почему электрон не вращается вокруг оси (или что такое спин)

[Munin]

Source в сообщении #430051 писал(а):

Например, в волноводах этого как раз не происходит

Ну это понятно почему. Волноводы - это такие железяки с зарядами. То есть, они задают источники, уравнения Максвелла уже не вакуумные. Где расположены источники? По границам области. Можно считать, что это дельта-функции на некоторое поверхностное распределение. Если эту картину пофурьить, то получатся источники, заполняющие целиком всё пространство 4-импульсов. Разумеется, отсюда возникают и компоненты поля столь же "неправильные".

Но оно нам надо? Это же всё ближнее поле. В ближнем поле черти водятся, а вот волн нормальных там не увидишь. На квантовом языке, там фотоны виртуальные. Их спин вообще может быть какой угодно ориентации из четырёх возможных, а не только двух разрешённых для свободной волны. В принципе, с этми стоит разобраться, но уже после, "как с принципиально более высокой ступенью знания".

[Source]

Ну на самом деле не обязательно железяки.
Например, есть решения с убыванием на бесконечности (от прямой распространения волны), без железяк на границе.
В прочем, даже если есть железяки, это лишь граничные условия для поля.
Они фиксируют значение параметров волны.
Внутри волновода поле волны всё равно находится в вакууме.
Т.е. мы решаем уравнения Максвлла без зарядов, а затем в это решение подставляем граничные условия.
Главное, что $\omega^2=\mathbf{k}^2=k^2_x+k^2_y+k^2_z$ выполняется внутри интеграла, но это всегда влечёт $\omega^2=k^2_z$ в результате интегрирования.
Но Вы правы это всё не принципиально.

Надо поговорить о поверхностных членах в законах сохранения и спине.
Но, если не возражаете - завтра.

[Munin]

Source в сообщении #430197 писал(а):

Например, есть решения с убыванием на бесконечности (от прямой распространения волны), без железяк на границе.

Граница - это я условно. Конечно, открытые волноводы существуют. Но внутри какие-то заряды есть, какая-то правая часть уравнений, иначе решение не отличалось бы от вакуумного.

Source в сообщении #430197 писал(а):

В прочем, даже если есть железяки, это лишь граничные условия для поля.

А с другой стороны, их можно рассматривать как правую часть, если конкретные токи уже известны.

Source в сообщении #430197 писал(а):

Внутри волновода поле волны всё равно находится в вакууме.

Только не с точки зрения преобразования Фурье. Каждая частотная компонента чувствует всё, что находится во всём пространстве.

Source в сообщении #430197 писал(а):

Главное, что $\omega^2=\mathbf{k}^2=k^2_x+k^2_y+k^2_z$ выполняется внутри интеграла, но это всегда влечёт $\omega^2=k^2_z$ в результате интегрирования.

Я не знаю, какой смысл вообще придаётся символам $\omega$ и $k,$ если рассматривается ограниченная область внутри волновода.

[Pulse]

-- Сб апр 02, 2011 07:56:09 --

Source в сообщении #430012 писал(а):

To Pulse
Т.е. я правильно понимаю, что, например, электрическое поле равно ($\math{E}_0=const$, $\mathbf{e}_i - базис):

$$ \mathbf{E}=\math{E}_0\,(\mathbf{e}_x+\imath\mathbf{e}_y)\, G(\rho,z)\, e^{-\imath\omega t}? $$

Да, для циркулярно-поляризованной волны все правильно.

-- Сб апр 02, 2011 08:12:29 --

Munin в сообщении #430003 писал(а):

Гауссов пучок привёл Pulse, но конечности по времени и немонохроматичности в этом решении ещё нет, то есть это мой п. 2.2. Мне несколько странно слышать, что он конечен по энергии, поскольку в этом решении свет идёт по этому пучку вечно. Скорее, в нём ограничен только поток энергии.

