Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)

[age]

gris
Сходится. При очень большом числе $n$ все $+$ и $-$ погашают друг друга. Но конкретного значения суммы ряда определить нельзя, т.к. она зависит от верхнего предела суммы. Можно лишь утверждать, что значение суммы $\in(-1,1)$

[ИСН]

age, пересмотрите свой взгляд на смысл слова "сходится". Есть такое выражение "частичные суммы ограничены", ну.

[age]

ewert, Руст, ИСН
Да верно. Понял.

[sup]

Господа, а как вам такое соображение. Пусть $f(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k\sin (kx) $. Вроде бы имеет место оценка $a_k \sim \ln k/k^2$. Тогда $f(x)=\sum \limits_{k=1}^{K}a_k\sin (kx) +O(\ln K/K)$.
Тогда
$\sum \limits_{j=1}^{N}f(j)/j =\sum \limits_{k=1}^{K}\sum \limits_{j=1}^{N}a_k\sin (kj)/j +O(\ln K\ln N/K)$
Ясно, что можно, например, положить $K \sim \ln ^2 N$. Далее, заметим, что (можно даже явную функцию предъявить)
$\sum \limits_{j=1}^{\infty}\sin (kj)/j = O(1)$
Может в этом направлении стоит "рыть землю"?

[ewert]

age в сообщении #416085 писал(а):

Можно лишь утверждать, что значение суммы $\in(-1,1)$

Это, кстати, тоже неверно. Значения суммы синусов лежат в интервале $(-\frac12\tg\frac14;\frac12\ctg\frac14)= (-0.12767096061052;1.95815868232297)$.

[nnosipov]

Mr. X в сообщении #416027 писал(а):

Исследовать сходимость ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{n}\tg n\ln(1+\cos n)\,.$$

Неужели здесь можно обойтись без знания того, насколько хорошо $\pi$ приближается рациональными дробями?

[sup]

Ну вот, вроде бы все "хоккей". Имеет место следующее утверждение:
Для целого $M >0$ и любого действительного $\xi$ имеет место оценка
$\left | \sum \limits_{m=M}^{\infty} \frac {\sin (2\pi m\xi)}{m} \right | < c \min(1, \frac{1}{M||\xi||})$
Значит для любых $k,M$
$\left | \sum \limits_{m=0}^{M} \frac {\sin (km)}{m} \right | =O(1)$
Пусть $f(x)=\sum a_k \sin (kx)$, причем ряд $\sum a_k$ сходится абсолютно. Тогда
$\sum \limits_{m=1}^{M}f(m)/m = \sum \limits_{m=1}^{M} \left ( \sum \limits_{k=1}^{K} + \sum \limits_{k=K+1}^{\infty} \right ) a_k\sin (km)/m =$ $\sum \limits_{k=1}^{K}a_k\sum \limits_{m=1}^{M} \sin (km)/m + O(\sum \limits_{k=K+1}^{\infty}a_k)$
Отсюда уже легко следует сходимость исходного ряда $\sum \limits_{m=1}^{\infty}f(m)/m$.

[Руст]

Ряд представим в виде:

$$\sum_n \frac{\tg n}{n}\ln(1+\cos n)=a_nb_n, a_n=\frac 1n.$$

Вычисляем количество $n<N$, таких что $z<\{\frac{n}{2\pi}\}<z+\delta z$.
Их количество равно $(\delta zN+O(g(N))$.
Функция $f(z)=\sin (\pi +z) \frac{\ln (1+\cos (\pi+z)}{\cos (\pi +z)}$ нечетная ограниченная непрерывная функция, около $0$ ведет себя как $-z\ln|z|$ (недифференцируема), в остальых точках даже дифференцируема . Интеграл

$$\int_0^{2\pi}f(z)dz=0$$

из-за нечетности функции. Поэтому сходимость или расходимость определяется асимметрией $g(n), g(x)=2\{\frac{x}{2\pi}\}-1$
Разлагаем в непрерывную дробь

$$\frac{1}{2\pi}=\frac{1}{q_1+\frac{1}{q_2+\frac{1}{q_3+...}}}$$

с подходящими дробями $\frac{P_n}{Q_n}, P_0=0,P_1=1,Q_0=1,Q_1=q_1, P_n=q_nP_{n-1}+P_{n-2},Q_n=q_nQ_{n-1}+Q_{n-2}$. Тогда асимметрия оценивается величиной $c_n=max{q_n}{P_{n-1}},n>1,Q_n\le 2N.$
Соответственно $B_n=\sum{k<=n}b_k=O(c_n)$, так как $\int_0^{\pi} f(z)dz$ возникающий здесь как коэффициент конечен. При этом существует такие $n$, что $|B_n|>c*c_n$. Поэтому, если число $\frac{1}{2\pi}$ число типа Лиувилля, то расходится даже ряд с коэффициентом $a_n=\frac 1n$. Все числа за исключением меры 0 нормальны. Для них даже с учетом ошибок при аппроксимации доказывается, что при $a_n=n^{-a}, a>\frac 12$ ряд сходится. Я не знаю точно, доказано ли нормальность числа $\pi$.

[sup]

Чес-сказать так и не понял: так сходится ряд или нет? Самое подозрительное, что в Ваших рассуждениях вообще не фигурируют свойства $f(x)$, кроме, разве что, интеграл по периоду равен 0. Однако, можно привести простые примеры функций, для которых ряд сходится независимо от свойств аппроксимации $\pi$. В качестве примера можно рассмотреть любую конечную комбинацию $\sum a_k \sin kx$. Возможно, все дело в том, что помимо интеграла, в нашем случае ещё и $f$ более или менее гладкая и $f(0)=f(2\pi )=0$. А вот для сумм косинусов, возможно, потребуется Ваша "большая теория".

