Что Вас потрясло в математике?

[VAL]

Padawan в сообщении #429023 писал(а):

Не знаю, гугл считает по-другому

Вполне допускаю. Я, как говорится, за что купил, за то и продаю.

[deep blue]

Меня восхитил ряд Тейлора- по значениям производных в одной единственной точке мы получаем точное значение функции сколь угодно далекое от точки. Не мог поверить, что такое возможно (чего-то не догоняю, видимо). Оказывается, значение производных в одной единственной точке целиком задают поведение “правильной” функции на всем интервале. Не могу осмыслить на пальцах эту связь, как скажем теорему Ролля, у которой есть простая геометрическая интерпретация.
Еще удивило, что NP задача коммивояжера на плоскости решается для графов из 20000 точек. Какими методами ее только не решали раньше, но и плоская и произвольная задачи решались максимум для 200 точек (15 лет назад), а тут такой удивительный рывок. Очень интересно, что там за диковинный метод.

[Legioner93]

В 1 классе, балуясь калькулятором, сделал такое «открытие»: разность квадратов двух последовательных натуральных чисел образует интересную последовательность, а именно является арифметической прогрессией с разностью 2. В это время я понятия не имел об арифметической прогрессии, ФСУ, да и вообще об алгебраических обозначениях. Тогда меня это потрясло:) Вообще обожаю всякие красивые тождества вроде $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ (моё любимое).

[zkutch]

Legioner93 в сообщении #429368 писал(а):

...обожаю всякие красивые тождества вроде $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ (моё любимое).

Лапласу приписывают высказывание, что тот не математик, для кого не очевидно приведенное тождество
когда я это рассказал на нашей кафедре большинство чего-то на меня обиделись ...

[Munin]

Интересно, а Лаплас не рассказал, почему оно должно быть очевидным? Я бы не прочь узнать.

[zkutch]

Munin в сообщении #429490 писал(а):

Интересно, а Лаплас не рассказал, почему оно должно быть очевидным? Я бы не прочь узнать.

я лично себя сначала утешаю тем, что он столько понаписал в теории вероятности, что грех чтобы чего-то такого ему не казалось. А потом вспоминаю, что все-таки это Лаплас ...

[Someone]

Ну, когда знаешь, как, оно совершенно очевидно. Надо всего лишь умножить этот интеграл на $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy$ и перейти к полярным координатам. Правда, если делать совсем аккуратно, то некоторой возни не избежать, но во времена Лапласа требования к аккуратности, как будто, были поменьше.

[zkutch]

Someone в сообщении #429515 писал(а):

... во времена Лапласа требования к аккуратности, как будто, были поменьше.

Да, когда Коши ввел свое определение сходимости, говорят, Лаплас сбежал с заседания домой и сидел взаперти проверяя свои ряды, пока не проверил все.

[arseniiv]

Mathusic в сообщении #428850 писал(а):

А меня ещё удивляет тот факт, что квадрат можно разбить на конечное число попарно не равных квадратов (причём 21 минимум)

Кстати, да!

А вот меня почему-то теория множеств сильно не удивила бесконечностями. Хотя нет, я до сих пор как увижу ординал, так на люстру прыгаю. А разбираться, наверно, долго.

Что-то сильно удивляло, но забыл, что именно, потому до сих пор не писал в этой теме, хотя тут так интересно!

[VAL]

deep blue в сообщении #429314 писал(а):

Меня восхитил ряд Тейлора- по значениям производных в одной единственной точке мы получаем точное значение функции сколь угодно далекое от точки. Не мог поверить, что такое возможно

В свое время, на первом курсе похожее воздействие произвела на меня формула Ньютона-Лейбница (начал анализа в школе в то время не было). Кривая задаваемая подынтегральной функцией может извиваться по-всякому, менять кривизну, достигать экстремумов... но разность значений первообразной, посчитанных всего в двух точках дает точное значение площади криволинейной трапеции...

Конечно, это не единственное потрясение. Много их было. Наверное, я просто эмоциональный человек.