Вы правы, речь идет о конечной мощности, а не энергии. Хотя энергия волны остается конечной для любых конечных интервалов времени «существования» волны. В этом случае, естественно, мы приходим к ограниченному по оси распространения волновому пакету (о чем Вы уже писали). В действительности, в подавляющем большинстве задач временной шириной волны можно пренебречь. Волна сохраняет поперечную гауссов профиль и, что важно в контексте данной темы, распределение поляризации даже в ультракоротких импульсах. В этом случае монохроматическое выражение гауссого пучка можно применять, понимая под частотой среднюю частоту в пакете, поляризационная картина не пострадает. Тут, пожалуй, уместно привести ссылку на последний номер PRL:  C. Hnatovsky, V. Shvedov, W. Krolikowski, A. Rode, “Revealing Local Field Structure of Focused Ultrashort Pulses” Phys. Rev. Lett. 106, pp.123901-05 (2011)

[Source]

To: Pulse
Не затруднить ли Вас ещё вычислить дивергенцию $\nabla\mathbf{E}$ от этой напряжённости :)?

[Pulse]

Зачем так издалека? Вас смущает, что дивергенция в общем случае не равна нулю? В этом нет ничего ужасного. На оси пучка, там где z-компонента поля тождественна равна нулю с дивергенцией все нормально. В остальных точка, естественно продольная компонента не ноль, но мы ей в параксиальном случае пренебрегли. При желании ее можно учесть и с дивергенцией опять все будет в порядке. Почитайте как это делается в статье Паджетта (ссылку я приводил на прошлой странице). Если нет доступа к журналам, могу прислать интересующие статьи. Но, относительно темы топика, для нас важна проекция спина на направление распространения волны. В этом смысле продольная компонента поля вообще не нужна. Интегрально поток энергии через бесконечную площадь поперечного сечения волны сохраняется.

[Source]

Ужасного в векторных функциях, не удовлетворяющих уравнениям Максвелла, конечно, ничего нет.
Их просто нельзя использовать при описании эл/м волны. И то, что "всё нормально" на оси пучка,
как то не вдохновляет.

Я не очень понимаю, почему Вы отказываете в праве существования продольных компонент поля?
Коль мы рассматриваем ограниченную волну (=пучёк), они неизбежно появятся
либо в электрическом поле (ТМ-волны), либо в магнитном поле (ТЕ-волны).
Собственно в ссылке, которую Вы дали, единственная формула как раз и выписывает компоненты ТМ-поля,
которое имеет поперечную составляющую $I_0$.

А вот, что нам нужно для вычисления момента выясняется только при его вычислении.
Если считать интеграл полного момента с симметричным ТЭИ,
то как раз наличие ненулевых продольных компонент даст ненулевой вклад в момент.

[Munin]

Pulse в сообщении #430308 писал(а):

В остальных точка, естественно продольная компонента не ноль, но мы ей в параксиальном случае пренебрегли.

То есть ядро, всё-таки, не точное?

Source в сообщении #430340 писал(а):

Я не очень понимаю, почему Вы отказываете в праве существования продольных компонент поля?Коль мы рассматриваем ограниченную волну (=пучёк), они неизбежно появятся либо в электрическом поле (ТМ-волны), либо в магнитном поле (ТЕ-волны).

Не "когда мы рассматриваем ограниченную волну", а когда мы рассматриваем поле с источниками (волновод). В отсутствие волновода все волны строго поперечные, просто они могут быть направлены в разные стороны, и поэтому в суммарном поле имеют место продольные компоненты поля. Но от этого ни название (поперечные волны, на "волноводном языке" TEM-волны), ни суть ($\mathbf{E}\perp\mathbf{H}\perp\mathbf{k}$) не меняются ни для одной фурье-компоненты. Не путайте этих вещей. Заявления о продольных волнах в отсутствие волноводов (или иных неоднородностей) - махровая альтернативщина, не сваливайтесь в эту клоаку.

