другие «взаимосвязи»?

[Kallikanzarid]

cube4m в сообщении #448971 писал(а):

Единственна ли дистрибутивность как «взаимосвязь» групповых операций? Существуют ли другие «взаимосвязи»?

Придумать, конечно, можно и другие, но именно эта представляет наибольший интерес (и исторически значима), потому и изучается абстрактной алгеброй.

[Someone]

Drugoy в сообщении #448765 писал(а):

Вряд ли отсылка к аксиоме показалась бы мне веским аргументом, ее ведь тоже приняли из каких-то соображений.

cube4m в сообщении #448971 писал(а):

Каждая аксиома имеет свою мотивацию. Это не просто правило.

Разумеется. Аксиомы кольца (и поля) - это формализованные правила обращения с числами, усвоенные человечеством из практической деятельности.

[Руст]

Kallikanzarid в сообщении #448977 писал(а):

cube4m в сообщении #448971 писал(а):

Единственна ли дистрибутивность как «взаимосвязь» групповых операций? Существуют ли другие «взаимосвязи»?

Придумать, конечно, можно и другие, но именно эта представляет наибольший интерес (и исторически значима), потому и изучается абстрактной алгеброй.

Придумывать бесполезно. Тут главное, то что одна операция (умножение) является является морфизмом $K\to K$ как абелевой группы, т.е умножение на $g*(a+b)=g(a+b)=g(a)+g(b)=g*a+g*b$. Именно без этого согласования теряется всякая связь между абстрактными операциями. Просто под дистрибутивностью понимается именно то, что одна операция(умножение) является морфизмом относительно другой операции (сложения). Кстати в тропической математике роль умножения играет сложение, а роль сложения операция махимум или минимум: $a+max(b,c)=max(a,b)+max(a,c)$ та же дистрибутивность.
Когда операция "умножения" не коммутативно, то возможно определения полудистрибутивности (справа или слева). Например на множестве положительных чисел умножение коммутативная группа и может употребляться вместо сложения. Роль умножения $a*b$ может заменяться некоммутативной операцией степени $a^b$. При этом диструбитивность будет только справа $(ab)^c=a^cb^c$. Из-за того, что диструбитивность половинчатая мало пользы, а не из-за некоммутативности второй операции.

[Drugoy]

Вообще-то, дистрибутивность спрятана еще в логике. Так конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны (без кванторов). А вот импликация не коммутативна и не ассоциативна, поэтому для импликации имеет место только левосторонняя дистрибутивность относительно импликации.

[Munin]

cube4m в сообщении #448971 писал(а):

Каждая аксиома имеет свою мотивацию.

Вот только её толком не рассказывают. Выдают как данность, и соси лапу.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #449065 писал(а):

Вот только её толком не рассказывают. Выдают как данность, и соси лапу.

Ну почему же не рассказывают. Рассказывают. Мотивация может быть такая. Довольно часто случаются множества с ассоциативной бинарной операцией, у которой еще есть единица и обратные элементы. Например, взаимнооднозначные отображения разнообразных хреней в себя такие. А давайте-ка зафиксирум эти свойства как аксиомы, про хрени забудем и посмотрим, что у них есть общего. О! теория групп получилась. Как-то так

[Kallikanzarid]

Руст в сообщении #448987 писал(а):

Тут главное, то что одна операция (умножение) является является морфизмом $K\to K$ как абелевой группы

Это объясняет важность колец, да.

(Оффтоп)

Теории категорий в следующем году будет всего-то 70 лет, а мы уже считаем некатегорные определения неестественными и ненужными

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #449070 писал(а):

Мотивация может быть такая. Довольно часто случаются множества

Вот шёл я как-то по дороге, и встретилось мне множество. Присмотрелся я: а оно с ассоциативной бинарной операцией.

Упор должен быть на то, где они случаются. Где-нибудь в теории графов могут случаться и не ассоциативные, скажем, или с небинарной операцией вообще.

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #449091 писал(а):

Теории категорий в следующем году будет всего-то 70 лет, а мы уже считаем некатегорные определения неестественными

Посчитайте, через сколько лет после опубликования законов Ньютона законы Аристотеля стали считаться неестественными...

[almost]

Someone в сообщении #448980 писал(а):

Разумеется. Аксиомы кольца (и поля) - это формализованные правила обращения с числами, усвоенные человечеством из практической деятельности.

Это специфические практики. Сознание фиксирует свою собственную работу, рефлексирует. Здесь важно не подменить объект исследования. Правила фиксируют внутреннюю работу мозга, сознания. Объектом являются объективные закономерности субъективного восприятия. Этим объясняется поразительная эффективность логико-математических методов в естественных науках. Каким бы не был объект исследования, невидимым, далеким, огромным или микроскопическим, еще до начала исследования уже можно сказать, в какие формы это выльется в сознании, они уже определены и известны. В логике, математике уже зафиксированы самые магистральные маршруты нашего человеческого сознания. Это тоже следует помнить и не абсолютизировать их. Действительно, почему мы считаем истинными те аксиомы логики и математики, которые приняты ? Да потому, что они правильно отражают внутренние закономерности работы нашего собственного мозга, сознания. Почему мы так уверены, что $(-1) \cdot (-1) = 1$ ? Потому что это свое, близкое, это наше собственное отражение. Это помогает выжить отдельному человеку и людям в целом. Эти правила имеют всю ту же смертную, человеческую природу, как и все остальные человеческие начинания.
Достаточно лишь на миг представить, что было бы, если бы генетически, априорно, наш мозг, сознание работали бы несколько иначе. Тогда вполне возможно, что эти "истины", эти магистральные маршруты воспринимались бы как проселочные дороги. Им не придавалось бы столько ценности, т.к. они не отражали бы наиболее очевидную работу мозга и сознания, представлялись бы любопытными странностями, частностями. Сознание не находило бы в них собственного отражения. По крайне мере, такого же явного, как находим мы.
Зато, вполне возможно, что некие наши нестандартные модели, странные логики, экзотические правила, которые отражают для нас частные и специфические пути и состояния нашего мозга, сознания, оказались бы на первом месте, представлялись бы "истинными" и наиболее общими, в них бы такое сознание находило свое собственное отражение. И именно такие правила способствовали бы выживанию этого вида.
Однако, надо думать, эволюция не останавливается и хоть в этой области о развитии судить очень сложно, но и границы между сознаниями не определены. Кто знает, какие пути станут магистральными для человеческого сознания завтра. Может когда-нибудь удастся соприкоснуться с другим, не менее эффективным, сознанием, существующим совершенно по другим принципам. Имеющим свои не менее абсолютные истины, все той же смертной природы.

[Профессор Снэйп]

Да ну что к чему мотивация?.. Купил я, допустим, в ювелирном магазине фарфоровый скребок, инкрустированный алмазными крошками. Красивая вещь, глаз радует! Поставил на полку, любуюсь. А тут приходит какой-то зануда и начинает мне объяснять, что им можно ещё и огород вскапывать. Ну при чём здесь огород? Красивая вещь в оправдании не нуждается!!!

Если задали набор аксиом и видим, что интересно получается, чего ещё надо?

[Профессор Снэйп]

Xenia1996 в сообщении #449314 писал(а):

А если кушать нечего и придётся огород таки вскопать?

(Оффтоп)

Не пойду в зоопарк.
А мясо себе на обед
Куплю в магазине.

Уток стреляю.
Сбежались на звуки стрельбы
Любопытные зайцы.