fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 09:05 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ааа, туплю, доперло, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 09:25 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
sup в сообщении #416507 писал(а):
Уважаемый Руст, простите за назойливость, но вопрос действительно очень интересный.
А как же известный ряд
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin n}{n^a}$
Уж он то точно сходится при $a>0$.

Да сходится.
Цитата:
Для Вас он, наверное, не очень интересен, поскольку, как я понял, Вас интересуют куда более общие ряды
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {e^{if(n)}}{n^a}$

Да. Только надо учесть, что даже для периодической функции как в исходной задаче при этом (при разложении в ряд Фурье) появятся суммы по кратным $\sum_n\sin (mn)$. Тут возникает проблема резонансных частот, когда $m=Q_k$ где они на половине $Q_k/2$ дают максимальные отклонения порядка $O(q_n)$ и для Лиувиллевых чисел могут дать как угодно большие значения.
Цитата:
Почему для этого ряда не важно будет ли Лиувиллевым число $\pi$?

Надеюсь ответил.
Цитата:
Как я уже упоминал, вместо одного синуса можно взять произвольную конечную сумму из нескольких синусов. Может отсюда с помощью Вашей теории и удастся доказать некие свойства числа $\pi$?

Думаю удастся доказать нормальность числа $\pi$. Иррациональное число $\alpha$ я называю нормальным, если для любого $a>2$ имеется только конечное число приближений с условием $|\alpha-\frac{P_n}{Q_n}|<\frac{1}{Q_n^a}.$
Кстати известно, что все иррациональные числа, за исключением меры ноль нормальны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 11:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
ИСН в сообщении #416526 писал(а):
У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

Квадратичные рациональности очевидно нормальны. Из теоремы Рота получается, что все алгебраические числа нормальны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Да, я слышал об этом. Ещё само число e и некоторые его степени. Всё равно, получается всего лишь счётное множество - одинокая травинка в пустыне континуума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение24.02.2011, 18:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Руст в сообщении #416546 писал(а):
ИСН в сообщении #416526 писал(а):
У этих нормальностью называют ту штуку с цифрами. Кстати, она тоже верна для почти всех, а не доказана почти ни для кого. Вот засада!

Квадратичные рациональности очевидно нормальны. Из теоремы Рота получается, что все алгебраические числа нормальны.


Вообще-то, термин "нормальное число" уже занят (и означает нечто другое). Может, лучше говорить "плохо приближаемое число". Во всяком случае, квадратичные иррациональности именно таковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 03:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вам такой числовой ряд? (сходится или расходится)
Сообщение26.02.2011, 07:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
RIP в сообщении #417414 писал(а):

(Оффтоп)



(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group