[Pulse]

Munin в сообщении #430385 писал(а):

То есть ядро, всё-таки, не точное?

Точное, но для уравнения Шредингера, не Гельмгольца. Здесь, пожалуй, стоит прояснить этот момент. Примерно с середины 70-х физики, занимающиеся волновой оптикой, негласно отказались от уравнений Максвелла при решении конкретных задач. Может быть я сейчас скажу ересь для неподготовленного читателя, но Максвелл не дает удовлетворительных результатов в описании реально наблюдаемых свободных волн. Мешает проблема расходимости энергии точечного источника. Максвелл, бесспорно хорош, но когда стоят конкретные задачи расчета лазерных резонаторов или описания получаемых на эксперименте пучков, а «хорошие» уравнения для этих целей не пригодны, надо как-то выкручиваться. Предлагались разные варианты, вплоть до вынесения источника в дополнительное мнимое измерение, но проблему расходимости снять не удалось. Поэтому нашли компромисс. В максвелловских волновых уравнениях искусственно нарушают пространственную симметрию и получают векторного Шредингера. Полученный результат превосходит все самые смелые ожидания в совпадает до мелочей с экспериментом. Все довольны, формальности соблюдены. Если задача выходит за рамки параксиальности, то все равно к Максвеллу никто обращаться не торопится. В этом случае просто на Шредингера навешиваются «релятивистские» поправки и все опять замечательно. Очень похожая аналогия с описанием движения массивной частицы. Пока скорость мала, достаточно пользоваться нерелятивистскими уравнениями. При увеличении скорости необходимо учитывать поправки на релятивизм. Но описывать ту же частицу движущуюся со скоростью света бессмысленно, так как эта скорость для нее недостижима из за расходимости энергии. То же и для реальных волн. Максвелл для них такая же идеализация.

Source в сообщении #430340 писал(а):

Ужасного в векторных функциях, не удовлетворяющих уравнениям Максвелла, конечно, ничего нет.
Их просто нельзя использовать при описании эл/м волны.

Можно и используют (см. выше) :)

Source в сообщении #430340 писал(а):

Я не очень понимаю, почему Вы отказываете в праве существования продольных компонент поля?

Я разве где то в этом отказывал?

Source в сообщении #430340 писал(а):

Коль мы рассматриваем ограниченную волну (=пучёк), они неизбежно появятся

Гауссов пучок не является ограниченной волной. Он определен во всем пространстве. Ограниченные пучки – это другое. Даже пучок в потенциальной яме параболического волокна не строго ограничен. Волны в металлическом волноводе – да.

Source в сообщении #430340 писал(а):

Собственно в ссылке, которую Вы дали, единственная формула как раз и выписывает компоненты ТМ-поля,
которое имеет поперечную составляющую .

Нет, там выписаны формулы для двух мод: радиальной и азимутальной. Втиснуть в четыре страницы все варианты не получилось :(. Пришлось кое-что перенести в supplementary.

[Source]

To: Pulse.
Я ошарашен, нужно переварить. Всё же уравнения Максвелла отменили. Жаль, мне они так нравились :).
Если серьёзно. Всё о чём Вы говорите относится к электродинамике сред (хитрых граничных условий и т.п.),
или с вакуумом тоже проблемы в оптике?

То: Munin

Махровая альтернативщина... Я и не на такое способен :)
Берём Джексона (которого здесь почему-то не любят).
Записываем из него напряжённости (8-я глава, 8-й параграф):

$$ \mathbf{E}=\frac{\imath\omega}{\gamma}\, J_1\,\mathbf{n}_\phi\, e^{\imath(kz-\omega t)},~~~~~~~~ \mathbf{B}=\Bigl(J_0\mathbf{n}_z-\frac{\imath k}{\gamma}\, J_1\,\mathbf{n}_\rho\Bigr)\,e^{\imath(kz-\omega t)}, $$

где:

