Уважаемый
Руст, простите за назойливость, но вопрос действительно очень интересный.
А как же известный ряд

Уж он то точно сходится при

.
Да сходится.
Цитата:
Для Вас он, наверное, не очень интересен, поскольку, как я понял, Вас интересуют куда более общие ряды

Да. Только надо учесть, что даже для периодической функции как в исходной задаче при этом (при разложении в ряд Фурье) появятся суммы по кратным

. Тут возникает проблема резонансных частот, когда

где они на половине

дают максимальные отклонения порядка

и для Лиувиллевых чисел могут дать как угодно большие значения.
Цитата:
Почему для этого ряда не важно будет ли Лиувиллевым число

?
Надеюсь ответил.
Цитата:
Как я уже упоминал, вместо одного синуса можно взять произвольную конечную сумму из нескольких синусов. Может отсюда с помощью Вашей теории и удастся доказать некие свойства числа

?
Думаю удастся доказать нормальность числа

. Иррациональное число

я называю нормальным, если для любого

имеется только конечное число приближений с условием

Кстати известно, что все иррациональные числа, за исключением меры ноль нормальны.