Но особо, ярче теоретических изюмин, запомнились две задачки.

Одна шокировала меня давно (более 30 лет тому назад). Ее здесь уже упоминали, про произведение возрастов, равное 36.

Другая же - относительно недавно. Здесь потрясение было двойным. Собственно задачкой. И тем, что я еще не утратил способности быть чем-то потрясенным
Результатом потрясения стала наша (совместная с И.Акуличем) статья в "Кванте".

Вот эта задачка:

Цитата:

В комнате стоят 100 одинаковых коробок, выстроенных в ряд. В каждой из
них находится (уникальное) имя одного из 100 узников - причём имя каждого
из них находится в одной из этих коробок. Узников по очереди запускают в
комнату. Каждый из них имеет право открыть одну за другой 50 коробок из ста.
Если хотя бы один из них не найдёт своего имени, все они будут казнены;
если же каждому удастся найти своё имя - всех выпустят на свободу.
Узники не имеют права - и возможности - общаться друг с другом после
выхода из комнаты; никаких пометок в комнате делать нельзя;
перекладывать имена в коробках нельзя (впрочем, надзиратели этого
делать тоже не будут). Короче говоря, каждый узник находит комнату в
точно том же состоянии, что и предыдущий. Единственная возможность
пообщаться - ДО испытания.

Как им следует действовать, чтобы вероятность выжить для них оказалась
выше 30%?

Не привожу решеня, дабы не лишать огромного удовольствия от решения тех, кто с ней не знаком (и способен решить ).

[Munin]

Someone в сообщении #429515 писал(а):

Ну, когда знаешь, как, оно совершенно очевидно. Надо всего лишь умножить этот интеграл на $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy$ и перейти к полярным координатам.

Да, до этого места я додумался, но не дальше. Как интегрирование в полярных координатах оказалось очевидным?

[Руст]

Понятно, что каждый по мере возможности должен упорядочить расположение коробок по номерам узников. Первый открывает 50 и с вероятностью 0.5 находит свой номер и упорядочивает 50 коробок по номерам. Следующий заходит и по своему номеру $x$ вначале пытается найти среди упорядоченных примерно под номером $x/2$. Быстро находит или убеждается, что среди открытых первым нет и продолжает упорядочивать открывая новые коробки.
Если можно в ряду оставлять пустые места, то вероятность того, что они останутся в живых будет в точности 50% как вероятность того, что первый находит свою. Для этого первый все что открыл упорядочивает оставляя пустыми места, не открытые номера. Уже второй сразу видит была ли открыта его коробка.
Если нет (вероятность 0.5) открывает оставшиеся 50 и все коробки располагает по местам, что начиная с третьего можно сразу открыть свою коробку. Если его коробка среди открытых первым, он открывает свою и упорядочивает 49 коробок. Для третьего остается открыть только две коробки свою и не упорядоченную. Для этого должно быть 150 мест в ряду.

[Vince Diesel]

VAL в сообщении #429610 писал(а):

Короче говоря, каждый узник находит комнату вточно том же состоянии, что и предыдущий.

Как с этим согласуется возможность переставлять коробки и вообще что-нибудь сделать?

[VAL]

Руст в сообщении #429644 писал(а):

Понятно, что каждый по мере возможности должен упорядочить расположение коробок по номерам узников. Первый открывает 50 и с вероятностью 0.5 находит свой номер и упорядочивает 50 коробок по номерам.

Как это?

Цитата:

каждый узник находит комнату в точно том же состоянии, что и предыдущий.

Никто ничего не переставляет и не перекладывает.

-- 31 мар 2011, 19:46 --

Vince Diesel в сообщении #429650 писал(а):

VAL в сообщении #429610 писал(а):

Короче говоря, каждый узник находит комнату вточно том же состоянии, что и предыдущий.

Как с этим согласуется возможность переставлять коробки и вообще что-нибудь сделать?

Никак. Решение достигается без перестановки коробок.

[Toucan]

Пожалуйста, если хотите обсудить задачу про узников, откройте новую тему в олимпиадном разделе.