• $\gamma^2=\omega^2-k^2$ - константы,
• $\mathbf{n}_\rho,\mathbf{n}_\phi,\mathbf{n}_z$ - единичный базис в цилиндрических координатах [$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$],
• $J_\nu=J_\nu(\gamma\rho)$ - функции Бесселя [$J'_0(x)=-J_1(x)$, $(xJ_1(x))'=J_0(x)$],

Если Вы не поленитесь и подставите эти функции в уравнения Максвелла, то убедитесь,
что это есть их решения без зарядов и токов.
Функции Бесселя конечны в нуле и убывают на бесконечности:

$$ J_\nu(x)\to \frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)},~~~~~~J_\nu(x)\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\nu\pi/2 -\pi/4). $$

Поэтому это очень респектабельное решение без всяких железяк.
Железяки, впрочем, при желении можно добавить, тогда появится ограничение на параметр $\gamma$.
Естественно, подобное поле нужно суметь создать, и без волновода нарушить изотропность пространства сложно,
но тем не менее, мы говорим о принципиальных вопросах махровой альтернативщины, а не о презренных экспериментальных трудностях :)

Если взять любую прямую, параллельную оси z, то вдоль неё распространяется волна с волновым вектором $k$.
Причём $k<\omega$. Можно его, конечно, и не называть волновым вектором, но уж очень похож :).
Далее, это TE-волна, т.е. электрическое поле всегда перпендикулярно оси z,
тогда как магнтное поле - нет. Оно имеет продольную составляющую.
И ни каких противоречий с поперечностью компонент в фурье-разложении.
Просто волновой вектор "немножко не тот".

[Pulse]

Source в сообщении #430498 писал(а):

Всё о чём Вы говорите относится к электродинамике сред (хитрых граничных условий и т.п.),
или с вакуумом тоже проблемы в оптике?

Это касается именно вакуума. А так же сред без свободных источников.
Я еще позволю себе встрянуть по поводу Бесселевых пучков. Это та же плоская волна. Т.е. плоские волны бывают однородные и неоднородные. Двумерные неоднородные плоские волны описываются через функции гиперболических синусов и косинусов. Трехмерная аксиально-симметричная плоская волна – это и есть Бесселев пучок. Со всеми вытекающими неприятными последствиями, о которых мы уже не раз говорили. Другими словами, убывание функции до нуля на бесконечности еще не означает, что она конечно интегрируема. Бесселевы пучки обладают бесконечной мощностью и никак не реализуемы в природе. Реально наблюдаются Бессель-Гауссовы пучки с расползающейся интенсивностью.
И не кидайте в одну кучу, пожалуйста, TE и TM пучки. Они пока к делу не относятся. Это особый класс сингулярных пучков, у которых и спиновый и орбитальный момент всегда равны нулю.

[Source]

Pulse в сообщении #430518 писал(а):

И не кидайте в одну кучу, пожалуйста, TE и TM пучки. Они пока к делу не относятся. Это особый класс сингулярных пучков, у которых и спиновый и орбитальный момент всегда равны нулю.

Если не затруднит, прокомментируйте результаты вот этой статьи:
http://www.springerlink.com/content/q84416g52tr8u28v/

Они там правда железный волновод радиуса R рассматривают, но затем R устремляют к бесконечности.
К тому же, ТЕ-решение (11),(12), которое они приводят, вполне можно рассматривать
как вакуумное с произвольной константой R, задающей степень убываемости на бесконечности.
При её стремлении к бесконечности получается обычная плоская волна с циркулярной поляризацией.
Ничего сингулярного я в этом решении не вижу. Всё интегрируется (в радиальном, естественно, направлении).
И полный момент получается не нулевой. И правильно зависит от частоты и энергии.

[Munin]

Source в сообщении #430498 писал(а):

Я ошарашен, нужно переварить. Всё же уравнения Максвелла отменили.