[Руст]

В рассуждениях используется нечетность $f(x)$, соответственно вклады на $B_n$ дают асимметрии распределения $g(\frac{n}{2\pi}), g(x)=2\{x\}-1$.
Насколько я знаю, пока не известно насколько число $\pi$ хорошо приближаемо рациональными числами.
Допустим, что существуют такие рациональные числа $|\pi-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{Q^a},a>3$.
Тогда $\frac{1}{2\pi}=\frac{Q}{2P}+\frac{c}{P^a}$. Соответственно существуют приближения $\frac{P_n}{Q_n},\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}$, что $q_{n+1}>Q_n^{a-2}$.
Можно вычислить сумму $g(\frac{n}{2\pi})=2\{\frac{n}{2\pi }\}-1$ при изменении $n$ от 1 до $\frac{Q_{n+1}}{2P_n}$.
Это характеризует асимметрию, насколько левая часть (когда $-\pi<z<0$) в среднем отличается от правой части $(0<z<\pi).$ При этом интеграл от $f(z)$ будет примерно так же отличаться.
Если взять $N=[\frac{Q_{n+1}}{2P_n}]$ то эта асимметрия вычисляется и равна (с коэффициентом 1/2 или 1/4 и это не важно) $\frac{q_n}{P_n}=O(q_n^{(a-3)/(a-2)})=O(N^{(a-3)/(a-2)}).$
Т.е. $|B_N|>=cN^{(a-3)/(a-2)}.$
А это приводит к расходимости ряда при $a_n=n^{-b}, b\le \frac{a-3}{a-2}.$
Если $\pi$ Лиувиллево число (слишком хорошо приближаемое рациональными), то расходится даже ряд при $a_n=\frac 1n$. Насколько я знаю, не доказано даже, что $a<8$ для числа $\pi$.

[ИСН]

Позвольте, Mathworld приводит оценку 7.6.

[Руст]

Относительно асимметрии приближения числа $\alpha $ дробями $\frac{P_n}{Q_n}$ доказал следующую теорему. Пусть

$$as=\sum_{k=1}^{[Q_n/2]}g(k\alpha).$$

Тогда

$$as=\frac{(-1)^n(q_n+\theta)}{4}, |\theta |<1$$

.
Здесь

$$\alpha=\frac{1}{q_1+\frac{1}{q_2+\frac{1}{q_3+...}}},P_0=0,P_1=1,Q_0=1,Q_1=q_1.$$

Если $|\alpha-\frac{P_n}{Q_n}|<\frac{c}{Q_n^a}$ имеет бесконечно много решений, то вышеприведенный ряд расходится при коэффициентах (уточнение)

$$a_n=\frac{1}{n^b},b\le \frac{a-2}{a-1}.$$

[sup]

Уважаемый Руст, простите за назойливость, но вопрос действительно очень интересный.
А как же известный ряд
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin n}{n^a}$
Уж он то точно сходится при $a>0$.

(Оффтоп)

Для Вас он, наверное, не очень интересен, поскольку, как я понял, Вас интересуют куда более общие ряды
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {e^{if(n)}}{n^a}$

Почему для этого ряда не важно будет ли Лиувиллевым число $\pi$?
Как я уже упоминал, вместо одного синуса можно взять произвольную конечную сумму из нескольких синусов. Может отсюда с помощью Вашей теории и удастся доказать некие свойства числа $\pi$?

[Sonic86]

sup, Вы используете суммирование по частям? Я что-то не въеду. Если да, то мой оффтоп - дубль Ваших сообщений.

(суммируем по частям)

$\sum\limits_{k=1}^n u \Delta v = uv | \limits_{1}^{n+1} - \sum\limits_{k=1}^n \Delta u E(v)$, $E:E(v(n)) = v(n+1)$.
Возьмем $\Delta v = \sin k$, $u = \frac{\ln (1+ \cos k)}{k^a \cos k}, a>0$ тогда сумма $v = \sum\limits_{k=1}^n \sin k$ может быть вычислена точно (если не наврал, это $- \frac{\sin n}{2} - \frac{\sin 1 (\cos n -1)}{2-2 \cos 1}$), и видно, что она ограничена. Тогда $\lim\limits_{n \to + \infty} uv \leq C \lim\limits_{n \to + \infty} v = 0$, а так как $|u|$ асимптотически меньше $n^{-a + \varepsilon}$, то $| \Delta u|$ асимптотически меньше $n^{-1-a + \varepsilon}$ (тут если не очень строго, то можно производную $u$ в лоб найти и оценить). Отсюда следует, что ряд $\sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \frac{\sin k \ln (1+ \cos k)}{k^a \cos k}$ сходится при $a>0$
Правильно?

[sup]

Увы, просто по частям (как Вы предлагаете) не получится. Во первых, с функцией $f(x) = \ln (1+ \cos x)/ \cos x$ проблемы при $x=\pi$. Но даже без этого не получится, поскольку разность $f(n+1)-f(n)$ "плохая".
Я же предлагаю разложить в ряд Фурье по синусам функцию $\tg x\ln (1+ \cos x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \sin kx$. А затем просто поменять порядок суммирования. После чего воспользоваться сходимостью рядов
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin kn}{ n}$
Для обоснования этой затеи мне, вроде бы, хватило абсолютной сходимости ряда из $a_k$.