Не всё так плохо. Это всего лишь "отменили", в прикладной области, посвящённой параксиальным или почти параксиальным пучкам света. На самом деле всё равно работает Максвелл, но прикладникам удобнее рассматривать приключения света в поперечной плоскости, в том приближении, когда это можно описать как уравнения Шрёдингера или релятивизированного Шрёдингера.

Может быть, Pulse решил всё так драматизировать в честь недавно прошедшего 1 апреля, не знаю.

Source в сообщении #430498 писал(а):

Берём Джексона (которого здесь почему-то не любят).

Я люблю Джексона, но не молюсь на него. Я даже на Ландау не молюсь. Если в другой книге есть более глубокое рассмотрение, я не отказываю себе в познании более глубоких слоёв истины.

Source в сообщении #430498 писал(а):

Записываем из него напряжённости (8-я глава, 8-й параграф)

А теперь обратите внимание, как ориентированы в этих волнах электрическое и магнитное поля. И куда они, соответственно, распространяются.

Source в сообщении #430498 писал(а):

Поэтому это очень респектабельное решение без всяких железяк.

Вот только это такая мешанина, что разбираться в ней не возникает никакого желания. Разумеется, она раскладывается по Фурье в плоские волны. Но почему именно она должна меня интересовать?

Source в сообщении #430498 писал(а):

Естественно, подобное поле нужно суметь создать, и без волновода нарушить изотропность пространства сложно

Я не знаю, о каком нарушении изотропности вы говорите. Нарушить изотропность уравнений Максвелла просто невозможно. А нарушить изотропность решения - любая направленная антенна сойдёт, начиная с дипольного излучателя.

Source в сообщении #430498 писал(а):

Далее, это TE-волна

Нет, это всего лишь суперпозиция нескольких TEM-волн.

Pulse в сообщении #430518 писал(а):

Я еще позволю себе встрянуть по поводу Бесселевых пучков.

Поясните, что это такое. Может, это тоже приближение.

[Pulse]

Munin в сообщении #430571 писал(а):

Может быть, Pulse решил всё так драматизировать в честь недавно прошедшего 1 апреля, не знаю.

Я же честно предупредил, что впадаю в ересь, во грехе прибываю и искушению подвластен. Прошу не лишать ученой степени, а направить на путь истинный, ибо каюсь :) Действительно сгустил краски. Претензии не к уравнениям Максвелла как к таковым, а к одному их частному следствию – волновому уравнению Гельмгольца для монохроматической волны. Оно не имеет ни одного конечного решения. Конечности можно добиться только бесконечной суперпозицией решений. Что мы и делаем, представляя решения разложениями по плоским (Фурье) или сферическим (Кирхгофф) волнам. Напротив, все известные решения уравнения Шредингера конечны или представимы в виде конечной суперпозиции решений.

Munin в сообщении #430571 писал(а):

Поясните, что это такое. Может, это тоже приближение.

Нет, это точные решения уравнения Гельмгольца. Лень их выписывать. Там функции Бесселя по радиальной координате умножаются на экспоненциальный множитель плоской волны в продольном направлении. Source  приводил частный пример одной такой волны из Джексона (надо будет посмотреть кто это такой. А то обвиняют в нелюбви к кому-то о ком я и не слышал :)

Source в сообщении #430553 писал(а):

Если не затруднит, прокомментируйте результаты вот этой статьи:

Можно я не буду этого делать? Таких статей многие сотни, если не тысячи (сам по молодости пару добавил до кучи). Всех их разбирать просто не хватит времени. Спиновый и орбитальный момент в волноводах довольно подробно разжевал Б. Зельдович (сын Я. Зельдовича) еще в конце 80-х. С тех пор все друг у друга переписывают практически одно и тоже.

[Source]

Плохо, что не слышали. scholar.google:
Jackson J.D. Classical electrodynamics : Cited by 22445
Landau, Lifšic The classical theory of fields: Cited by 6878